Transformée de Radon sphérique et application en Radar

Modélisation par transformée de Radon sphérique

Jakowatz [37] fut le premier à émettre un lien entre les transformées de Radon et la formation d’image pour le Radar en considérant l’approximation de Fresnel pour l’onde (front d’onde plan). Bien entendu une telle approximation ne permettait pas d’obtenir des résultats satisfaisants. Très vite ce type de travail a été porté par Fawcett [25] pour des fronts d’onde sphériques plus en adéquation avec le radar, travail ensuite amélioré d’un point de vue de l’analyse mathématique par Andersson [2] et Klein [39].

Modèle de Redding

A partir des travaux d’inversion de la transformée de Radon sphérique mis au point par Andersson et dont les propriétés mathématiques, notamment sur la stabilité, ont été étudiées par Klein, des modélisations du radar à synthèse d’ouverture ont été proposées. Nous nous intéressons ici tout particulièrement au modèle proposé par Redding [65].
Ce modèle étudie le cas d’un radar monostatique, dont la propagation se fait dans un milieu de propagation isotropique, homogène et non dispersif. L’écho radar est modélisé par une somme d’objet à une seule diffusion. Nous utilisons l’approximation « start-stop » (considérant la vitesse du mobile comme très inférieure à celle de la lumière) et nous consi-dérons que l’illumination du sol est constante en transmission, en réception et garde un aspect indépendant de la réflectivité du sol. Finalement nous négligeons dans un premier temps le motif de diffraction de l’antenne car nous considérons que la cible est dans le lobe principal (cette hypothèse est d’autant plus vérifiable dans le cadre du CARABAS) et nous considérons aussi que le facteur d’atténuation en distance est compensé.
La carte de réflectivité d’un objet 3D est représentée par une fonction continue positive f(X) à support borné dans R3. Ici la réflectivité est l’énergie réfléchie par rapport à l’énergie incidente. Comme l’énergie est proportionnelle au carré de l’amplitude des ondes, nous le calculons dans un cas général comme le coefficient de réflexion au carré, toujours positive ce qui permet de s’affranchir des phénomènes de phase. Pour le radar on parlera plus généralement de surface équivalente radar qui mesure l’efficacité avec laquelle une cible intercepte et renvoie l’énergie radioélectrique et comprend non seulement les effets de réflexion mais aussi ceux de diffusion et de diffraction.

Modélisation physique et conséquences sur la modélisation de Redding

Si nous voulons être plus en adéquation par rapport au système radar, g(ux, uz, r) re-présente le signal reçu en « range-compression » (dû à l’émission qui est le plus souvent de type Chirp) et devrait s’écrire plus formellement comme :Z πZ 2πg(ux, uz, r) = µ(r) h(θ, φ)f(ux + r cos θ sin φ, r sin θ sin φ, uz + r cos φ)r2 sin φdφdθavec µ(r) est le facteur d’atténuation et h(θ, φ) est la forme exacte du diagramme de l’antenne qui entraîne une distorsion par rapport à un modèle sphérique. Si nous nous basons sur de l’imagerie radar à synthèse d’ouverture portée par un avion, le milieu de propagation est l’air (milieu très peu atténuant), le facteur d’atténuation est très facilement négligeable (ce qui ne sera pas le cas si nous transposons ce modèle au cadre du sonar, autre application possible de la transformée de Radon sphérique). De la même manière le terme lié au diagramme de l’antenne peut être négligé dans la cadre d’un système CARABAS où l’onde est quasi sphérique. A noter enfin qu’on est obligé de considérer l’hypothèse suivante f(x, y, z) = 0 si y < 0 dans le cas d’image non symétrique, pour ne pas tomber dans le cadre de l’ambiguïté gauche-droite, ce qui en pratique sera représentée par l’apport de la seconde antenne sur le porteur pour distinguer les données venant de droite ou de gauche par rapport au vol du porteur.
Un autre problème majeur est la limitation de la bande passante et de l’ouverture synthétique d’un radar.
En effet suivant le paramètre r (rayon de la sphère), nous avons une limitation de la bande passante causé par le chirp utilisé en émission. Donc si nous considérons notre fréquence ρ (paramètre fréquentiel lié à r en temporel), ρ ∈ [ν0 − νb/2, ν0 + νb/2] où ν0 est la fréquence centrale de la bande et νb la largeur de bande passante, nous avons le signal reçu gfb comme une version fenêtrée fréquentiellement de g.

Modification du modèle de Redding et inversion de la transfor-mée de Radon sphérique

Transformée de Radon sphérique

Comme nous l’avons vu précédemment, la paramétrisation de Redding implique un problème d’incomplétude très important dans les données liées à la logique d’acquisition des données du radar. Nous proposons ici une nouvelle paramétrisation plus intuitive et mieux adaptée au SAR. Nous prendrons donc un modèle de transformée de Radon sphé-rique avec une altitude fixe (donc de paramètre constant uz) où l’intégrale serait sur une sphère de rayon r centrée sur V = (ux, uy, uz)(see Fig. III.2) .

Illustration avec un cas particulier : transformée de Radon sphé-rique bidimensionnelle

Pour illustrer notre algorithme, avant d’essayer de reconstruire des images 3D, nous regardons son application bidimensionnelle. Dans le cadre d’un sol plat, il est équivalent de considérer l’intégrale sur la sphère comme l’intégrale sur un cercle qui est l’intersection d’un plan avec la sphère[64]. Dans ce cadre, nous pouvons simplifier nos équations en passant d’une transformation de Radon sphérique à une transformation de Radon circulaire .