TRAVAUX PRÉLIMINAIRES POUR L’APPLICATION DE LA MÉTHODE XFEM AU MODÈLE DE MINDLIN-REISSNER

Deux solutions exactes du modèle de Mindlin-Reissner avec fissure

On propose ici deux solutions exactes du modèle de Mindlin enprésence d’une fissure. Ces solutions vérifient les équations (1.76) et (1.77) du modèle, données page 38, ainsi que les conditions de bord libre le long de la fissure (données à la même page et sur la page précédente). Ajoutons que ces solutions sont singulières, ce qui est indispensable pour mettre en évidence le gain de précision apporté par XFEM.
Les chargements qui donnent cette solution, notésF3 et Mα dans les équations (1.76) et (1.77), sont nuls. Sur le bord du domaine (en excluant la fis sure), on impose une condi-tion de Dirichlet non-homogène égale à la solution exacte.
Signalons maintenant quelques particularités de cette solution.
Elle n’est singulière qu’en u3, car l’expression de la rotation de la normale, en r3/2, est suffisamment régulière. En effet, les singularités de Kirchhoff-Love, aussi en r3/2, sont dans H5/2−η , ∀η > 0. Or, une régularitéH2 suffit pour que l’élémentQ1 soit de précision optimale. Donc θ n’est pas singulière.
Cependant, dès que ε est pris petit, le seul terme singulier de u3, qui est fonction de 20 ε2/(1 −ν), sera négligeable devant les deux autres termes réguliers,fonctions de 5 k et k (5 ν + 3)/(1 − ν). Rappelons que k, le facteur de correction de cisaillement transverse, est souvent pris égal à 5/6.
Ainsi, quand ε devient petit, la solution de ce problème tend à devenir régulière. Ceci indique que cette solution ne permettra de tester la précision de l’enrichissement singulier que pour des épaisseurs relativement élevées.

Etude d’erreur de la méthode XFEM, en l’absence de verrouillage

Pour faire cette étude, on va définir une méthode XFEM, en reprenant simplement la méthode publiée dans [15, 14], intitulée respectivement “XFEM with fixed enrichment area” et “XFEM with geometrical enrichment” dans les deux ré férences. Ensuite, on pro-gramme les deux cas-tests liés aux solutions ci-dessus, et on mesure l’erreur de la méthode XFEM, ainsi que celle d’une méthode d’éléments finis classiques, en fonction du pas de maillage (notéh).
La stratégie d’enrichissement est la même que celles proposée dans [15, 14] : pour rappels, l’ensemble J désigne les degrés de liberté (ddl) dont le support est complétement traversé par la fissure. L’ensemble K désigne les ddl dont le noeud est situé à l’intérieur du cercle de rayon R, centré sur le fond de fissure.

Expériences numériques

Les expériences numériques de ce chapitre ont été menées cavela bibliothèque Get-fem++ [9]. Elles consistent simplement à mesurer les erreur s numériques des méthodes d’element finis classique (FEM) et d’éléments finis étendue (XFEM). Seuls des maillages quadrangulaires structurés ont été utilisés. Le domainetesun carré de coordonnées[−0.5, 0.5]2, la fissure est localisée en (x1, x2) tels que x1 < 0 et x2 est nul. L’élément fini utilisé est le quadrangle Q1, pour u3 et pour chacune des deux composantes de θ. Pour une solution régulière, c’est-à-dire(u3, θ) dans [H2]3, son taux de convergence théorique en normes H1/L2 est O(h)/O(h2) (voir [5]). Dans les tests numériques, le rayonR du disque de convergence est pris à 0.15.

Résultat sur la première solution

Pour cette solution, trois épaisseurs ont été testées, pourdes valeurs de ε égales à 0.5, 0.1 et 0.05. La première valeur est très élevée, et conduit à une épaisseur égale au coté de la plaque : ce choix est imposé par le fait d’éviter lesituations où l’élément Q1 verrouille. Il en résulte que pour cette valeur le cas-testssimulé n’est plus dans le domaine de validité mécanique du modèle de plaque. Malgré ttce limitation, l’expérience numérique permettra tout de même de tirer des conclusions.
Les courbes d’erreur pour les 3 épaisseurs sont données Fig5..1 et 5.2. Sur la première figure, on peut voir que la méthode des éléments finis classique, notée « FEM » ne réalise pas une erreur optimale. En norme H1, le taux de convergence de l’erreur sur u3 est de 0.51, mais sur θ il est égal à 0.99 (c’est-à-dire optimal). En norme L2, les taux de convergences sont proches de 1. La méthode XFEM donne des taux de convergences proche de ceux optimaux, de 1 et 2 en norme L2 et H1 (signalons une légère perte sur l’erreur L2 sur θ, à 1.68 au lieu de 2). Pour cette valeur de ε, on voit clairement que la méthode XFEM permet d’obtenir le taux de convergence optimal, qui n’est pas atteint en éléments finis classiques.
Pour les deux valeurs suivantes de ε, la singularité dans u3 devient très petite par rapport aux parties régulières. C’est la raison pour laquell les méthodes XFEM et FEM donnent pratiquement la même erreur en normeH1, dont le taux de convergence est op-timal : la singularité ne l’altère plus. En normeL2, la méthode XFEM donne des taux de convergence quasi-optimaux. Par contre, pour la méthode “FEM”, malgré l’aspect négli-geable de la singularité, le taux de convergence n’est pas proche de 2, mais autour de 1.1 pour ε = 0.1 et de 1.5 pour ε = 0.05.
Malgré les épaisseurs élevées, il y a sans doute un peu de verrouillage numérique dans ces simulations. La présence de celui-ci est difficile à évaluer, car la quantitéru3 + θ dé-pend de ε, et est différente à chaque épaisseur. Or l’amplitude et le graphe de cette quan-tité influencent le verrouillage. Néanmoins, pourε = 0.5 le verrouillage est certainement quasi-inexistant.

Première solution, enrichissement partiel

Cette première solution n’étant singulière qu’enu3, nous nous sommes demandés si l’enrichissement singulier en θ était nécessaire. Nous avons donc mené la même expé-rience numérique que ci-dessus, pour les trois mêmes épaisseurs, mais sans enrichisse-ment singulier sur θ. Les résultats de cette méthode avec enrichissement “partiel” sont quasi-similaires à ceux avec enrichissement complet, pour les trois valeurs de ε. C’est pourquoi nous ne présentons que la courbe deε = 0.5, Fig. 5.3.

Deuxième solution Etude préliminaire du verrouillage numérique

L’expression de la deuxième solution ne dépend pas deε. Ainsi, en partant de la valeur ε = 1, on peut obtenir le niveau d’erreur de l’élémentQ1 sans verrouillage. En faisant baisser ε, le verrouillage apparaît, et l’erreur augmente. Ceci permet de donner une idée du niveau de verrouillage. L’étude a été menée sur maillageun 15 × 15, les résultats sont donnés TAB. 5.1 et TAB. 5.2. Pour les courbes de onvergences de cette étude, nous jugeons que le verrouillage est négligeable pour ε = 0.5, et qu’il est faible et acceptable pour ε = 0.1. Dans [26], par exemple, cette dernière épaisseur est considérée comme faisant partie du domaine de validité mécanique du modèle de plaque de Mindlin-Reissner.