Généralités sur les processus stochastiques

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Généralités sur les processus stochastiques

Un processus stochastique est un modèle mathématique pour décrire l’état d’un phénomène aléatoire évoluant dans le temps. Processus stochastique, fonction aléatoire ou signal aléatoire en sont des synonymes. Soit un espace de probabilité (Ω,F,P). On désigne par T l’ensemble des temps. On appelle processus aléatoire toute application de T×Ω dans E, (t,ω)∈T×Ω−→ Xt(ω)∈ E. En général, on note X ou (Xt,t ∈T) cette application. Dans le cadre de ce cours, T sera R+ ou un intervalle borné [0,T] ou [t1,t2]. E est l’espace des états du processus, égal à R ou Rd et muni de la tribu E, égale à B(R) ou B(Rd), d ≥1. On supposera toujours que la fonction ω −→ Xt(ω) est mesurable de (Ω,F) dans( Rd,B(Rd)), de sorte que Xt soit une variable aléatoire à valeurs Rd, d ≥1. Définition 1.1.1. On appelle processus stochastique à temps continu, une collection de v.a. (Xt,t ∈R+) sur (Ω,F) à valeurs dans (Rd,B(Rd)). L’observation d’un processus stochastique revient à fixer un ω dans Ω. On appelle trajectoire la fonction de T dans Rd, obtenue en fixant ω dans Ω, t ∈R+ −→ Xt(ω)∈Rd. La valeur à l’instant t ∈T d’un processus X est la fonction de Ω dans Rd, obtenue enfixant t dans T, ω ∈Ω−→ Xt(ω)∈Rd. On notera Xt la “valeur” du processus à l’instant t, qui pour des raisons techniques évidentes sera toujours supposée être une v.a., c.à.d une fonction mesurable de (Ω,F) dans (Rd,B(Rd)). Toujours pour des raisons techniques, il est commode de supposer une mesurabilité jointe quand on considère un processus comme fonction des deux variables (t,ω).

Le mouvement brownien

Le mouvement brownien et les processus de diffusion que l’on en déduit, jouent un rôle central dans la théorie des processus stochastiques. Ils fournissent des modèles simples pour de nombreuses applications sur lesquelles de nombreux calculs peuvent être faits. Le mouvement brownien tire son nom du botaniste Robert Brown qui décrivit en 1827 le mouvement de fines particules (pollens) en suspension dans un fluide. Entre la description de Brown et la définition actuelle du mouvement brownien, cet objet a retenu l’attention de physiciens comme Einstein et Smoluchowski et de mathématiciens comme Wiener, Levy et Itô. Historiquement, le mouvement brownien est associé à l’observation d’un mouvement qui évolue au cours du temps de façon si désordonnée qu’il semble imprévisible mais qui présente une certaine homogénéité dans le temps : la date du début de l’observation n’est pas importante mais sa durée oui. Définition 1.2.1. Un mouvement brownien standard réel sur R+ est un processus (Wt,t ≥0) réel et à trajectoires continues, tel que – W0 = 0. – Tout accroissement Wt−Ws où 0≤ s < t suit une loi gaussienne centrée, de variance t−s. – Pour tout 0 = t0 < t1 < t2 < … < tn, les accroissementsWti+1 −Wti;0≤ i ≤ nsont indépendants. Le mouvement brownien est un processus à accroissements indépendants, stationnaires et gaussiens. – Wt est une v.a. de loi gaussienne N(0,t) et P(Wt ∈[x,x+ dx]) = p(x)dx = 1 √2πt exp(−x2 2t )dx. – En particulier, Wt ∈ [−1.96√t,1.96√t] avec une probabilité de 95% (car P(|Z|≤ 1.96) ‘ 0.95 lorsque Z est de loi gaussienne N(0,1)). On peut montrer que cette propriété est vérifiée pour toute la trajectoire brownien.