Variables aléatoires discrètes

Un dé cubique D1 comporte 3 faces marquées 1, 2 faces marquées 2, 1 face marquée 3. On lance le dé D1, on note X1 le nombre obtenu, Déterminer la loi de X1 son espérance, sa variance. 2°) Mêmes questions pour X2 le nombre obtenu en lançant un dé D2 comportant 3 faces marquées 4, 2 faces marquées 5, 1 face marquée 6. 3°) On lance D1 et D2 simultanément, Calculer l’espérance de Z = X1+ X2. Vérifier en déterminant la loi de Z. 2. On choisit une carte au hasard dans , jeu de 52 cartes. On définit la valeur X de la carte ainsi tirée comme suit : X() = 4 si  est un as ; X() = 3 si  est un roi ; X() = 2 si  est une dame ; X() = 1 si  est un valet ; X() = 0 dans les autres cas. Loi de probabilité de X, Valeur moyenne d’une carte. Ecart-type de X. Valeur moyenne d’une main de 13 cartes. 3. Jeu « chuck a luck » (Etats-Unis), « crown and anchor » (Angleterre). On parie sur un nombre de 1 à 6. On lance 3 dés. Si le nombre sur lequel on a parié sort : 3 fois, on gagne 3 F ; 2 2 F ; 1 1 F ; 0 fois, on perd 1 F. Soit X le gain lors d’une partie, déterminer la loi de X, son espérance et sa variance. 4. Un vendeur de journaux a, chaque semaine, entre 0 et 5 clients pour une revue hebdomadaire. Soit E = {A0,A1,A2,A3,A4,A5} où An désigne l’événement : il y a au n clients pour la revue, 0 < n < 5. (E, P(E)) est muni de la probabilité P définie par : P(A0) = P(A5) = 1/32 P(A1) = P(A4) = 5/32 P(A2) = P(A3) = 10/32 Le vendeur gagne 3 F par exemplaire vendu et perd 1 F en frais divers par exemplaire invendu.

Dans le cas où il a commandé p exemplaires on définit sur E la variable aléatoire Gp par : Gp (An) = gain du vendeur lorsque n clients se sont présentés dans la semaine (0  n  5). 1°) Calculer Gp(An) pour tout p dans [[1, 5]] et tout n dans [[0,5]]. Disposer les résultats sous forme de tableau. 2°) Calculer E(Gi) pour tout i dans [[1,5]]. Que feriez-vous à la place du vendeur ? 5. k urnes numérotées de 1 à k contiennent chacune n boules identiques numérotées de 1 à n. On extrait une boule de chaque urne, on note Xi le numéro de la boule tirée de l’urne n°i. On note M = max{Xi ; 1  i  5}.

Déterminer la fonction de répartition Fm de la variable aléatoire M. (On fera les hypothèses d’indépendance nécessaires). En déduire la loi de M. Calculer E(M) pour k = 2 ; k = 3. Lois finies. 6. Un service après-vente dispose d’équipes de dépannage qui interviennent auprès de la clientèle sur appel téléphonique. Les appels se produisent de façon indépendante, et la probabilité qu’un retard se produise dans le dépannage à la suite d’un appel est p = 0,25. 1°) Un même client a appelé le service à 8 dates différentes. Soit X le nombre de retards que ce client a subi. a) Définir la loi de probabilité de X. Calculer E(X) et V(X). b) Calculer (à 0,01 près au plus proche) les probabilités des événements : –le client a subi au moins un retard ; –le client a subi moins de 4 retards ; –le client a subi moins de 4 retards sachant qu’il en a subi au moins un. 2°) On considère un ensemble de 8 clients différents. 2 d’entre eux sont mécontents parce qu’ils ont subi un retard. On contacte 4 clients parmi les 8. Soit M le nombre de clients mécontents parmi les 4 contactés. Définir la loi de M.

La donner explicitement. Calculer E(M). 7. Un jeu de 32 cartes est truqué : on a remplacé une carte autre que l’as de pique par un deuxième as de pique. On tire au hasard une main de n cartes, n < 32. a) Quelle est la probabilité de déceler la supercherie ? b) On suppose n = 4 et on renouvelle l’expérience consistant à tirer 4 cartes du jeu (en remettant les 4 cartes tirées à chaque fois). Quel est le nombre minimum d’expériences à réaliser pour que la upercherie soit découverte avec une probabilité au moins égale à 0,95 ? 8. A et B sont deux avions avec respectivement 2 moteurs et 4 moteurs. Chaque moteur a la probabilité p de tomber en panne.

