Utilisation du calcul de cellule

Le calcul de cellule est utilisé généralement pour justifier les valeurs des paramètres q1 et q2 choisies. Dans le cas de la modélisation des matériaux métalliques utilisant le modèle GTN, ces calculs sont utilisés comme validation. E.I Principe du calcul de cellule Les modifications du modèle de Gurson introduite par Tvergaard [Tvergaard, 1982] ont été principalement l’introduction des paramètres q1 et q2 . On rappelle que cette modification visait à tenir compte de l’interaction possible des cavités. De nombreux auteurs ont cherché à calibrer ces paramètres afin de rendre compte des résultats expérimentaux [Faleskog et al, 1998], [Gao et al, 1998ab], [Kim et al, 2004]. Ils se sont basés uniquement sur le comportement de matériaux métalliques et ils montrent que le choix de q1 et q2 se base entre autre sur la valeur du coefficient N d’écrouissage défini par l’équation (22) et du rapport de la limite d’élasticité sur le module d’young. N E 1 0 0 0 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = s s s e (22) Différentes études réalisées sur différents matériaux ont ainsi permis de vérifier que suivant les valeurs de q1 et q2 , il était possible de trouver un meilleur accord avec l’expérience. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 Déplacement noeud S (mm) AE0.8-exp AE0.8-EF 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Déplacement noeud S (mm) AE4-EF AE4-exp Utilisation du calcul de cellule Chapitre IV. Modélisation du comportement et de l’endommagement 194 Pour calibrer q1 et q2 , Gao et Faleskog utilisent la méthode suivante : Modèle 1 : il consiste à calculer le comportement d’une cellule à l’intérieur de laquelle est placée une cavité sphérique unique dont le volume correspond exactement au pourcentage volumique de cavités dans le matériau. Le calcul sur cette cellule est réalisé en tenant compte des caractéristiques élastiques et d’écrouissage de la matrice. Modèle 2 : il consiste en un calcul sur un élément de volume utilisant le modèle GTN, en considérant le taux de porosité initial du matériau Les calculs sont réalisés à différents taux de triaxialité afin de voir l’influence de ce paramètre sur les valeurs de q1 et q2 . Ces travaux sont habituellement pris comme référence pour la détermination de q1 et q2 . Dans le cas du PVDF, il ne s’agira évidemment pas de reprendre les valeurs déterminées par la littérature étant donné que les paramètres matériaux sont complètement différents. Concernant le taux de porosité initial, les auteurs analysent une valeur de 0 f comprise entre 0.001 et 0.01. Ils montrent également que la correspondance entre les deux modèles est moins bonne pour 0 f >0.05. Or, pour le PVDF déplastifié, le taux de porosité initial est de 10 %. De plus, la loi utilisée pour décrire la courbe contrainte-déformation (22) ne décrit pas le comportement du PVDF, il faut utiliser une autre loi du type (23) : N 1 0 0 0 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = + s s a s s e e (23) Ainsi, sans chercher à comparer les valeurs données dans la littérature par rapport à nos propres valeurs, on va néanmoins réaliser les mêmes calculs à différents taux de triaxialité pour indiquer l’évolution de la forme des cavités, et expliquer pourquoi 10% de cavités dans une matrice ne peut se simplifier à une cavité unique représentant 10% du volume. E.II Application de la méthode au cas du PVDF La même méthode que celle décrite précédemment va être employée. On s’intéresse d’abord au modèle 1 qui nécessite de construire une cellule axisymétrique de volume V contenant une cavité sphérique dont le volume Vf correspond au pourcentage volumique de cavités. Ainsi, sachant qu’il y a avant essai 10% de cavités dans le matériau : = 0.1 V Vf avec V R .2H 2 = p et 3 3 4 V r f = p . En prenant H = R = 1 mm, on obtient V = 6.28 mm 3 , donc = 0.628 Vf mm 3 , d’où r = 0.531 mm La Figure IV.43 représente la cellule avec le maillage utilisé. La cellule est chargée avec une vitesse de déplacement constante (1.10-3 s -1 ) dans la