Vers des maillages plus généraux avec une discrétisation vem-mpfa

Dans le chapitre précédent, un premier schéma couplé a été construit pour approcher le système de poroélasticité. L’utilisation de l’approximation à deux points pour le flux numérique constituait un bon choix pour construire, implémenter et étudier mathématiquement le schéma. Celui-ci a été illustré sur des cas analytiques et réalistes et a ouvert de nouvelles possibilités, par exemple celle de gérer des maillages de type Voronoï. L’objectif suivant, qui fait l’objet de ce chapitre, est de traiter des maillages plus généraux, par exemple constitués de polytopes quelconques ou bien issus de domaines souterrains réels. La première section de ce chapitre revient justement sur les limites du schéma précédent et décrit les caractéristiques spécifiques des maillages utilisés en géosciences. Dans la seconde section, un schéma volumes finis mul- tipoints est introduit pour la discrétisation de l’équation de conservation de la masse. Le nouveau schéma couplé est adapté à l’utilisation de maillages polygonaux ou polyédriques. Cependant, pour pouvoir traiter les maillages utilisés en geosciences, la méthode des éléments virtuels doit être adaptée : les modifications qui y sont apportées sont décrites dans la troisième section. Finalement, une illustration réaliste inspirée d’un problème de géomécanique est présentée dans la quatrième section du chapitre.

Deux limites sur la compatibilité des maillages peuvent être opposées au schéma vem-tpfa. La pre- mière, imputable aux volumes finis, est la condition d’orthogonalité qui doit être respectée par les maillages. La seconde, plutôt spécifique au contexte applicatif, provient des caractéristiques spécifiques des maillages utilisés en géosciences. Cette section présente ces deux incompatibilités qui poussent à modifier le schéma numérique. Même dans le cas le plus simple où 𝜅 est proportionnel à l’identité, seuls certains types de maillages vérifient cette condition. Sur les quatre familles de maillages discrétisant le carré unité présentées précé- demment sur la figure 3.4, seuls les maillages carrés la satisfont. L’orthogonalité est proche d’être vérifiée sur les maillages de Lloyd, qui sont des maillages de Voronoï régularisés, ces derniers étant orthogonaux par construction. Pour illustrer les conséquences de l’absence de cette propriété, le cas test défini dans la section 4.3.3 est à nouveau considéré. Pour des coefficients physiques prenant respectivement les valeurs suffisamment faible pour que l’erreur soit due au pas d’espace ℎ. À droite, le pas d’espace est suffisam- ment faible pour que l’erreur soit due au pas de temps. Dans les deux cas, on observe la non convergence du schéma vem-tpfa et une erreur d’approximation élevée pour les maillages triangles et twisted, qui ne respectent pas la condition d’orthogonalité.

𝜅-orthogonalité (5.1) est un sujet de recherche en soi [Rou16]. Inversement, lorsque le maillage est créé en amont et donné tel quel, il peut être très délicat de choisir des points de calcul de manière à ce que la . Ce cas est simplifié puisque sur un maillagede ce type, la condition devrait normalement être respectée par les six arêtes de chaque hexagone. Malgré cela, lorsque la matrice de mobilité n’est pas multiple de l’identité, le placement des points n’est pas trivial condition d’orthogonalité soit respectée pour différents tenseurs 𝜅. Même sur ce cas simplifié où seulement trois conditions sont imposées (pour six coordonnées inconnues), il est parfois difficile de maintenir les centres de calcul à l’intérieur des cellules. Fig. 5.3 : Méthode des piliers utilisée pour mailler les domaines en géosciences. En fonction de l’altitude des points, le maillage peut contenir des cellules hexaédriques classiques, des mailles à faces non planes ou bien des hexaèdres dégénérés. Certaines de ces mailles dégénérées sont représentées à droite. que ce problème est encore plus complexe en trois dimensions ou lorsque les coefficients de 𝜅 dépendent de l’espace. Cette contrainte d’orthogonalité constitue donc une première restriction à l’usage du schéma vem-tpfa.