Les pannes surviennent de façon indépendante. Chaque avion arrive à destination ssi moins de la moitié de ses moteurs tombe en panne. Quel avion choisissez-vous ? 9. 2 joueurs lancent une pièce de monnaie parfaitement équilibrée, n fois chacun. On note X, Y le nombre de ‘pi1e’ obtenus respectivement par A, B. 1°) Pour tout k dans [[0, n]], calculer la probabilité de l’événement : (X= k) et (Y= k). 2°) En déduire la probabilité que A et B obtiennent le même nombre de fois « pile’. 10. Soit X une v.a suivant la loi binomiale de paramètres n et p. On définit la v.a. Y par : Y = X si X 0 ; Y prend une valeur au hasard dans [[1, n]] si X = 0. Déterminer la loi de Y et calculer E(Y). 11. (Ecricome 89) Deux personnes A et B partent en vacances de façon indépendante dans un pays E. Leur séjour dans ce pays peut s’étaler sur n journées (n > 3) numérotées 1, 2, . . . , n. Pour éventuellement s’y rencontrer, elles ont projeté d’y séjourner trois jours consécutifs (et trois jours seulement) dans un hôtel H, choisi par elles. On suppose que les jours d’arrivée possibles 1,2, . . . , n-2 de ces deux personnes dans cet hôtel sont deux variables aléatoires uniformes et indépendantes. Les arrivées ont lieu le matin et les départs le soir deux jours plus tard. 1°) a) Quelle est la probabilité que A et B arrivent le même jour ? b) Quelle est la probabilité qu’elles arrivent avec un jour d’écart ? c) Quelle est la probabilité qu’elles puissent se rencontrer dans l’hôtel ? 2°) Sachant que A et B se sont rencontrées, quelle est la probabilité qu’elles ne puissent passer qu’une journée ensemble ? 12. (inseec 91 ) 1°) Une urne contient 2 boules noires et 8 boules blanches. Un joueur tire successivement 5 boules en remettant la boule dans l’urne après chaque tirage. Si il tire une boule blanche il gagne 2 points dans le cas contraire il perd trois points. Soit X le nombre de points obtenus par le joueur en une partie. a) Dresser le tableau définissant la loi de X.

Le joueur tire

Soit Y le plus grand des numéros tirés. Déterminer la loi de probabilité de Y et calculer E(Y). b) Soit T le nombre de boules blanches obtenues. Après ce premier tirage le joueur remet les boules noires obtenues et effectue un nouveau tirage simultané de 5 boules. On appelle Z le nombre de boules blanches obtenues lors de ce second tirage. Déterminer les lois de T et de Z. Calculer E(T). 13. (iscid 91) On considère une urne de taille N (N>1) contenant r boules blanches et N – r boules noires (0< r < N). Dans cette urne on prélève toutes les boules une à une et SANS remise.

On note X le rang d’apparition de la dernière boule blanche. Le but du problème est de déterminer : –la loi de X ; –l’espérance et la variance de X. 1. a) Traiter le cas N = 4, r = 1. b) Traiter le cas N =4, r = 2. 2. Dans le cas r = 1, reconnaître la loi de X et rappeler son espérance et sa variance. 3. Etude du cas général (1 < r < N) : a) Déterminer l’ensemble des valeurs prises par X. b) Soit k l’une de ces valeurs. Déterminer la probabilité pour qu’au cours des k-1 premiers tirages soient apparues r-1 boules blanches (et donc k – r boules noires). En déduire la valeur de P(X = k) c’est-à-dire la probabilité que la r-ième (et dernière) boule blanche apparaisse au k-ième tirage. c) Vérifier, après simplifications, que P(X = k) = . En déduire les valeurs des sommes , puis . d) On rappelle que n = p . En déduire que E(X) = . (Remarque : l’énoncé proposait aussi le calcul de , puis de E(X(X+l)), et enfin de V(X)…) 14. (escp 94 0e)

