Vers une preuve algorithmique du théorème des valeurs intermédiaires en Terminale scientifique

Nous faisons le choix de présenter une brève analyse des compétences sur les fonctions et les suites ainsi que sur les propriétés qui leur sont associées en fonction des niveaux programmes des niveaux scolaires retenus. Nous souhaitons aussi compléter cette présentation par une description des attentes des auteurs des programmes sur les tâches algorithmiques dans le domaine de l’Analyse et plus particulièrement sur la dichotomie.

En Seconde, l’enseignement de l’Analyse a pour nom « Fonctions ». On attend de l’élève qu’il soit capable d’étudier55 :

    • un problème se ramenant à une équation du type f(x) = k et de le résoudre dans le cas où la fonction est donnée (définie par une courbe, un tableau de données, une formule) et aussi lorsque toute autonomie est laissée pour associer au problème divers aspects d’une fonction ;

    • un problème d’optimisation ou un problème du type f(x) > k et de le résoudre, selon les cas, en exploitant les potentialités de logiciels, graphiquement ou algébriquement, toute autonomie pouvant être laissée pour associer au problème une fonction.

    • Par ailleurs, la résolution de problèmes vise aussi à progresser dans la maîtrise du calcul algébrique et à approfondir la connaissance des différents types de nombres, en particulier

pour la distinction d’un nombre de ses valeurs approchées.56

De plus, l’élève doit prendre conscience que des dessins peuvent suffire pour répondre de façon satisfaisante à un problème concret mais qu’ils ne suffisent pas à démontrer des propriétés de la fonction.57

A ce niveau scolaire, l’élève approfondit ses connaissances sur les fonctions de référence vues au Collège : fonctions linéaire et affine. Celles-ci sont complétées par l’introduction des fonctions carrée et inverse, ainsi qu’une première approche des fonctions polynômes de degré 2 et des fonctions homographiques.

Dans les classes du cycle scientifique terminal, l’enseignement des fonctions et des concepts qui lui sont rattachées prend explicitement le nom d’« Analyse ». L’enseignement de l’Analyse s’inscrit dans le cadre de la résolution de problème et ceci dans un esprit de continuité et d’approfondissement des apprentissages faits dans la classe antérieure. L’objectif attendu est de doter les élèves du cycle scientifique d’outils mathématiques leur permettant de traiter des problèmes relevant de la modélisation de phénomènes continus ou discrets.58 En Première Scientifique, les élèves doivent consolider l’ensemble des fonctions mobilisables.59 De même, en Terminale Scientifique, on attend de l’élève qu’il consolide et enrichisse des notions relatives aux suites et aux fonctions60 afin qu’il puisse étudier un plus grand nombre de phénomènes discrets ou continus61.

Au cours du cycle scientifique terminal, sont introduits de nouvelles fonctions de référence : les fonctions racine carrée et valeur absolue en Première, et les fonctions exponentielle, logarithme, sinus et cosinus en Terminale.

Au niveau de la Première un nouvel outil est introduit : la fonction dérivée. Cette introduction s’accompagne d’une approche intuitive de la notion de limite finie en un point. En Terminale, les compétences dans le domaine de l’Analyse sont complétées par l’introduction de la continuité sur un intervalle et le théorème de valeurs intermédiaires (TVI) ainsi que de son corollaire (le théorème de la bijection (TB)).

De plus, en Terminale, une étude approfondie du concept de limite d’une fonction et de l’étude du comportement asymptotique d’une fonction fait partie des compétences attendues chez l’élève dans ce domaine des mathématiques.

Enfin, au niveau de la classe de Terminale s’ajoute le nouveau concept d’intégration qui, bien que modestement abordé et développé, demeure un concept fondamental de l’analyse62.

Seulement à partir de la classe de Première, l’enseignement de l’Analyse introduit le concept de Suite numérique. En effet, à ce niveau scolaire, l’étude de phénomènes discrets fournit un moyen d’introduire les suites et leur génération en s’appuyant sur des registres différents (algébrique, graphique, numérique, géométrique) et en faisant largement appel à des logiciels. Les interrogations sur leur comportement amènent à une première approche de la notion de limite qui [est] développée en classe de Terminale63. Les auteurs du programme signalent que l’étude des suites se prête tout particulièrement à la mise en place d’activités algorithmiques.

Au niveau de la classe de Terminale, la notion de limite de suite fait l’objet d’une étude approfondie. Cette étude approfondie doit ainsi permettre de préparer la présentation des limites de fonctions.

De façon générale, les algorithmes considérés en analyse concernent des méthodes d’approximation issues du domaine de l’analyse numérique comme la résolution d’équations, la détermination d’un maximum local d’une fonction, l’intégration numérique, les équations différentielles, … En effet, l’analyse numérique s’intéresse à ces méthodes, de façon à en caractériser l’efficacité, la complexité (ou coût) et leurs champs d’application.

Nous rappelons qu’au collège, les élèves ont rencontré quelques algorithmes (algorithmes opératoires, algorithme des différences, algorithme d’Euclide, algorithmes de construction en géométrie). Au lycée, dès la classe de Seconde, dans le domaine de l’Analyse, en parallèle de la formalisation des notions sur les fonctions, il est demandé aux élèves une formalisation en langage naturel d’algorithmes, propre à donner lieu à une expression en langage algorithmique afin d’être implémentable dans un environnement numérique, que celui-ci soit une calculatrice ou un logiciel algorithmique.

