Une incursion dans le monde des semi-groupes d’opérateurs linéaires 

Semi-groupes intégrés

Une incursion dans le monde des semi-groupes d’opérateurs linéaires 

Compte tenu de la remarque simple que la fonction exponentielle réalise , en autre , l’isomorphisme fondamental algébrique et topologique entre le groupe topologique additif des nombres réels et le groupe topologique multiplicatif des nombres réels strictement positifs , on peut constater que la fonction t 7→ e at, a ∈ R, est une solution réelle continue de l’équation fonctionnelle de Cauchy f(t + s) = f(t)f(s) avec la condition f(0) = 1. Cette équation a été étudiée par beaucoup de mathématiciens commençant avec Cauchy même. D’autre part , il est trés bien connu que la fonction exponentielle t 7→ e ta est la solution unique sur R de l’équation diérentielle x 0 = ax avec la condition initiale x(0) = 1. L’importance des fonctions exponentielles a connu une grande croissance aprés l’année 1888, quand le grand mathématicien Giuseppe Peano a eu l’inspiration d’écrire la solution du problème de Cauchy vectoriel    x 0 = Ax x(0) = I où A est une matrice quadratique , sous la forme : t 7→ e tA := X∞ n=0 t nAn n! . Ce résultat a été étendu aux équations diérentielles opérationnelles X0 = AX, où A est un opérateur linéaire borné dans un espace de Banach X , qui a pour solution fondamentale la fonction exponentielle t 7→ e tA, A ∈ B(X) . La dénition d’une fonction exponentielle comme une solution de cette équation a été réalisée par l’introduction des semi-groupes de classe C0 . Les résultats fondamentaux pour les semi-groupes de classe C0 dans les espaces de Banach ont été obtenus par Hille , Yosida ,Feller , Miyadera et Phillips , qui ont crée la théorie des C0-semi-groupes et de leur générateur. Le moment le plus important concernant la généralisation des semi-groupes de classe C0 est marqué par l’introduction des semi-groupes intégrés à la n des années 80. Dans la théorie des semi-groupes intégrés un rôle important revient à un théorème classique de réprésentation de la transformée de Laplace pour une fonction avec valeurs réelles, prouver par Widder . Dans le cas des semi-groupes intégrés, on peut voir que le générateur n’est pas en général à domaine dense , comme on peut le voir dans dans les nombreux travaux parus dans les dernières années sur ce sujet . 

Résultats classiques dans les équations aux dérivées ordinaires 

Considérons l’équation d’évolution suivante : dx dt = Ax + f(t), x ∈ C n (3.1) où f est une fonction 2π périodique et continue . Théorème 3.1.1. (de Massera A) : Eq(3.1) possède une solution 2π périodique si et seulement si elle possède une solution bornée . Théorème 3.1.2. (de Massera B) : Eq (3.1) possède une unique solution 2π périodique avec le même ensemble de fréquences que f si σ(A) ∩ iσF (f) = ∅ où σF (f) désigne l’ensemble de fréquences de f . Démonstration. Premiérement , supposons que A(t) est indépendant de t et x(.) une solution donnée et bornée dans R + . Nous allons construire une solution bornée sur toute la ligne de Eq.(3.1). Nommons xn(.) := x(n + .) qui est dénie sur [−n; +∞[ pour tout n ∈ N comme solution de l’équation : dx(t) dt = Ax(t) + f(n + t), t ∈ [−n; +∞[ Comme xn(0) , n ∈ N est une suite bornée dans C n ,il contient une sous-suite xnp (0) qui est convergente vers z ∈ C n . Comme la fonction f est presque périodique , la suite fnp doit contenir une sous-suite fmk qui converge uniformément vers une fonction presque périodique f∞. Maintenant , considérons la solution y(t) de l’équation : dy(t) dt = Ay(t) + f∞(t) Semi-groupe intégrés Ane Mame Libasse laye c Université Cheikh Anta Diop de Dakar / 2017 Résultats classiques dans les équations aux dérivées ordinaires 33 avec y(0) = z . Nous allons montrer que pour tout N ∈ N xé , la suite {xnk } est uniformément convergente vers y(.) sur [−N; N] . En eet , par la formule de la variation de la constante , pour tout n ≥ N , nous avons : sup t∈[−N;N] ||xnk (t) − y(t)|| ≤ sup t∈[−N;N] ||e At||.||xnk (0) − z|| + N sup t∈[−N;N] ||e At|| sup t∈[−N;N] ||fnk (t) − f∞(t)|| ≤ C1||xnk (0) − z|| + C2 sup t∈R ||fnk (t) − f∞(t)||; où C1, C2 sont des constantes positives indépendantes de n . Comme conséquence de celà , nous avons sup t∈[−N;N] ||y(t)|| ≤ sup t∈[0;∞[ ||x(t)||; Ainsi la solution y(.) est bornée sur toute la ligne . Depuis que f∞ est presque périodique , la solution y(.) devrait être presque périodique . En d’autres termes , depuis que f∞(−nk + .) est uniformément convergente vers f , par le même argument , nous pouvons choisir une sous-suite np telle que y(−np+.) est convergent vers une solution presque périodique w(t), t ∈ R de Eq.(3.1), i.e Eq.(3.1) admet une solution presque périodique w(t) sur toute la ligne . En prenant la transformée de Bohr de a(λ, w) := lim T→∞ 1 2T Z T −T e −iλtw(t)dt, λ ∈ R nous avons : a(λ, w0 ) = iλa(λ, w) = Aa(λ, w) + a(λ, f) Cependant , (iλ − A)a(λ, w) = a(λ, f). Il s’en suit que : σb(f) ⊂ σb(w) ⊂ σb(f) ∪ σi(A), où σi(A) := {ξ ∈ R : iξ ∈ σ(A)} et σ(A) désigne l’ensemble des valeurs propres de la matrice A. Nous avons u(t) = w(t) − P λ∈L a(λ, w)e iλt , où L := σ(A)\σb(f) . Nous allons montrer que c’est une solution presque périodique de Eq.(3.1) avec les proprétés requises. En eet , par la dénition de L et a(λ, w) , pour tout λ ∈ L, a(λ, f) = 0, et ainsi , (iλ − A)a(λ, w) = 0 .