On dispose d’un jeu de m cartes, m étant un entier supérieur ou égal à 2. Ces cartes sont numérotées de 1 à m. Un joueur A propose à un joueur B Je jeu suivant, moyennant une mise de 1 franc que B lui verse à chaque partie. B tire une carte au hasard, montre le nombre b qu’elle porte et remet la carte dans le paquet. Puis A tire une carte au hasard ; quand celle-ci porte le nombre a : Si a < b, alors B donne à A la somme de b – a francs ; B a donc gagné (b – a – 1) francs) Si a > b, alors B donne à A la somme de 1 franc et B a donc perdu 2 francs. Si a = b, alors B a simplement perdu 1 franc, le montant de sa mise. 1°) On suppose dans cette question que m = 6. a) Dresser le tableau à double entrée donnant les gains (positifs ou négatifs) de B suivant les différentes valeurs du couple (a, b). b) Soit X la variable aléatoire représentant les gains de B.

Donner la loi de probabilité de X. c) Calculer l’espérance de X. Le jeu est-il équilibré ou avantage-t-il un des joueurs ? d) Calculer la variance de X. 2°) On revient au cas général : m  2. a) Etablir, en préliminaire, les formules suivantes, pour tout entier N  2 : ; . b) Calculer, en fonction de m, l’espérance E(X) de la variable aléatoire X. c) Pour quelles valeurs de m l’espérance de X est-elle positive ? d) Calculer, en fonction de m, la variance de X. 3°) On observe m parties successives et on note Yn(m) le nombre de parties où le gain de B est strictement positif. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire Yn(m), son espérance et sa variance en fonction de n et de m. 15. (esco 94 ot) Deux urnes U1 et U2 contiennent chacune des boules blanches et des boules noires.

U1 contient 2 boules blanches et 2 boules noires, U2 contient 1 boule blanche et 3 boules noires. On effectue une suite de tirages avec remise de la boule tirée en procédant comme suit : Le premier tirage s’effectue dans U1. Si au n-ième tirage on obtient une boule blanche alors le (n+1)-ième tirage s’effectue dans U1. Si au n-ième tirage on obtient une boule noire alors le (n+1)-ième tirage s’effectue dans U2. On désigne par : pn la probabilité d’obtenir une boule blanche au n-ième tirage ; Xn la variable aléatoire qui vaut 1 Si la boule obtenue au n-ième tirage est blanche, 0 sinon. Sn est le nombre total de boules blanches obtenues au bout de n tirages. 1°) Calculer p1, p2. 2°) Déterminer une relation entre pn+1 et pn ; en déduire l’expression de pn en fonction de n, et la limite de pn quand n tend vers + . 3°) Pour n supérieur ou égal à 1, donner la loi de Xn.

Préciser E(Xn) et V(Xn). 4°) Les variables aléatoires X1 et X2 sont-elles indépendantes ? 5°) Exprimer Sn, en fonction des Xk, 1  k  n ; En déduire E(Sn). 16. (inseec 2002) Une roue de loterie se compose de secteurs identiques, numérotés de 1 à 12. Une personne fait tourner la roue devant un repère fixe. On suppose que chaque secteur a la même probabilité de s’arrêter devant ce repère. A chaque partie un joueur mise une certaine somme d’argent en choisissant un, deux ou trois numéros sur les 12, il est gagnant si le secteur qui s’arrête devant le repère porte l’un des numéros choisis. Un joueur, possédant un crédit illimité, effectue une suite de parties en adoptant la stratégie suivante : * Il mise sur le chiffre 1 à la première partie. ** S’il perd à la nème partie, n  1, il mise uniquement sur les chiffres 1 et 2 à la partie suivante et s’il gagne à la nème partie, il mise sur les chiffres 1, 3 et 5. 1) On note pn la probabilité de l’événement An : » le joueur gagne la nème partie ». a) Calculer les probabilités conditionnelles : , en déduire que n  N*, pn+1 = (1/12)pn + 1/6. b) En déduire l’expression de pn en fonction de n et déterminer limn+ pn. 2) Soit k  [[1, n]], on note Bk l’événement « le joueur gagne une seule fois au cours des n premières parties et ce gain a lieu à la kème partie « . a) A l’aide de la formule des probabilités composées, calculer p(Bn). b) Soit k  [[1, n  1]], calculer P(Bk). c) En déduire la probabilité qn pour que le joueur gagne une seule fois au cours des n premières parties.

