Travaux en algorithmique et l’apprentissage des mathématiques au lycée

Articulation Espace de Travail Algorithmique et Espace de Travail Mathématique spécifique à la théorie élémentaire des nombres

Comme nous l’avons présenté dans le chapitre précédent, nous souhaitons diriger notre recherche sur ce que peuvent s’apporter mutuellement des travaux en algorithmique et l’apprentissage des mathématiques au lycée. Nous nous intéressons en particulier à la dépendance de cet apport relativement au domaine étudié et au niveau d’enseignement. Ce chapitre étudie la conception et l’analyse d’une ingénierie autour d’un algorithme en lien avec un domaine particulier des mathématiques : la théorie élémentaire des nombres et mettant en jeu la preuve en algorithmique. L’intervention de ce domaine inscrit bien l’ingénierie dans l’étude des interactions entre ETM et ETA spécifiques.  Traditionnellement, la théorie des nombres est considérée comme étant une branche des mathématiques qui traite des propriétés des nombres entiers, naturels ou relatifs, et qui contient de nombreux problèmes mettant en jeu au départ des notions simples. Elle occupe une place particulière dans les domaines des mathématiques. En effet, elle est en connexion avec de nombreux autres domaines des mathématiques.

Elle a fait de grands progrès au cours des dernières décennies et elle est encore en plein développement. Ainsi, au début de la préface de son ouvrage Algebraische Zahlentheorie, Neukirch (2006) écrit : « Die Zahlentheorie nimmt unter den mathematischen Disziplinen eine ähnlich idealisierte Stellung ein wie die Mathematik selbst unter den anderen Le terme arithmétique est aussi utilisé pour faire référence à la théorie des nombres. C’est un terme ancien qui est moins usité que par le passé. Pour éviter des confusions, jusqu’au début du vingtième siècle, quand on parlait de théorie des nombres, on utilisait en général le terme d’arithmétique supérieure. Cependant, l’adjectif arithmétique reste encore assez répandu de nos jours. En effet, il peut être utilisé en particulier pour désigner des domaines mathématiques, comme la géométrie algébrique arithmétique ou encore l’arithmétique des courbes et des surfaces elliptiques,… Cependant, ce sens du terme arithmétique ne doit pas être confondu avec celui utilisé dans le domaine de la logique lors de l’étude des systèmes formels axiomatisant les nombres entiers, comme il en est avec l’arithmétique de Peano (Mathématicien et linguiste italien, fin 19e et début 20e).

En effet, dans le cadre de l’arithmétique de Peano, nous avons un système logique destiné à fournir une axiomatisation formelle de l’arithmétique. Ici, la notion de nombre entier naturel est primitive. Le langage logique permet de construire les autres notions sur cette base. De plus, il donne un cadre logique dans lequel il est possible d’étudier les fonctions calculables. Ceci permet ensuite La théorie élémentaire des nombres est une branche de la théorie des nombre où les nombres entiers sont étudiés sans utiliser de techniques mettant en jeu d’autres domaines des mathématiques. Ainsi, les questions de divisibilité, l’algorithme d’Euclide pour calculer le Notre hypothèse, cohérente avec les buts énoncés au début de ce chapitre, est que le domaine de la théorie élémentaire des nombres permet un travail en algorithmique centré sur la preuve en mettant en jeu des outils mathématiques simples. L’algorithme retenu est l’algorithme de Kaprekar. Il répond à un processus de calcul dont nous allons présenter les différentes étapes dans le paragraphe suivant. Nous avons choisi cet algorithme, bien qu’il ne s’agisse pas d’un des algorithmes classiques de la théorie élémentaire des nombres dont nous avons donné quelques exemples ci-dessus.

En effet, comme nous l’avons précisé au début de ce chapitre, nous visons ici une ingénierie locale et désirons limiter les interférences avec des Précisons d’emblée que cette ingénierie s’inscrit dans un travail de collaboration avec M.N. Guy, étudiante de Master en Didactique des Mathématiques. En effet, dans le cadre de son mémoire de Master (Guy, 2013), une ingénierie portant sur la construction de l’algorithme a été mise en place et exploitée, dénommée « ingénierie-Guy » dans la suite. Nous développons ici une ingénierie, qui fait suite à celle de Guy et qui porte sur l’efficacité et la preuve. décimal, les premiers chiffres pouvant être des zéros. Le processus utilise une fonction K associant à un de ces nombres n un autre nombre K(n) généré de la façon suivante : on forme le nombre n1 en rangeant les chiffres du nombre n dans l’ordre croissant et le nombre n2 en rangeant toujours les chiffres du nombre n dans l’ordre décroissant. On pose K(n) = n2 – n1.