Validation de la méthode pour une excitation par onde plane

Cavités métalliques vides Étude des déformations simples

Dans cette partie on s’intéresse à l’étude de quelques déformations. Dans la Figure 3.1 par exemple on a une cavité parallélépipédique inclinée de θ1=45° et dans la section suivante (Figure 3.4) on aura une inclinaison de 30°.
Le point de départ est une cavité rectangulaire de longueur L=4m et de largeur l=2m (Figure 3.1a) Cette cavité subit deux déformations. Une première simple pour former une cavité parallélépipédique inclinée de θ1=45° (Figure 3.1b et Figure 3.1c), et, une deuxième déformation plus importante afin de former une cavité s’appuyant sur des formes cylindriques qu’on nommera cavité cylindrique avec un angle de θ2=60° (Figure 3.1d) Pour le cas de la cavité parallélépipédique, deux maillages sont utilisés. Un premier cas avec un maillage régulier (Figure 3.1b) et un second cas avec un maillage irrégulier (Figure 3.1c), pour représenter par exemple les contours d’un objet.
Le Tableau 1 présente les fréquences de résonance des trois premiers modes des différentes cavités Ces fréquences sont comparées avec celles obtenues avec HFSS. Le maillage est le même aussi bien avec la FDTD conforme qu’avec HFSS (20mailles x 20 mailles). On remarque que les fréquences obtenues avec notre méthode de FDTD conforme, sont en accord avec celles obtenues avec HFSS. Les deux cas les moins précis correspondent à la cavité parallélépipédique avec un maillage irrégulier et à la cavité cylindrique. Malgré cela, l’erreur maximale est de 2.04% et correspond au 3ème mode de la cavité parallélépipédique avec un maillage irrégulier.
La répartition des champs du premier mode dans la cavité cylindrique (Figure 3.2d) ainsi que la cavité parallélépipédique avec un maillage régulier (Figure 3.2d) mais aussi avec un maillage irrégulier (Figure 3.2c) est représentée dans la Figure 3.2 en comparaison avec les résultats obtenus avec les simulations sur HFSS (Figure 3.3)
Figure 3.3 Répartition du 1er mode du champ électrique dans les cavités(a) cylindrique, (b) parallélépipédique obtenue avec HFSS.
On remarque que la répartition des champs obtenue avec notre méthode de FDTD conforme est en très bon accord avec celle obtenue avec HFSS. Dans cette étude préliminaire, nous avons vérifié la stabilité de la méthode vis à vis d’une irrégularité locale dans le maillage (Figure 3.2b). Cependant la stabilité et la robustesse de la méthode pour d’autres types de déformations dans le maillage seront examinées en fin de ce chapitre.

Cavités métalliques vides Étude des déformations supplémentaires

On se propose maintenant de faire une étude comparative des fréquences de résonance d’une cavité métallique parallélépipédique inclinée de θ= 30° (L=4m et l=2m) et d’une autre cavité métallique en forme de U (L=2m l=0.5m) entre notre méthode FDTD conforme, HFSS et FDTD classique.
Figure 3.4 Différentes structures de cavités métalliques, (a) parallélépipédique, (b) en forme de U La fréquence maximale de travail pour chaque cavité est de 0.2 GHz, la longueur d’onde minimale exigée est donc de 1.5m. Cette fréquence correspond à la fréquence d’excitation.
Concernant la cavité parallélépipédique on propose deux maillages différents. Un premier maillage avec un pas de λ/20 en FDTD classique (Figure 3.5a) et conforme (Figure 3.6a) et un deuxième maillage plus raffiné avec un pas de λ/30 en FDTD classique (Figure 3.5b) et conforme aussi (Figure 3.6b).
Concernant la cavité en forme de U, afin de mieux approcher la forme de la cavité avec la FDTD classique, on propose trois maillages différents. Un premier avec un pas de maillage de λ/20(Figure 3.7a) un deuxième de λ/30(Figure 3.7b), et enfin, un troisième de λ/50(Figure 3.7c).
On remarque que pour avoir une meilleure représentation visuelle de la forme de la cavité il faut un maillage de λ/50 à la fréquence de travail de 0.2 GHz.
On réalise ensuite deux maillages différents de la cavité en U avec notre méthode de FDTD conforme, un premier avec un pas de maillage de λ/20 (Figure 3.8a) et un deuxième de λ/30 (Figure 3.8b)
En utilisant les FDTD conforme et classique, les fréquences de résonance des trois premiers modes pour chaque cavité avec les différents pas de maillage sont comparées avec le résultat de HFSS dans le Tableau 2.
En comparant les fréquences de résonance, on remarque que notre méthode de FDTD conforme est plus précise que la FDTD classique. Pour un maillage de λ/30 par exemple, l’erreur maximale pour notre méthode est de 0.56% et correspond au 1er mode tandis que pour la FDTD classique elle est de 2.17% pour ce même mode.
Pour la cavité en forme de U également, notre méthode reste plus précise. En effet pour avoir une précision satisfaisante avec la FDTD classique il faut un maillage de λ/50 alors que pour la FDTD conforme, un maillage de λ/ 30 est suffisante. L’erreur maximale avec ces différents maillages pour la FDTD conforme est de 1.51% et correspond au 1ermode avec un maillage de λ/ 30 alors que pour la FDTD classique elle est de 6.46% pour ce même mode avec un pas de maillage aussi de λ/
On remarque que notre méthode FDTD conforme aussi bien pour la cavité parallélépipédique que pour la cavité en forme de U est plus précise.
La répartition des champs du premier mode de la cavité parallélépipédique inclinée de 30° obtenue avec la FDTD conforme (Figure 3.9a) classique (Figure 3.9b) pour un maillage de λ/30 est représentée dans la figure suivante.
La répartition du champ électrique pour la FDTD conforme et la FDTD classique sont similaires. Le maillage en FDTD conforme étant différent de celui en FDTD classique, nous ne ferons pas de cartographie d’erreur entre ces deux méthodes.

