UN RÉSULTAT DE COMPACITÉ POUR M A X   W E L L 2 D

 Un résultat de décomposition des champs électriques

Démontrons un résultat de décomposition continue des champs qui appartiennent à VN (ε; Ω). Ce genre de résultats remonte aux travaux de Birman-Solomyak [13, 12, 14, 15]. Nous donnons ici une preuve qui suit les lignes des démonstrations des théorèmes 3.4 et 3.5 de [65]. Par hypothèse, la partition P de Ω est numérotée de sorte que Ωj et Ωj+1 partagent au moins une arête, pour j = 1 . . . N − 1. Nous appelons A1, . . . , AN−1 ces arêtes. Commençons par prouver un résultat intermédiaire. Proposition 8.2.1 Considérons u un élément de VN (ε; Ω). Il existe u1 ∈ HN (ε; Ω) et u2 ∈ VN (ε; Ω) vérifiant (rotu2, 1)Ωj = 0 pour j = 1 . . . N, tels que u = u1 + u2. De plus, on a l’estimation de continuité ∥u1∥PH1 (Ω) + ∥u2∥VN (ε; Ω) ≤ C ∥u∥VN (ε; Ω) (8.1) où la constante C est indépendante de u. Preuve. Pour tout w ∈ VN (ε; Ω), nous définissons mj (w) := (rot w, 1)Ωj , pour j = 1 . . . N. Pour prouver le résultat cette proposition, construisons explicitement une famille (fj )j=1…N−1 d’éléments de HN (ε; Ω) telle que la fonction u2 := u − N ∑−1 i=1 ci fi , avec ci = ∑ i k=1 mk(u), i = 1 . . . N − 1, (8.2) vérifie automatiquement les conditions mj (u2) = 0, j = 1 . . . N. Pour j = 1 . . . N −1, introduisons nj la normale unitaire sortante à Aj , dirigée de Ωj vers Ωj+1, et τ j tel que (τ j , nj ) soit une base orthonormée directe. Considérons Mj un point intérieur donné de Aj , et définissons rj la distance à Mj . Introduisons ensuite fj := Cjζj (rj )τ j , où ζj ∈ C ∞ 0 (R+), est égale à 1 dans un voisinage de 0, à support tel que supp fj ∩ S = ∅ et (supp fj ∩ A) ⊂ Aj . La constante Cj est choisie de sorte que (rot fj , 1)Ωj = ∫ Aj fj · τ j = 1

