Utilité progressive et équations aux dérivées partielles stochastiques

Résumé : Dans ce chapitre, nous traitons dans un premier temps le cadre par- ticulier des utilités progressives markoviennes. Ces utilités sont alors solution d’équations de type Hamilton-Jacobi-Bellman identiques à celles étudiées dans le deuxième chapitre (voir le paragraphe 2.6, Théorème 2.2), à la seule différence que, dans le cadre des utilités progressives et contrairement au cadre du chapitre 2, ces équations de HJB sont des équations avec condition initiale et non pas une condition finale. C’est pour cette raison et vu qu’il n’existe aucun théorème de comparaison établi dans ce cadre précis, que les techniques classiques d’EDP ne nous permettent pas de conclure ni à l’existence ni à l’unicité des solutions, voire même à leur concavité.Ensuite, nous montrons que ces utilités progressives markoviennes sont encore solution de l’EDP stochastique (4.32) établie dans le chapitre précédent et dont le drift est contraint à la fois par le marché et par la dérivée de la volatilité de ces utilités. Ceci constitue notre principale motivation pour mieux comprendre la dynamique de ces utilités et le rôle joué par la volatilité associée. Pour ce, nous allons nous intéresser à un cadre plus général qui consiste à supposer que les utilités progressives sont des champs aléatoires ou encore des semimartingales avec un paramètre spatial obéissant à une dynamique de la forme t ), nous avons besoin d’un outil puissant et adéquat à la fois. En particulier, il s’agit d’une formule d’Itô généralisée appelée aussi formule d’Itô-Ventzel, lemme 5.1 (voir aussi Kunita [74], paragraphe 3.3 pour une preuve détaillée de ce résul- tat). Cette formule, à elle seule, étant insuffisante, nous faisons une hypothèse de recollement de stratégie appelée aussi hypothèse de bifurcation (voir le para- graphe 5.4.3 hypothèse 5.3 et le premier chapitre du cours de Saint Flour [20] par Nicole El Karoui pour la théorie générale). Nous montrons alors, comme dans les cadres des exemples du chapitre précédent et des utilités progressives markoviennes, que le drift β dans la dynamique (5.1) ne peut être quelconque : il est fortement contraint par l’univers d’investissement et la dérivée Γ′ de la volatilité.

Enfin nous donnons une interprétation financière de ce paramètre Γ qui s’avère jouer un rôle fondamental dans toute notre étude, au niveau de l’utilité comme au niveau des processus de richesses optimales. Par contre, montrer l’existence d’un lien entre la concavité de ces utilités et leurs EDP stochastiques reste une question ouverte et un vrai challenge. Dans ce chapitre, nous portons un grand intérêt aux équations aux déri- vées partielles stochastiques du type (4.32) établies dans le chapitre précédent où nous avons rappelé que les dynamiques des utilités progressives n’ont ja- mais été développées ou approfondies dans les travaux existants, outre le cadre très particulier des utilités progressives décroissantes dans le temps ([86],[87], [88],[36]) ce qui revient à des équations aux dérivées partielles ordinaires. Le but de ce chapitre est d’étudier, dans un premier temps, le cadre des utilités progressives markoviennes puis de manière très générale des utilités progres- sives comme des semimartingales de paramètre spatial x qui obéissent à une dynamique de la formeNous montrons, à l’aide de quelques outils mathématiques indispensables comme la formule d’Itô généralisée (lemme 5.1) que le paramètre de diffusion β dans cette dernière équation ne peut être quelconque, il est complètement déterminé par le marché et la dérivée Γ′ de la volatilité Γ par rapport à x, un paramètre qui s’avère fondamental dans ces questions d’utilités progressives.