Une caractérisation des points de bifurcation de Hopf dans le cadre des systèmes dynamiques multi-retards

Généralités sur les systèmes dynamiques retardés

Un système dynamique est un ensemble mécanique, physique, économique, environnemental ou de tout autre domaine dont l’état (ensemble de grandeurs suffisant à qualifier le système) évolue en fonction du temps. L’étude de l’évolution d’un tel système nécessite donc la connaissance de son état initial et de sa loi d’évolution. Un système peut être à temps continu ou à temps discret. Il peut également être autonome si sa loi d’évolution ne dépend pas explicitement du temps ou non autonome si sa loi d’évolution dépend du temps. Depuis Poincaré [56, 57, 58, 59] la théorie des systèmes dynamiques ne cesse d’évoluer et plusieurs problèmes ont été étudiés. Entre autres, la stabilité des états d’équilibre et le problème de la bifurcation dans le cas des systèmes dynamiques paramétrés. Dans ce chapitre, nous passons en revue quelques définitions utilisées dans la théorie des systèmes dynamiques pour ensuite évoquer les notions de stabilité et de bifurcation. Nous nous focalisons essentiellement sur des systèmes gouvernés par des équations différentielles fonctionnelles à retards. Formellement, dans le cas continu, un système dynamique peut être défini [25] par une application ϕ : R + × U → R n 11 

 Généralités sur les équations à retards 

(t, x) 7→ ϕ(t, x) vérifiant ϕ(t0, x0) = x0 (2.1) ϕ(t2, ϕ(t1, x)) = ϕ(t1 + t2, x) (2.2) où U est un ouvert de R n , n > 0. Noter que l’application t 7→ ϕ(t, x0) définit donc une trajectoire décrivant l’évolution d’un système dynamique dont l’état initial est x0. L’application ϕ est appelée flot et elle décrit toutes les évolutions possibles d’un système dynamique. 2.1 Généralités sur les équations à retards Dans cette section, nous considérons les équations différentielles fonctionnelles à retards. Nous proposons de donner certaines définitions de base pour ensuite évoquer le problème d’existence et d’unicité. 

