Variation de fonctions et les formules algébriques

La zone de baignade

D’après problèmes ouverts, exercice 102 page 95, hyperbole mathématiques seconde 2010, Nathan. Il s’agit d’un problème ouvert. Quatre possibilités de solutions sont proposées pour des classes de seconde et une supplémentaire pour les classes de première.

Enoncé
Sur une plage, une colonie décide d’installer une zone limitée de baignade. Pour cela, elle instaure un périmètre de sécurité à l’aide d’une barrière de bouées. La longueur totale de cette barrière est 150 m. La zone de sécurité est un rectangle.
Quelle doit être la largeur de la zone de baignade afin que son aire soit maximale ? En déduire les dimensions de la zone de baignade.

Corrigés
Quatre possibilités de corrigé dont trois selon la progression en seconde et une en première.
1. Méthode 1 : On conjecture le maximum d’une fonction à l’aide de la calculatrice et on démontre la conjecture en utilisant la définition du maximum d’une fonction.
2. Méthode 2 : On utilise les identités remarquables et une propriété de la différence de deux nombres.
3. Méthode 3 : la plus appropriée en s’aidant du cours pages 100 et 101: on utilise les identités remarquables et les propriétés de fonctions de la forme : Voir page 100 du livre (hyperbole, nathan). Cette méthode s’utilise aisément si vous avez traité ce chapitre en cours.
4. Méthode 4 : On utilise les les identités remarquables et définition du maximum d’une fonction ou d’une somme algébrique.
5. Méthode 5 : la plus appropriée pour les classes de première. On utilise la forme canonique d’un polynôme de second degré, le discriminant et les propriétés d’une parabole, Voir DM 1ere S ES STI.