Une étude de régularité

Rappelons que Ω est un ouvert connexe borné à frontière polygonale connexe de R 2 . Dans cette section, nous allons montrer que sous certaines hypothèses que nous décrirons plus loin, le potentiel scalaire φ ∈ H1 0 (Ω) qui apparaît dans la décomposition du Théorème 8.2.2 est en fait « plus régulier que H1 ». Plus précisément, nous allons prouver qu’il existe σ0 > 1, qui dépend seulement de Ω, de la partition et de ε, tel que φ ∈ ∩s < σ0H s (Ω). Introduisons l’opérateur non borné F : D(F) → L 2 (Ω) tel que Fu := div (ε∇u) avec D(F) := { u ∈ H 1 0 (Ω)| div (ε∇u) ∈ L 2 (Ω)} . (8.5) Nous souhaitons étudier la régularité des éléments de D(F). Pour cela, donnons-nous u ∈ D(F) quelconque. Parfois, nous utiliserons la notation f := Fu = div (ε∇u) ∈ L 2 (Ω). Débutons par quelques résultats bien connus. Classiquement [109, chapitre 2, volume 1], [88, théorème 2.1.3], [7], on a le résultat de régularité intérieure suivant. Théorème 8.3.1 Soit O un sous-ensemble ouvert de Ω tel que O ∩ S = O ∩ A = ∅. Alors u appartient à H2 (O), avec l’estimation ∥u∥H2(O) ≤ C (∥div (ε∇u)∥Ω + ∥∇u∥Ω ) où la constante C est indépendante de u. D’autre part, le théorème 2.1.4 de [88] fournit le résultat suivant de régularité au voisinage des arêtes extérieures. Théorème 8.3.2 Soit O un sous-ensemble ouvert de Ω tel que O ∩ S = O ∩ Aint = ∅. Alors u appartient à H2 (O), avec l’estimation ∥u∥H2(O) ≤ C (∥div (ε∇u)∥Ω + ∥∇u∥Ω ) où la constante C est indépendante de u. La partie difficile consiste bien entendu à étudier la régularité au voisinage de l’interface entre les différents matériaux du composite. 200 Chapitre 8. Un résultat de compacité pour Maxwell 2D 8.3.1 Régularité au voisinage des arêtes internes Considérons M un point intérieur de A ∈ Aint. Supposons que Ω1 et Ω2 soient deux sousdomaines de P tels que Ω1∩Ω2 = A. Considérons d suffisamment petit de sorte que B(M, d)∩S = ∅ et (B(M, d)∩A) ⊂ A où B(M, d) note la boule de centre M et de rayon d. Bien sûr, le saut de valeur de ε en A empêche a priori u d’appartenir à H2 (B(M, d)). Cependant, le Théorème 3.1.4 du Chapitre 3 (voir également [72, théorème 2.1]) va nous permettre de montrer que uj ∈ H2 (B(M, d)∩Ωj ), j = 1, 2. Prenons le temps d’écrire le processus de localisation. Notons (r, θ) les coordonnées polaires centrées en M. La coordonnée angulaire θ est choisie de façon arbitraire. Introduisons χ ∈ C ∞ 0 (R +, [0; 1]), égale à 1 sur [0; d], à support contenu dans [0; dM]. Ici, dM > d est suffisamment petit de sorte que B(M, dM) ∩ S = ∅ et (B(M, dM) ∩ A) ⊂ A. Définissons la fonction de troncature radiale χM : (r, θ) 7→ χ(r) et les bandes infinies I := R × I, Ij := R × Ij , j = 1, 2, avec respectivement I := ]−dM; dM[, I1 := ]−dM; 0[ et I2 := ]0; dM[. Sans perte de généralité, nous supposons A ⊂ R × {0}, (B(M, dM) ∩ Ωj ) ⊂ Ij , j = 1, 2. Notons ˜f le prolongement de f = Fu = div (ε∇u) par 0 à I. La fonction χMu appartient à H1 0 (B(M, dM)) si bien que son prolongement w par 0 à I constitue un élément de H1 (I). Définissons ensuite p := ε (w∆χM + 2∇w · ∇χM) + ˜fχM ∈ L 2 (I). (8.6) D’après sa définition, w vérifie le problème de transmission suivant dans la bande infinie I Trouver w ∈ H1 (I) tel que εj∆wj = pj dans Ij , j = 1, 2 wj = 0 sur ∂Ij ∩ ∂I, j = 1, 2 w1 − w2 = 0 sur ∂I1 ∩ ∂I2 ε1∂yw1 − ε2∂yw2 = 0 sur ∂I1 ∩ ∂I2. En vertu du Théorème 3.1.4 du Chapitre 3, lorsque ε1 + ε2 ̸= 0, nous déduisons que w1 et w2 appartiennent respectivement à H2 (I1) et H2 (I2) avec l’estimation ∥w1∥H2(I1) + ∥w2∥H2(I2) ≤ C ∥p∥I . En utilisant l’expression (8.6) de p et en se rappelant que χM = 1 sur B(M, d), on obtient ∥u1∥H2(B(M,d)∩Ω1) + ∥u2∥H2(B(M,d)∩Ω2) ≤ C (∥div (ε∇u)∥Ω + ∥∇u∥Ω ). Résumons ce résultat avec le Théorème 8.3.3 Soit O un sous-ensemble ouvert de Ω tel que O∩S = ∅ et (O∩A) ⊂ A = Ωi∩Ωj . Si εi + εj ̸= 0, alors ui appartient à H2 (O ∩ Ωi), uj appartient à H2 (O ∩ Ωj ), et on a l’estimation ∥ui∥H2(O ∩ Ωi) + ∥uj∥H2(O ∩ Ωj ) ≤ C (∥div (ε∇u)∥Ω + ∥∇u∥Ω ) où la constante C est indépendante de u.