Un modèle simplifié de pneumatique

Un modèle simplifié de pneumatique

Mécanique simplifiée du pneumatique

On veut répondre à la question suivante, comment faire un bon choix de géométrie de pneumatique? On va justifier ce choix par un modèle mécanique assez sommaire. – On commence par l’étude de la bande de roulement quand le pneumatique est au repos sur la chaussée. La question abordée est de savoir si la tension dans ¡a bande de roulement reprend les efforts de pression, ou si ces efforts sont repris par les flancs. – L’action des flancs sur la bande de roulement fait ensuite l’objet d’un paragraphe particulier. L’étude est menée en négligeant les efforts d’inertie et on supposera que les conclusions restent valables lorsque le pneumatique est en roulement stationnaire. – Ces deux études vont nous permettre d’aborder l’étude d’un pneumatique en roulement stationnaire. On choisira une description de ¡a géométrie de la bande de roulement, qui dépendra de quelques paramètres. Puis, avec une hypothèse de mouvement uniforme, on va en déduire des conditions d’équilibre. Ces conditions nous permettent d’une part de vérifier la cohérence de la proposition faite pour ce choix de la géométrie, et d’autre part de déterminer les paramètres manquants en fonction du poids appliqué sur la roue.

Etude d’un pneumatique au repos

Lorsqu’un pneumatique est au repos, en appui sur la chaussée, on a l’impression qu’il y a un angle entre la partie de la bande de roulement en contact avec la chaussée, et la partie de la bande de roulement qui ne l’est pas. On a aussi l’impression que la partie de la bande de roulement qui n’est pas en contact avec ¡a chaussée a une forme circulaire. Partant de ces deux constatations, on va montrer que la tension dans la bande de roulement est négligeable. • Equilibre du point anguleux Le point anguleux peut être équilibré par trois forces: une réaction concentrée de la chaussée en ce point si elle existe, la tension dans la bande de roulement du côté en contact avec la chaussée et la tension dans la bande de roulement du côté opposé. La figure 5.1 montre la répartition de la pression dans la zone de contact pour un pneumatique de camion. La pression a l’air d’être répartie uniformément dans l’empreinte. Il n’y aurait donc pas de réaction concentrée de la chaussée. Le point anguleux n’est donc équilibré que par ia tension de la bande de roulement de part et d’autre 90 du point anguleux. Ces deux tensions devraient donc être opposées, tout en n’étant pas alignées. La tension dans la bande de roulement est donc négligeable à cet endroit. Dans le domaine où la bande de roulement n’est pas en contact avec la chaussée, les flancs sont tendus, F (6) et tirent dans la direction du centre de la roue avec une densité linéique de force – indéterminée. En se rapportant à la figure 5.7, on détermine les équations d’équilibre dans le repère (T,N) : T0(8 + de) f{9 + d&) – T0{8) f(ß) – Rb epi de N{6) + 2 F{6) dß Ñ(0) = 0. La seconde équation d’équilibre indique que ce sont les flancs qui reprennent les efforts de pression. C’est en fait la seule hypothèse de ce modèle. La première équation d’équilibre est une conséquence et indique que la tension est constante (et donc partout nulle). Dans la suite, on se place dans cette hypothèse caricaturale de flancs qui reprennent les efforts de pression.

Comportement des flancs

On étudie un secteur angulaire de flanc de petite ouverture 89, situé autour d’un angle 6 par rapport à la verticale. On modéîise ce secteur de flanc comme une corde inextensible. Il faut garder à l’esprit que la section de cette corde est proportionnelle à la distance curviligne au centre de la roue. Une représentation est proposée dans la figure 5.2. L’objet de ce paragraphe est d’étudier la relation entre fa flexion d’un secteur de flanc et la force — F56 exercée sur la bande de roulement au point $. rayon de la jante Rj pression de gonflement pi longueur totale du flanc L longueur de flanc entre la jante et îe point courant / distance du point courant à l’axe de la roue r(l) déplacement orthoradial du point courant z(l) tension interne r{l)80 force exercée sur la bande de roulement dans la direction radiale FS0 vecteur tangent T angle entre le vecteur tangent et l’axe radial ß{l) En effet, la force exercée par la bande de roulement peut être déterminée par l’équilibre du secteur de fianc. Si on néglige l’effet des efforts d’inertie face aux autres efforts, et le cisaillement entre les secteurs de flanc, l’équilibre relie les efforts extérieurs (pression de gonflement, action de la jante, Chapitre 5 91 action de la bande de roulement) aux efforts internes. En négligeant les efforts de flexion, les efforts internes sont une tension r58 alignée avec le vecteur tangent T. On a donc par l’équilibre une relation entre la forme (le vecteur T) et la force F. • Les équations d’équilibre La tension est alignée avec le vecteur tangent T = (-—, —). L’effort extérieur est la pression, portée dl dl par le vecteur normal. Les équations d’équilibre sont : T{1 + dl)80T(l + dl) – T{1)60T(1) + pi(l + Rr)S9dlÑ(l) = O AT – riß -, -, ^-jrT + T-^N+Ml + RrW^O ai al L’équilibre suivant T indique que la tension r est constante. On a aussi une condition en force au point de rattachement avec la bande de roulement qui permet de déterminer cette tension : Tcosß(L) = F La seconde équation permet de déterminer la forme du flanc : dß _ pi(l + Rr) di ~ T Finalement on connaît l’angle entre la tangente et l’axe radial partout si on le connaît au niveau du point d’attache avec la bande de roulement : ßil) = ~ PtC0^ (L) ((Ri + If – {Ri + Lf) + ß(L) m La condition d’inextensibilité Comme i est une longueur curviligne, la condition d’inextensibilité implique que le vecteur T est de norme 1. Comme ß(l) est l’angle entre le vecteur tangent et l’axe radial, la condition d’inextensibilité s’écrit aussi : dr dz . —r = sin p dl • Les conditions aux limites dz La jante et la bande de roulement sont indéformables et donc z(0) = z(L). L’équation — = sin/? s’intègre en : z{L) – .(0) = £ sin (-» C0^ {L) ((R3 + D2 – {Ri + Lf) + ß(L) »j dl = 0 92 Cette équation permet de définir ß{L) en fonction de F : ß(L) = g{F). • Résolution des équations dr En intégrant ensuite l’équation —• = cos/3, on obtient un réseau de courbe qui pour une valeur de F et al une valeur de ß(L) donnent une valeur de !a longueur apparente du flanc (surface r(L) = h (F,ß(L)), On obtient ensuite !e comportement en faisant l’intersection de ce réseau de courbe avec la courbe ß(L) = g(F) obtenue par les conditions aux limites. La figure 5.3, est une application avec les paramètres suivants: Pi 1,8 kg/cm2 « 180 kPa L 8 cm On a tracé dans un graphe où F est en abscisse (en N), et ß(L) est en ordonnée (en rad), les isovaleurs de Sa fonction h (F,ß(L)) pour quatre valeurs: 6 cm, 6,5 cm, 7 cm et 7,5 cm. On a aussi tracé la courbe ß(L) = g(F). Pour lire le comportement, il suffit de se donner une valeur pour la force exercée sur la bande de roulement, on en déduit ta valeur de l’angle entre le secteur de flanc et l’axe radia! ß(L), puis la valeur de r(L) correspondant à ces deux données.