Définitions

 Soit τ un réel positif ou nul et C = C  [−τ, 0], R n  l’ensemble des applications continues de [−τ, 0] dans R n . Soit φ ∈ C [−τ, 0], R n  . On définit une norme sur C par k φ kC= sup −τ≤θ≤0 k φ(θ) k où k . k est la norme euclidienne sur R n . Muni de cette norme, C est un espace de Banach. Pour D ⊆ R n , nous notons CD = C  [−τ, 0], D l’ensemble d’ applications continues de h − τ, 0 i dans D. Définition 2.1. [20, 33] Soit x une fonction définie sur h t−τ, ti à valeurs dans R n . On définit par xt une fonction xt : h − τ, 0 i −→ R n par xt(θ) = x  t + θ  , −τ ≤ θ ≤ 0  t−r −r θ x t x t 0 Figure 2.1: The definition of the function xt (θ). a delay differential equation on J × CD. Note that (2.1) includes (a) ODE’s (if r = 0): x ′ (t) = F(t, x(t)), (b) DE’s with discrete delays: x ′ (t) = f(t, x(t − τ1 ), . . . , x(t − τm)) = f(t, xt (−τ1 ), . . . , xt (−τm)) def = F(t, xt ). Here τj ≥ 0 is constant and r = max 1≤j≤m τj . (c) DE’s with bounded, variable delays x ′ (t) = f(t, x(t − τ1 (t)), . . . , x(t − τm(t))) = f(t, xt (−τ1 (t)), . . . , xt (−τm(t))) def = F(t, xt ). Here 0 ≤ τj ≤ r, j = 1, . . . , m, t ∈ J. (d) DE’s with a distribution of delays x ′ (t) = R 0 −r f(t, θ, x(t + θ)) dθ = R 0 −r f(t, θ, xt (θ)) dθ def = F(t, xt ). We may now give a more precise definition of a solution of a DDE. Definition 2.3: Let F : J × CD → R n . A function x(t) is said to be a solution of (2.1) on [t0 − r, β) if there are t0 ∈ R and β > t0 such that (i) x ∈ C([t0 − r, β), D) Figure 2.1 – Illustration de la fonction xt(θ) Dans la suite on désigne par J un ouvert de R. Définition 2.2. Soit f : J × C −→ R n , une fonction donnée. L’équation dx(t) dt = f(t, xt) (2.3) est appelée équation différentielle à retard ou bien équation différentielle fonctionnelle à retard (EDFR) sur J × C. Notons que l’équation (2.3) est une équation générale qui inclut[32, 45] : − les équation différentielles ordinaires ( cas où τ=0) dx(t) dt = F(x(t)), (2.4) − les équations différentielles à plusieurs retards dx(t) dt = f(t, x(t), x(t − τ1(t)), · · · , x(t − τp(t))) (2.5) avec 0 ≤ τj (t) ≤ τ, j = 1, 2, · · · , p, et − les équations intégro-différentielles dx(t) dt = Z 0 −τ g(t, θ, x(t + θ))dθ. (2.6) Définition 2.3. Soit f : J × C −→ R n . Une fonction x est dite solution de (2.3) sur [t0, β] s’il existe t0 ∈ R et β > t0 tels que (i) x ∈ C([t0 − τ, β[, R n ) (ii) [t0, β[⊂ J (iii) x(t) vérifie (2.3) pour t ≥ t0. Pour un t0 ∈ R donné et φ0 ∈ C, on définit le problème à valeur initiale associé à l’EDFR(2.3) par    dx(t) dt = f(t, xt), t ≥ t0 xt0 = φ0 (2.7) ou    dx(t) dt = f(t, xt), t ≥ t0 x(t) = φ0(t − t0), t0 − τ ≤ t ≤ t0 (2.8) Définition 2.4. La fonction x est solution de l’équation (2.7) sur h t0 − τ, βh si x est solution de (2.3) sur h t0 − τ, βh et vérifie xt0 = φ0. Les lemmes suivants sont utiles pour la suite. Lemme 2.1. [33, 76] Si la fonction x : h t0 − τ, t0 + α i −→ R n est continue, alors l’application t 7−→ xt est une fonction continue