direction axiale et la pression radiale est contrôlée pour avoir un taux de triaxialité constant. Les calculs sont réalisés avec un taux de triaxialité de 0.33, 1 et 2. Chapitre IV. Modélisation du comportement et de l’endommagement 195 Figure IV.43 Maillage utilisé pour le modèle 1 Les calculs correspondants aux modèles 1 et 2 sont réalisés simultanément (i.e. pour la même histoire de chargement) et permettent de montrer une réelle différence entre les deux modèles. La figure IV.44 présente la comparaison entre le modèle 1 (noté Cell sur les courbes) et le modèle 2 (noté RVE). Les différences entre les deux modèles s’expliquent très bien par le taux anormalement élevé de porosité dans le matériau. Figure IV.44 Taux de porosité en fonction du temps obtenus par les deux modèles, pour trois taux de triaxialité 0.33, 1 et 2. Les courbes indiquent que la correspondance est bonne entre les deux modèles uniquement pour un taux de triaxialité t de 1. Pour t = 0.33, la correspondance est moins bonne mais s’explique par le fait que le modèle de Gurson implique une croissance sphérique de cavités, or si on regarde sur la figure IV.45, on s’aperçoit que pour cette valeur de t, la cavité est très allongée. Ce résultat explique également pourquoi le modèle de Gurson est moins pertinent pour les essais uniaxiaux (traction ou compression). Pour le taux de triaxialité de 2, on remarque également un écart important entre les deux modèles. Dans ce cas, la cavité se développe sphériquement, donc on est dans un cas de validité du modèle de Gurson. Cependant, comme il été montré dans les références citées précédemment, les paramètres q1 H R r 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 200 400 600 800 1000 1200 Temps (s) Taux de porosités t = 2 t = 1 t = 0.33 RVE Cell Chapitre IV. Modélisation du comportement et de l’endommagement 196 et q2 sont fonction du taux de triaxialité des contraintes et ils peuvent varier nettement en fonction de t. Figure IV.45 Isovaleurs de s2 à t = 250 s pour t = 0.33, t = 1, t = 2 Ainsi, les travaux de Kim et al indiquent que pour un taux initial de porosité considéré, q1 augmente dans un premier temps avec t, puis redescend après avoir atteint un maximum (cf. Figure IV.46a). q2 varie dans le sens contraire de q1 , puisqu’il ré-augmente aux grandes valeurs de triaxialité (cf. Figure IV.46b). La variation sera d’autant plus importante que la fraction initiale de cavités sera grande. Figure IV.46 Influence de t sur les valeurs de q1 et q2 [Kim et al, 2004] La validation des paramètres q1 et q2 choisis est basée sur la comparaison entre le résultat du calcul GTN sur un RVE et le résultat d’un calcul viscoplastique sur une cellule unique ayant une cavité unique. Il est supposé que le volume de toutes les cavités présentes dans le matériau peut être assimilé à celui d’une cavité unique. Cette hypothèse est totalement remise en cause dès que le taux de porosité initial est important et que l’interaction entre les cavités n’est plus négligeable. Le modèle GTN suppose également une croissance parfaitement sphérique des cavités. Or, pour les faibles taux de triaxialité des contraintes, la cavité devient plutôt ovale, ce qui introduit des erreurs par rapport aux prévisions du modèle. Ainsi, sans avoir une confirmation quantitative de la validité des paramètres q1 et q2 choisis, les calculs de cellules ont permis de montrer pourquoi le modèle GTN n’était pas parfaitement pertinent aux faibles triaxialités. Ils ont permis de confirmer que les valeurs de q1 et q2 devaient en théorie être fonction de la triaxialité, d’autant plus que le taux initial de porosité était élevé. On retiendra t = 0.33 t = 1 t = 2 Chapitre IV. Modélisation du comportement et de l’endommagement 197 simplement de ces calculs qu’il n’y a pas de paramètres uniques pour représenter tous les résultats et surtout tous les états de contraintes. Les valeurs déterminées pour le PVDF permettent de moyenner tous les effets rencontrés sur toutes les géométries, tout en donnant les bonnes tendances d’endommagement.