Cavités métalliques – Étude des inhomogénéités

L’estimation du DAS dans le corps humain fait partie des objectifs du développement de la méthode FDTD conforme. Cette estimation habituellement effectuée pour un corps immobile pourra être mise à l’épreuve lors d’une déformation quelconque du corps. Afin de vérifier la validité de la méthode pour estimer la variation du DAS après une déformation du corps humain, nous avons placé un morceau de diélectrique (l2=25cm, L2=50cm) avec des paramètres équivalents au muscle à l’intérieur des cavités vides (l1=2m, L1=4m) εr =22 et σ =0.24S/m à 35.75 MHz.
Les nouvelles fréquences de résonance du premier mode pour les cavités métalliques avec un diélectrique à l’intérieur sont f=36.50MHz pour la cavité rectangulaire =35.75 MHz pour la cavité parallélépipédique inclinée de θ1=45° et f=48.25MHz pour la cavité cylindrique en FDTD. On remarque une faible variation par rapport aux fréquences obtenues à vide.
Les cartographies du champ électrique du 1er mode dans les cavités obtenues avec notre méthode de FDTD conforme (Figure 3.), ainsi que celles obtenues avec HFSS (Figure 3.12) sont présentées dans les figures suivantes. En FDTD conforme avec un maillage de (80 mailles X 80 mailles), l’amplitude de l’excitation est de 500V/m, et on représente les valeurs normalisées par rapport à la valeur maximale.
On remarque que l’amplitude et la distribution du champ varie en fonction de la déformation de la cavité. L’onde ne pénètre pas dans le muscle.
On essaie de voir si en diminuant la valeur d’epsilon on pourrait avoir une pénétration de l’onde. Dans ce sens, on place un diélectrique à pertes avec epsilon=5 dans la cavité parallélépipédique. La cartographie du 1er mode est présentée dans la Figure 3.13
On remarque que malgré le fait qu’on ait une faible valeur d’epsilon, l’onde ne pénètre pas dans le matériau. Cela s’expliquerait par le fait que nous avons un système d’ondes stationnaires qui force l’énergie à rester dans le vide avec un phénomène de résonance. On changera dans la section suivante la nature de l’excitation qui ne sera plus ponctuelle mais une onde plane en gardant la même nature du matériau afin de valider cette hypothèse.

Stabilité de la FDTD conforme dans une cavité

On sait, par retour d’expérience, que pour assurer la stabilité et la convergence de la méthode de FDTD classique, la taille d’une maille à une autre ne doit pas dépasser un facteur de 1.2. Ce critère impose une contrainte importante sur les maillages utilisant les mailles de tailles variables. Dans cette section, nous souhaitons vérifier si ce critère est le même pour la FDTD conforme et montrer que dans certaines configurations ce critère peut être relâché sans perturber la stabilité de la méthode.