de t ∈ h t0, t0 + α i vers C( h − τ, 0], R n ). Preuve Comme x est continue sur le compact h t0 − τ, t0 + α i , elle y est uniformément continue et ainsi pour tout ε > 0 il existe un δ > 0 tel que kx(t) − x(s)k < ε si   t − s    < δ. Par conséquent, pout t ∈ h t0, t0 + α i ,   t − s    < δ ⇒ kx(t + θ) − x(s + θ)k = kxt(θ) − xs(θ)k < ε ∀θ ∈ h − τ, 0 i . Lemme 2.2. [20] Soit x : [t0 − τ, β[−→ R n une fonction continue. Alors ∀ε > 0, ∀t ∈ [t0, β[, ∃δ > 0 : kxt − xtk < ε si t ∈ [t0, β) et |t − t| < δ. Preuve Soit t ∈ h t0, βh et ε > 0 donnés. Soit δ1 > 0 tel que t + δ1 < β. Comme x est uniformément continue dans le compact h t0−r,t+δ1 i , alors il existe δ ∈]0, δ1] tel que si s et s˜ ∈ [t0 − τ,t + δ1], on ait kx(s) − x(˜s)k < ε 2 , pour |s − s˜| < δ et donc si t ∈ [t0, β[ et |t − t| < δ alors kxt − xtk = sup −τ≤θ≤0 kx(t + θ) − x(t + θ)k ≤ ε 2 < ε Lemme 2.3. [33] Soient t0 ∈ R et φ0 ∈ C . La fonction x est une solution de (2.7) sur h t0 − τ, βh si et seulement si x ∈ C [t0 − τ, β[, R n  et vérifie    xt0 = φ0, x(t) = φ0(0) + Z t t0 f  t, xs  ds, t0 ≤ t ≤ β (2.9) L’équation (2.9) est une représentation intégrale de (2.7). 15 2.1. Généralités sur les équations à retards Définition 2.5. Soit f : J × C −→ R n et Λ ⊂ J × CD. On dit que f est lipschitzienne sur Λ s’il existe K ≥ 0 telle que f(t, φ) − f(t, ψ) ≤ Kkφ − ψkC ∀ (t, φ),(t, ψ) ∈ Λ. (2.10) Définition 2.6. [20] Soit f : J × C −→ R n . On dit que f est localement lipschitzienne si ∀ (t, ψ) ∈ (J × CD) donné, ∃a > 0, b > 0 telle que Λ ≡  [t − a,t + a] ∩ J  × n φ ∈ C : kφ − φ)k ≤ b o (2.11) soit un sous ensemble de (J × CD) et f est lipschitzienne sur Λ On peut remarquer que K peut dépendre de a, b et M. Nous prouvons maintenant quelques résultats qui seront utilisés dans la section suivante : Lemme 2.4. (Lemme de Gronwall)[20] Soient C une constante donnée et k une fonction continue non négative sur un intervalle J. Soient t0 ∈ J. Si v : J −→ [0,∞[ est continue et vérifie v(t) ≤ C+ | Z t t0 k(s)v(s)ds | ∀t ∈ J (2.12) alors v(t) ≤ Ce| R t t0 k(s)ds| ∀ t ∈ J (2.13) Preuve Supposons que t ≥ t0 et t ∈ J. L’inégalité (2.12) devient v(t) ≤ C + Z t t0 k(s)v(s)ds ou encore k(t)v(t) − k(t)  C + Z t t0 k(s)v(s)ds ≤ 0. Posons Q(t) = C + Z t t0 k(s)v(s)ds, alors Q 0 (t) − k(t)Q(t) ≤ 0. (2.14) En multipliant (2.14) par le facteur e − R t t0 k(s)ds on obtient d dt  Q(t)e − R t t0 k(s)ds ≤ 0. (2.15) En intégrant (2.15) de t0 à t et en remarquant que Q(t0) = C, on a Q(t)e − R t t0 k(s)ds − C ≤ 0 ce qui implique que Q(t) ≤ Ce R t t0 k(s)ds . En utilisant inégalité (2.12), on se ramène à v(t) ≤ Q(t) ≤ Ce R t t0 k(s)ds . On procède de la même façon si t ≤ t0 Dans cette sous-section, nous avons défini les équations différentielles à retards et avons donné des résultats qui seront utiles à l’établissement de la preuve de l’existence et l’unicité d’une solution de ces dites équations. L’établissement de la preuve de l’existence et l’unicité des EDFR est l’objet de la sous-section suivante.

