Un manuel scolaire : Maths-repères (Edition 2010)

Le programme « côté probabilités et statistiques »

Dans le programme103, nous observons que les cadres relatifs à l’enseignement des probabilités et des statistiques sont présentés séparément, mais à la suite l’un de l’autre. Cependant, comme le soulignent les concepteurs du programme, ces deux domaines mathématiques sont en relation étroite l’un avec l’autre et par conséquent doivent faire l’objet d’allers et retours. Les objectifs visés par ces deux enseignements sont en étroite relation avec des résolutions de problèmes dans le cadre de l’analyse des données. En effet, dans le cadre de l’analyse des données, cela doit aider les élèves à être capables104 :
• de déterminer et interpréter des résumés d’une série statistique ;
• de réaliser la comparaison de deux séries statistiques à l’aide d’indicateurs de position et de dispersion, ou de la courbe des fréquences cumulées ;
Par rapport à l’enseignement des probabilités et des statistiques abordés en classe de Troisième, l’essentiel des nouveaux savoirs dans le domaine des statistiques en classe de Seconde va se porter sur une introduction aux statistiques inférentielles, sans que cela soit dit explicitement. Ainsi, le programme insiste sur le fait qu’un tel enseignement va permettre, dans le cadre de l’échantillonnage105 :
• de faire réfléchir les élèves à la conception et la mise en œuvre d’une simulation ;
• de sensibiliser les élèves à la fluctuation d’échantillonnage, aux notions d’intervalle de fluctuation et d’intervalle de confiance et à l’utilisation qui peut en être faite.
Les compétences à acquérir par les élèves de Seconde sur l’échantillonnage sont celles du tableau donné ci-dessous.
De même dans le domaine des probabilités, on attend des élèves qu’ils soient capables de106 :
• modéliser afin d’étudier des expériences leur permettant de s’approprier le concept d’équiprobabilité ;
• de proposer un modèle probabiliste à partir de l’observation de fréquences dans des situations simples ;
• d’interpréter des événements de manière ensembliste ;
• de mener à bien des calculs de probabilité.
Les situations proposées par l’institution (documents d’accompagnement et manuels) concernent des expériences à une ou plusieurs épreuves. De même, la répétition d’expériences aléatoires doit pouvoir donner lieu à l’écriture d’algorithmes, en particulier lors de marches aléatoires.
Les compétences à acquérir par les élèves de Seconde sur les probabilités sont celles rappelées dans le tableau ci-dessous.
Quelques commentaires
Pour compléter les extraits donnés ci-dessus, dans les contenus sur l’échantillonnage, il est proposé la notion d’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %, relatif aux échantillons de taille n. Cet intervalle peut être obtenu, de façon approchée, par simulation107. Pour cela, l’enseignant a la possibilité de faire percevoir expérimentalement la validité des propriétés en lien avec un tel intervalle, sachant que leurs validités ne sont pas exigibles au niveau de la Seconde.
Le programme précise qu’un échantillon de taille n est constitué des résultats de n répétitions indépendantes de la même expérience.
En ce qui concerne l’analyse de données, le programme indique que les élèves doivent utiliser un environnement informatique de type tableur ou logiciel algorithmique, ou encore une calculatrice scientifique afin d’étudier les différentes propriétés d’une série statistique.
• l’occasion de la mise en place d’une simulation d’une expérience aléatoire, l’élève peut108 :
◦ utiliser les fonctions logiques d’un tableur ou d’une calculatrice ;
◦ mettre en place des instructions conditionnelles dans un algorithme.
L’apport de l’environnement informatique (tableur, algorithmes et programmation) mis en pratique au cours de cet enseignement doit permettre d’amener les élèves à un questionnement lors d’activités comme109 :
• l’estimation d’une proportion inconnue à partir d’un échantillon ;
• la prise de décision à partir d’un échantillon.
Pour les calculs de probabilités, il est conseillé aux élèves de construire et d’interpréter des arbres pondérés de probabilités ainsi que des diagrammes ou des tableaux.
Il est à souligner qu’aucune connaissance n’est exigible sur la notion de variable aléatoire
et par conséquent sur les lois discrètes au niveau de la classe de Seconde.

Un document d’accompagnement

Le document d’accompagnement110 sur « Les statistiques et les probabilités » de Seconde propose dans le paragraphe intitulé « Calculs de probabilités » divers exemples d’algorithmes autour de situations aléatoires. Par exemple, Les auteurs du document écrivent :
• Une marche aléatoire est une trajectoire constituée de pas successifs, aléatoires et indépendants. Les applications des marches aléatoires sont multiples tant en botanique […], en sciences physiques […], en économie […] ou en sciences informatiques […], etc. »
Cette observation est accompagnée d’exemples comme celui concernant des sauts d’une puce se déplaçant sur un axe :
• Une puce se déplace sur un axe gradué : à chaque saut, elle se déplace d’une unité, de manière aléatoire et équiprobable vers la droite ou vers la gauche. Elle part de l’origine et effectue une marche de 30 sauts. Proposer un algorithme donnant la position d’arrivée de la puce, c’est-à-dire la position de trentième saut. Enrichir l’algorithme pour donner la liste des positions d’arrivée de N marches aléatoires. »
Ainsi, dans cet exemple nous constatons que les auteurs attendent que l’élève mette en place une démarche scientifique nécessitant la construction d’un algorithme qui requière l’emploi de la fonction RANDOM() (ou ALEA suivant l’environnement informatique choisi) pour générer un nombre aléatoire compris dans l’intervalle [0 ; 1[. De plus, l’élève doit aussi déterminer le type de la variable informatique (ici, NOMBRE) permettant de désigner la position de la puce. Ainsi, dans le cas d’un algorithme implémentable dans l’environnement numérique AlgoBox, l’élève peut proposer l’algorithme donné ci-dessous : Figure 171 (Un algorithme modélisant une marche aléatoire sur un axe gradué)
Les auteurs proposent ensuite que l’élève s’interroge sur la fréquence des différentes positions d’arrivée. Pour cela, il est attendu que l’élève modifie son algorithme initial afin de simuler N marches aléatoires de sauts donnés (ici 30) pour représenter les résultats obtenus à l’aide d’un graphique, comme un diagramme à bâtons.
Ainsi, les travaux sur des marches aléatoires proposés aux élèves restent dans une perception intuitive, lorsque les épreuves successives sont indépendantes (au sens où la première épreuve n’a aucune influence sur la seconde, et ainsi de suite).
Le document d’accompagnement propose des situations simples à deux épreuves qui ont pu être travaillées au collège à l’aide de petits arbres pondérés. Il s’agit ainsi d’entretenir, sans aucun nouveau développement ni aucune complexification, le type de présentation et son mode opératoire, qu’est un arbre de probabilité. En Seconde toute connaissance sur le conditionnement reste hors programme.