On lance un dé indéfiniment ; X est le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le premier « 6 ». Y est le nombre de lancers nécessaires après l’obtention du premier « 6 », pour obtenir le deuxième « 6 ». 1°) Loi de X, de Y, espérance et variance de X et de Y. 2°) Soit Z = X + Y ; espérance et variance de Z ; loi de Z. interprétation de Z. Retrouver directement la loi de Z. 18. On lance des fusées vers Saturne ; la probabilité de succès à chaque lancer est 0,7. 1°) Probabilité d’obtenir k succès en 10 lancers, k [[0, 10]] ? Nombre moyen de succès par série de 10 lancers ? 2°) Combien faut-il prévoir de lancers pour être sûr a 90% d’obtenir au moins un succès ? (Deux méthodes sont envisageables.) 19. (d’après esg 92 ) La première question est indépendante des suivantes. On considère un lot de 10 dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 a 6. Sur ces 10 dés, cinq sont équilibrés, les cinq autres sont pipés.

Pour un dé pipé, la probabilité d’obtenir la face n°1 quand on le lance sera prise égale à 5/6. 1°) On choisit un dé au hasard du lot, on le lance 3 fois et on obtient 3 fois la face n°1. Quelle est la probabilité de l’événement : « le dé choisi est pipé » ? 2°) On effectue des lancers successifs d’un dé équilibré et on arrête dès que l’on a obtenu pour la première fois la face n°1. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués avec ce dé. On effectue des lancers successifs d’un dé pipé et on arrête dès que l’on a obtenu pour la première fois la face n°1. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués avec ce dé. a) Déterminer la loi de X et calculer l’espérance mathématique et la variance de X. b) Déterminer la loi de Y et calculer l’espérance mathématique et la variance de Y. 3°).

Calculer la probabilité de l’événement (X = Y). (X = Y) signifie (X = 1 et Y = 2) ou (X =2 et Y = 2) ou etc. 4°) Calculer la probabilité de l’événement (X < Y). (X < Y) signifie (X = 1 et Y > 1) ou (X =2 et Y > 2) ou etc. 5°) On prend un dé pipé du lot, on effectue des lancers successifs et on arrête dès que l’on a obtenu pour la première fois une face ne portant pas le n°1. Soit Z la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués avec ce dé. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X + Z et calculer son espérance mathématique. 20. (D’après hec math 2 91) On désigne par x un nombre réel appartenant à ]0, 1[. N et n sont des n nombres entiers naturels non nuls On considère une succession (éventuellement infinie) de jets d’une pièce. On suppose que la probabilité d’obtenir pile lors d’un jet est 1 – x et que la probabilité d’obtenir face est x. Les jets sont supposés indépendants. On désigne enfin par Sn le nombre de fois où l’on a obtenu pile au cours des n premiers jets, par Tn le numéro du jet où l’on obtient pile pour la n-ième fois. 1°) Préciser la loi de Sn.

Donner l’espérance et la variance de cette variable aléatoire. 2°) Préciser la loi de T1. CALCULER l’espérance et la variance de cette variable aléatoire. Pour la variance, on commencera par calculer E(T1.(T1 – 1)). 3°) L’objet de cette question est de calculer l’espérance de Tr. Soit k un nombre entier naturel et r un nombre entier naturel non nul. a) Montrer que l’événement {Tr = k + r} est réalisé si et seulement si les événements : {Sk+r-1 = r – 1} et « pile est obtenu au (k+r)-ième jet » le sont. En déduire la loi de Tr. b) Vérifier que la somme des probabilités des événements {Tr = k + r}, où k appartient à N, est égale à 1.

Calculer l’espérance de Tr. On admettra que la série de terme général , k appartenant à N, est convergente, de somme , et on rappelle que , pour tout N, p appartenant à N*. 4°) Soit a un nombre réel strictement supérieur à 1. Un joueur parle de la façon suivante. Lors du n-ième jet, il mise 1 franc. –Si pile sort, il reçoit la somme a (en francs), et il perd sa mise ; –sinon, il perd sa mise. On désigne par Gn la somme des profits et pertes (celles-ci étant comptées négativement) du joueur après son n-ième succès (qui survient donc à l’issue du jet ayant pour numéro Tn). a) Montrer que G1 = a – T1 et calculer l’espérance de T1. b) Plus généralement, pour tout nombre entier naturel non nul r, exprimer Gr en fonction de Tr et en déduire l’espérance de Gr c) Etudier la limite de Gr quand r tend vers.