Existence, unicité et dépendance aux conditions initiales

 Dans cette sous-section nous donnons les théorèmes d’existence et d’unicité des solutions de (2.7) ainsi que la dépendance continue par rapport aux conditions initiales. Théorème 2.1. (Unicité) Soit f : [t0, α[×CD −→ R n une fonction donnée. Si f est continue et localement lipschitzienne sur son domaine, alors pour φ0 ∈ CD et β ∈ [t0, α[, l’équation (2.7) admet au plus 17 2.1. Généralités sur les équations à retards une solution sur [t0 − τ, β[. Preuve Soit β ∈ [t0, α[. Supposons qu’il existe deux solutions x et x˜ définies de [t0−τ, β[ à valeurs dans R n avec x 6= ˜x. Posons t1 = inf {t ∈]t0, β[: x(t) 6= ˜x(t)} . Alors t0 < t1 < β et x(t) = ˜x(t) pour t0 − τ ≤ t ≤ t1. Comme (t1, xt1 ) ∈ [t0, β[×CD et f est localement lipschitzienne, il existe a > 0 et b > 0 tels que l’ensemble Λ = [t1, t1 + a] × {ψ ∈ CD : kψ − xt1 kCD ≤ b} ⊂ [t0, α[×CD et f K-lipschitzienne sur Λ. En vertu du lemme 2.2, il existe δ ∈]0, a] tel que (t, xt) ∈ Λ et (t, x˜t) ∈ Λ pour t1 ≤ t ≤ t1 + δ. De plus x et x˜ vérifient (2.9) pour t0 − τ ≤ t ≤ t1 + δ. Par conséquent pour t1 ≤ t ≤ t1 + δ, kx − x˜k = k Z t t0 [f(s, xs) − f(s, x˜s)] kds ≤ Z t t1 Kkxs − x˜skC. Le membre de droite étant une fonction croissante en t et kx − x˜k = 0 pour t1 − r ≤ t ≤ t1, kxt − x˜tkC ≤ Z t t1 Kkxs − x˜skCds pour t1 ≤ t ≤ t1 + δ. (2.16) De (2.16), en se servant du lemme 2.4, il résulte que x(t) = ˜x sur [t1, t1 + δ], ce qui contredit la définition de t1 Théorème 2.2. (Existence locale)[20] Soient D un ouvert de R n , f : [t0, α[×CD −→ R n une fonction continue et localement lipschitzienne. Alors pour φ0 ∈ CD, le problème (2.7) admet une unique solution sur [t0 − τ, t0 + ∆[, ∆ > 0. 18 2.1. Généralités sur les équations à retards Preuve Soient a et b suffisamment petits tels que Λ ≡ [t0, t0 + a] × {ψ ∈ C : kψ − φ0kC ≤ b} ⊂ [t0, α[×C[ et f lipschitzienne sur Λ de rapport K. Définissons la fonction x sur [t0 − τ, t0 + a] −→ R n par x =    φ0(t − t0), t0 − τ ≤ t ≤ t0 φ0(0), t0 ≤ t ≤ t0 + a. x dépend continûment de t. Alors il existe une constante positive B1 telle que kf(t, xt)k ≤ B1. Posons B = Kb + B1. Choisissons a1 ∈]0, a] tel que kxt − φ0kC = kxt − xt0 kC ≤ b, pour t0 ≤ t ≤ t0 + a1. Soient ∆ > 0 tel que ∆ ≤ min{a1, b B } et S =    x ∈ C [t0 − τ, t0 + ∆], R n  :    x(t) = φ0(t − t0), t0 − τ ≤ t ≤ t0 kx(t) − φ0(0)k ≤ b, t0 ≤ t ≤ t0 + ∆.    Si x ∈ S et t ∈ [t0, t0 + ∆], alors kx(t) − xtkC ≤ b. Il s’en suit que kf(t, xt)k ≤ kf(t, xt) − f(t, xt)k + kf(t, xt)k ≤ Kkxt − xtkC + B1 ≤ B Pour tout x ∈ S définissons la fonction T x sur [t0 − τ, t0 + ∆] par T x(t) =    φ0(t − t0), t0 − τ ≤ t ≤ t0 φ0(0) + Z t t0 f(s, xs)ds, t0 ≤ t ≤ t0 + ∆ T x est continue et comme kf(s, xs)k < B, on a : k(T x)(t) − φ0(0)k ≤ B∆ ≤ b pour t0 ≤ t ≤ t0 + ∆. 19 2.1. Généralités sur les équations à retards Ainsi T x ∈ S c’est à dire T : S −→ S. x 0 (t) =    φ(0), t0 ≤ t ≤ σ + ∆ φ(t − t0), t0 − τ ≤ t ≤ t0. En utilisant la méthode des approximations successives, on a : x 1 = T x0 , x2 = T x1 , · · · , xn = T xn−1 . Clairement x m+1(t) = φ(0) + Z t t0 f(s, x(m) s )ds t0 ≤ t ≤ t0 + ∆ (2.17) et pour m = 0, 1, · · · , · · · , xm(t) = φ(t − t0) si t0 − r ≤ t ≤ t0. Montrons que la suite (x m(t))m converge pour t0 ≤ t ≤ t0 + ∆ kx 1 (t) − x 0 (t)k = Z t t0 f(s, x0 s ) ds ≤ 2b, t ∈ [t0, t0 + ∆]. De (2.17), en utilisant la condition de Lipschitz et du fait que x m t0 = x m−1 t0 il vient : kx m+1(t) − x m(t)k = Z t t0 [f(s, x(m) s ) − f(s, x(m−1) s )]ds ≤ K Z t t0 x (m) s − x (m−1) s ds ≤ K Z t t0 x (m) s − x (m−1) s C ds En particulier kx 2 (t) − x 1 (t)k ≤ K Z t t0 x 1 s − x 0 s ds = 2bK(t − t0) et kx 3 (t) − x 2 (t)k ≤ K Z t t0 x 2 s − x 1 s ds = 2b [K(t − t0)]2 2! et par récurrence kx m+1(t) − x m(t)k ≤ 2b [K(t − t0)]m m! (2.18) La série X∞ m=0 2b [K(t − t0)]m m! étant convergente, la série x 0 (t) + X∞ 0  x m+1(t) − x m(t)  converge normalement donc uniformément sur [t0 − τ, t0 + ∆]. Par conséquent la suite x m(t) = x 0 (t) + mX−1 k=0  x k+1(t) − x k (t)  converge uniformément sur [t0 − τ, t0 + ∆]. Posons x(t) = limm→∞ x m(t), [t0 − τ, t0 + ∆]. x(t) est continue et vérifie xt0 = φ0. Montrons maintenant que x(t) vérifie (2.9). On remarque que lim m−→∞ f(s, xm s ) = f(s, xs), t0 ≤ s ≤ σ + A, uniformément parce que kf(s, xm s ) − f(s, xs)k ≤ Kkx m s − xsk ≤ Kkx m − x(t)kC. Cette convergence uniforme entraîne limm→∞ Z t t0 f(s, xm s )ds = Z t t0 f(s, xs)ds. Ainsi, en passant à la limite dans les deux membres de (2.17), on obtient (2.9). Définition 2.7. Soient x définie sur [t0 − τ, β1[ et y sur [t0 − τ, β2[ deux solutions de (2.7). Si β2 > β1 et x(t) = y(t) pour t ∈ [t0 − τ, β1[, on dit que y est un prolongement de x. Définition 2.8. Une solution x de (2.7) est dite maximale si elle n’admet pas de prolongement. C’est à  dire que l’intervalle [t0 − τ, β1[ est l’intervalle maximal d’existence de la solution x. Définition 2.9. La fonctionnelle f : [t0, α[×CD −→ R n est dite quasi-bornée si f est bornée sur tout ensemble de la forme [t0, β[×CA où t0 < β < α et A ⊂ D est un compact. Théorème 2.3. (Prolongement)[20] Soit f : [t0, α[×CD −→ R n une fonction continue, localement lipschitzienne et quasibornée. Alors pour tout φ0 ∈ CD il existe un β > 0 tel que a) Le problème aux valeurs initiales (2.7) ait une unique solution maximale x sur [t0−τ, β[. b) Si β < α alors pour tout compact A ⊂ D, x(t) ∈/ A ∀ t ∈]t0, β[. Théorème 2.4. (Existence globale)[20] Soit f : [t0, α) × C −→ R n une fonction continue, localement lipschitzienne. Si kf(t, ψ)k ≤ M(t) + N(t)kψkC sur [t0 − τ, α[×C (2.19) où M et N sont des fonctions continues positives sur [t0, α[, Alors l’unique solution non prolongeable de (2.7) existe sur [t0 − τ, α[. Théorème 2.5. ( Conditions initiales)[20] Soit f : [t0, α[×CD −→ R n continue et globalement lipschitzienne de rapport K. Soient φ0, φ˜ 0 ∈ CD données et x et x˜ les uniques solutions de (2.9) avec xt0 = φ0 et x˜t0 = φ˜ 0. Si x et x˜ sont valides dans [t0, β[, alors kx(t) − x˜(t)k ≤ kφ0 − φ˜ 0kCe K(t−t0) (2.20) Preuve Soient x et x˜ deux solutions de (2.9). kx(t) − x˜(t)k = φ0 − φ˜ 0 + Z t t0 [f(s, xs) − f(s, x˜s)] ds ≤ φ0 − φ˜ 0 + k Z t t0 [f(s, xs) − f(s, x˜s)] kds ≤ φ0 − φ˜ 0 C + Z t t0 K xs − x˜s C ds pour t0 ≤ t ≤ t. 22 2.2. Stabilité Comme x(t) − x˜(t) ≤ φ0 − φ˜ 0 sur [t0 − τ, t0] il s’en suit que xt − x˜t C ≤ φ0 − φ˜ 0 C + Z t t0 K xs − x˜s C ds pour t0 ≤ t ≤ β. En appliquant le lemme de Gronwall avec C = kφ0 − φ˜ 0kC et k(s) = K, on a : kx(t) − x˜(t)k ≤ kxt − x˜tkC ≤ kφ0 − φ˜ 0kCe K(t−t0) pour t0 ≤ t ≤ β. (2.21) Dans cette section, nous avons donné des résultats sur l’existence et l’unicité d’une solution de l’équation (2.7). Un bon nombre de ces résultats peuvent être obtenus dans [20, 32]. A présent intéressons nous à la stabilité d’une solution de (2.7). 2.2 Stabilité La stabilité est l’une des propriétés des systèmes dynamiques la plus étudiée. En effet, la résolution explicite, ou même approchée, d’une équation différentielle est en général impossible, les méthodes numériques permettant seulement de calculer sur un intervalle de temps fini une solution correspondant à des conditions initiales données. La théorie vise donc plutôt une étude qualitative des phénomènes et cherche en particulier à en comprendre l’évolution à long terme. La notion de stabilité dont l’importance, pour de nombreux problèmes pratiques, est comparable à celle de la connaissance effective des solutions s’impose. La notion de stabilité prend ses origines en mécanique et notamment dans l’étude du système solaire. A cet effet beaucoup de définitions de la stabilité ont été introduites (stabilité au sens de Lagrange-Dirichlet, stabilité au sens de Poisson- Poincaré, et la stabilité au sens de Lyapunov). Il s’agira ici de la stabilité au sens de Lyapunov L’objet de cette section est de présenter la stabilité des systèmes à retards.