Ces tâches de formalisation sont poursuivies tout au long du lycée. En Seconde, comme nous l’avons vu précédemment, les élèves vont travailler sur des problèmes se ramenant à une équation du type f (x) = k. Pour résoudre ces problèmes, les élèves ont à leur disposition soit la représentation graphique de la fonction, soit un tableau de valeurs associé à la fonction, soit l’expression de cette fonction. Pour résoudre ces problèmes, on attend aussi des élèves qu’ils élaborent des algorithmes64 afin qu’ils identifient le calcul ou le traitement qui est à répéter et qu’ils l’automatisent un nombre donné de fois ou un nombre de fois soumis à un test.

Dans le cas de la recherche d’une valeur approchée d’une solution d’une équation, le programme65 de Seconde indique le fait que les élèves doivent acquérir des compétences spécifiques à la résolution graphique et algébrique d’équations. Dans le cadre de ces compétences, les capacités attendues sont explicitement données. Les élèves doivent pouvoir encadrer une racine d’une équation grâce à un algorithme de dichotomie (cf. tableau ci-dessous).

Au niveau du cycle scientifique terminal, le programme précise que les élève doivent se procurer un bagage mathématique solide, en particulier si ces derniers désirent s’engager dans des études supérieures scientifiques. En effet, ils doivent être formés à la pratique d’une démarche scientifique […] en renforçant leur goût pour des activités de recherche. […] Outre l’apport de nouvelles connaissances, le programme vise le développement des compétences suivantes : – mettre en œuvre une recherche de façon autonome ; – mener des raisonnements et utiliser le langage mathématiques ; – avoir une attitude critique vis-à-vis des résultats obtenus ; – communiquer à l’oral et à l’écrit. […] L’utilisation de logiciels, d’outils de visualisation et de simulation, de calcul (formel ou scientifique) et de programmation doit permettre de favoriser chez les élèves une démarche d’investigation. En particulier, lors de la résolution de problèmes, l’utilisation de logiciels […] peut limiter le temps consacré à des calculs très techniques afin de se concentrer sur la mise en place de raisonnements. Les élèves doivent chercher, expérimenter, modéliser, à l’aide d’outils nécessitant des travaux dans des environnements numériques. Les élèves doivent mettre en œuvre des algorithmes. Cependant, dès la Première Scientifique, les programmes précisent qu’il est aussi attendu des élèves qu’ils raisonnent, démontrent et trouvent des résultats partiels qu’ils puissent mettre en perspective.

Comme nous le signalions plus haut, l’étude de phénomènes discrets à travers des problèmes mettant en place des suites numériques peut fournir un Espace de Travail qui se prête tout particulièrement à la mise en place d’activités algorithmiques. Ainsi, le tableur, les logiciels […] de calcul et algorithmique peuvent être des outils adaptés à l’étude des suites, en particulier au niveau de la classe de Première, pour l’approche expérimentale de la notion de limite où on n’attend pas que les élèves aient à leur disposition une définition formelle de la limite. Ce point est étudié au niveau de la classe de Terminale.

Au niveau de la classe de Première, il est attendu que les élèves modélisent et étudient des situations à l’aide de suites. Pour cela, ils doivent construire des algorithmes permettant d’obtenir une liste de termes d’une suite, ainsi que le calcul d’un terme de rang donné. Selon le programme, la mise en œuvre d’algorithmes doit être l’occasion d’étudier des suites générées par une relation de récurrence. Les élèves peuvent aussi utiliser un algorithme, voire un tableur, pour traiter des problèmes de comparaison d’évolutions et de seuil.

Au niveau de la classe de Terminale, l’acquisition d’automatismes de calcul demeure un objectif. Les élèves peuvent recourir si besoin à des logiciels de calcul formel ou scientifique dans le cadre de la résolution de problèmes. En revanche, il n’est pas fait mention de l’usage d’un environnement de programmation spécifique. Les « activités » de type algorithmique sont plutôt vues comme des « applications numériques » (recherche de résultats approchés) plutôt que de la résolution de problème.

A ce niveau scolaire, dans le cas d’une limite infinie, étant donnés une suite croissante (un) et un nombre réel A, les élèves doivent savoir déterminer à l’aide d’un algorithme un rang à partir duquel un est supérieur à A. De plus, selon le programme, des activités algorithmiques peuvent réalisés réalisées dans le cadre de la recherche de solutions de l’équation f (x) = k, où k est une constante réelle.

Tout au long des trois années de lycée, les élèves conçoivent et mettre en œuvre des algorithmes. Lors d’activités algorithmiques, les élèves vont décrire certains algorithmes en langage naturel ou dans un langage symbolique et en implémenter quelques-uns sur calculatrice ou sur ordinateur muni d’un logiciel adapté. Ils doivent aussi interpréter des algorithmes plus complexes. Aucun langage, aucun logiciel n’est imposé. Ils doivent apprendre maitriser les instructions élémentaires : affectation, calcul, entrée, sortie, ainsi que les structures algorithmiques : boucle et itérateur, instruction conditionnelle.