Une loi d’évolution en fatigue

Cadre et fonctionnement du modèle de fatigue

Le problème de la fatigue réside dans le fait qu’elle est avant tout un concept structural plutôt que local. Ainsi, si l’on s’assure de la rigoureuse périodicité des sollicitations périodiques appliquées à la structure, et donc l’existence de la notion d’un compteur « nombre de cycles », rien n’assure cela au niveau local. Pour s’affranchir de cette difficulté, on suppose en premier lieu que toutes les sollicitations qui seront appliquées aux structures que nous étudierons, auront des fréquences identiques. Ensuite, et cela est une conséquence induite par le type de comportement du modèle utilisé : en raison du fait que le modèle est élastique (non linéaire), la notion de cycle structural, se transmets sans distorsion au niveau local Cela légitime donc le fait de pouvoir écrire et utiliser une loi de fatigue où figure une partie de l’évolution de la variable écrite avec l’incrément « dN » de nombre de cycles. Il subsiste toutefois une autre difficulté : la redistribution des champs de contraintes ou déformations (la variable pilote du phénomène) empêche a priori que localement, cette variable pilote soit rigoureusement périodique. Pour cette raison, on va lui substituer une variable que l’on qualifiera d’approchée, que l’on imposera rigoureusement périodique et pour laquelle on vérifiera régulièrement, au cours de l’intégration de la loi, si cette variable pilote approchée reste proche au sens d’un critère de la variable pilote « réelle ».

Stratégie de calcul de structure en fatigue

Dans le but de pouvoir valider notre modèle de fatigue il est important de pouvoir l’appliquer au cas d’une structure. Pour cela il est nécessaire de l’implémenter, dans un modèle éléments finis. Comme nous avons pu l’expliquer précédemment, dans le cas d’un problème de fatigue, nous sommes confrontés à deux problématiques a priori contradictoires : 1. simuler le comportement de la structure étudiée avec une précision suffisante pour pouvoir prédire correctement l’apparition de l’endommagement et son évolution et les redistributions de contraintes que cela entraine ; 2. résoudre un calcul de structure en fatigue dans des délais raisonnables. Afin de satisfaire ces deux exigences nous avons choisi d’adopter une approche de type « saut de cycles ». 

Principe

Un calcul par éléments finis d’une structure soumise à un cycle de sollicitation nécessite généralement un nombre important d’itérations. Aussi, nous l’avons vu, simuler tous les cycles d’une structure sollicitée en fatigue n’est, dans la majorité des cas, pas réalisable dans des délais de temps raisonnable. Il est alors nécessaire de développer des méthodes qui permettent d’accélérer les analyses par éléments finis. Ainsi, des approches numériques ont été développées afin d’alléger les simulations en utilisant le concept de saut de cycles qui consiste à ne modéliser que certains cycles de la sollicitation. Ainsi, [Boisse et al., 1990] proposent une approche dite à « grand incrément de temps » qui consiste à séparer les équations du problèmes en deux groupes : les équations de comportement locales non-linéaires et les équations d’équilibres global considérées comme linéaires. FISH et YU [Fish and Yu, 2002] ont développé une méthode dans laquelle ils utilisent deux échelles de temps : une échelle micro-chronologique qui correspond au comportement cyclique et une échelle macrochronologique qui correspond au comportement global de la structure. KIEWEL, AKTAA et MUNZ [Kiewel and Aktaa, 2000] ont développé une approche qui vise à extrapoler la valeur des variables internes sur un certains nombre de cycles. Les extrapolations sont basées sur l’utilisation de fonctions spline développées en chaque point de Gauss du modèle par éléments finis. L’approche de VAN PAEPEGEM et DEGRIEK [Van Paepegem and Degriek, 2001] est basée sur une extrapolation de la variable d’endommagement utilisant ne formule d’intégration explicite d’Euler. Le pas d’intégration est calculé automatiquement. Nous reviendrons sur cette approche dans la suite. Il est clair qu’il est impossible de procéder au calcul par élément finis sur la structure complète pour chaque cycle de la sollicitation de fatigue. Notre stratégie consiste donc à coupler notre modèle éléments finis, qui permet d’évaluer les champs de contraintes (déformations) locaux pour certains cycles judicieusement choisis, à un post-traitement externe qui permet d’évaluer l’évolution de l’endommagement. Remarque importante – Notons que le grand intérêt de cette méthode est qu’elle est totalement indépendante du modèle de comportement utilisé. Ainsi, la stratégie consiste dans un premier temps à réaliser un calcul par éléments finis en quasi-statique sur la structure complète. Ce calcul permet d’évaluer l’état de contrainte (déformation) local à l’issue de la première montée en charge de la sollicitation de fatigue. Le comportement est de type élastique endommageable, la loi de comportement est décrite dans le chapitre précédent (CHAP. 4 §4.2). On connait alors l’état de contrainte (déformation) en chaque point d’intégration. Dans un deuxième temps, la loi d’évolution de l’endommagement en fatigue est intégrée en chaque point de Gauss via un post-traitement externe développé en Fortran. Nous reviendrons dans la suite sur l’évaluation du pas d’intégration ∆N. A l’issue de l’intégration de la loi d’évolution, on dispose en chaque point de Gauss de l’état d’endommagement au cycle ∆N + 1. Un second calcul par élément finis sur la structure complète permet de réévaluer l’état de contrainte ansi que les redistributions de contraintes. L’algorithme complet est présenté FIG. 5.6. A ce stade il est important d’évaluer le pas d’intégration ∆N de la loi d’évolution. En effet, l’augmentation de l’endommagement entraîne une redistribution des contraintes qu’il est très difficile de prévoir notamment dans le cas d’un état de contrainte multiaxial.

Implantation de la méthode

L’algorithme de calcul est expliqué par l’organigramme de la figure 5.6 . Un premier calcul sur le premier cycle permet d’obtenir les champs de contraintes (déformations) locaux et les valeurs des variables internes. Ces valeurs sont utilisées comme données d’entrées du post-traitement qui permet d’évaluer le nombres de cycles à sauter ∆N et d’intégrer la loi d’évolution de l’endommagement en fatigue. Une seconde résolution du problème permet de rééquilibrer la structure après extrapolation des variables internes représentatives de l’endommagement, c’est-à-dire que l’on actualise les redistribution de contraintes. La tentative de saut est réputée réussie si l’on obtient une convergence numérique à cette étape. On recalcule ensuite une nouvelle valeur de saut à partir du nouvel état trouvé. L’ensemble du processus se déroule de façon automatique. Un fichier d’initialisation permet à l’utilisateur de fixer la valeur du paramètre d’extrapolation P, ainsi que la longueur n des intervalles utilisés pour le calcul de la distribution des fréquences relatives des sauts de cycles locaux.