Stabilité 

Nous présentons quelques notions de base concernant la stabilité des systèmes à retards. Rappelons tout d’abord que l’étude de la stabilité d’un point d’équilibre d’un système avec ou sans retard consiste toujours à observer que son évolution reste proche du point d’équilibre lorsqu’on s’en écarte d’un certain voisinage. La stabilité asymptotique, en plus de garantir la condition précédente, indique que le système reviendra exactement au point d’équilibre au bout d’un certain temps éventuellement infini (si on s’en écarte légèrement). Considérons le système    x˙(t) = f(t, xt), t ≥ t0 xt0 = ϕ0, sur C (2.22) Définition 2.10. [38] La solution z(t) du problème (2.22) est dite stable (au sens de Lyapunov ) si, pour tout ε > 0, il existe δ = δ(, t0) > 0 tel que kx(t0) − zt0 kC ≤ δ ⇒ kx(t, t0, ϕ0) − z(t)k ≤ , ∀t ≥ t0. La stabilité au sens de Lyapunov signifie qu’un voisinage étroit défini par un ε arbitraire de la solution x(t) contient toutes les solutions du problème (2.22) qui sont suffisamment proche de zt0 à l’instant initial t0[38]. Définition 2.11. Un état x e ∈ R n est dit état d’équilibre si l’application constante t 7→ x e est solution de l’équation dx dt = f(t, xt) Dans ce qui suit, il conviendra de poser x e = 0, quitte à faire un changement d’inconnue approprié. En clair, ceci revient à supposer que f(t, 0) = 0 pour tout t. L’étude de la stabilité de toute solution z(t) peut être réduite à l’étude de la stabilité 

 Stabilité de la solution triviale

Pour cela, il suffit d’introduire la fonction y(t) = x(t) − z(t). Alors y˙(t) = f(t, yt + zt) − f(t, zt) = g(t, yt), g(t, 0) = 0 (2.23) Dans la suite nous supposons que f(t, 0) = 0 et nous allons étudier la stabilité de la solution d’équilibre x e de (2.22). Définition 2.12. La solution d’équilibre x e de (2.22) est dite stable si, ∀ > 0, il existe δ(t0, ) > 0 tel que kϕ0kC ≤ δ ⇒ kx(t, t0, ϕ0)k ≤ , ∀t ≥ t0. Sinon la solution d’équilibre est dite instable Figure 2.2 – Stabilité au sens de Lyapunov pour un point d’équilibre xe 

 Stabilité uniforme 

Définition 2.13. [38] L’état x e = 0 est uniformément stable si, ∀ > 0, il existe δ() > 0 tel que kϕ0kC ≤ δ ⇒ kx(t, t0, ϕ0)k ≤ , ∀t ≥ t0 25 2.2. Stabilité La stabilité uniforme est plus forte que la stabilité au le sens de la définition 2.12. 2.2.3 Stabilité asymptotique Définition 2.14. [38] L’état x e = 0 est dit asymptotiquement stable s’ il est stable et s’il existe b0(t0) > 0 tel que kϕ0kC ≤ b0 ⇒ lim t→∞ x(t, t0, ϕ0) = 0 Définition 2.15. L’état x e = 0 est dit uniformément asymptotiquement stable si elle est uniformément stable et s’il existe b0 > 0 tel que pour tout η > 0, il existe un T(η) tel que : kϕ0kC ≤ b0 ⇒ kx(t, t0, ϕ0)k ≤ η, ∀t ≥ t0 + T(η). Définition 2.16. L’état d’équilibre x e = 0 (2.22) est dite globalement uniformément asymptotiquement stable s’il est uniformément asymptotiquement stable quel que soit ϕ0 ∈ C. 2.2.4 Stabilité exponentielle Définition 2.17. L’état x e = 0 est dit exponentiellement stable s’il existe trois constantes positives a, b et δ dépendant de t0 telles que : kϕ0kC ≤ δ ⇒ kx(t, t0, ϕ0)k ≤ akϕ0kCe −b(t−t0) .