Transformée de Fourier des signaux d’énergie finie et des signaux périodiques

La transformée de permet d’obtenir une représentation en fréquence (représentation spectrale) de ces signaux. Elle exprime la répartition fréquentielle de l’amplitude, de la phase et de l’énergie (ou de la puissance) des signaux considéré

Transformée de Fourier des signaux d’énergie finie

La transformée de Fourier d’un signal temporel x(t) d’énergie finie est une fonction de fréquence f définie par la relation : TF[x(t)] = X(f) = , X(f) est appelé «spectre complexe » du signal x(t), elle introduit la répartition d’une grandeur caractéristique d’un signal (amplitude, énergie, puissance,…) en fonction de la fréquence.
La transformée inverse se déduit :

Transformée de Fourier des signaux périodique

La transformée de Fourier d’un signal périodique ste obtenue directement à partir de son développement en série de Fourier, et en tenancompte de la relation suivante : Ainsi, la transformée de Fourier d’un signal périodique apparaît comme une combinaison linéaire des masses ponctuelles localisés aux fréquences discrètes , il s’agit d’un spectre complexe de raies.

Filtrage des signaux à temps continu déterministe : signaux d’énergie finie et de puissance moyenne finie

Le filtrage et l’analyse spectrale sont des techniques de base dans le traitement numérique du signal. Le filtrage est le principal raitement des signaux analogiques.
Il est intéressant de connaître la répartition spectrale de l’énergie [respectivement de la puissance moyenne] d’un signal d’énergie finie [respectivement de la puissance moyenne] après son passage dans un filtre.

Signaux d’énergie finie

Le filtrage d’un signal d’énergie finie, y compris par un filtre de réponse impulsionnelle h(t) d’énergie finie ne fournie pas forcément un signal d’énergie finie. Dans le cas où celui-ci est d’énergie finie, grâce à la densité spectrale d’énergie la définition du spectre d’énergie :
Par transformée de Fourier inverse, les fonctions d’autocorrélation inverse des signaux d’énergie finie sont reliées par :

Signaux de puissance moyenne finie

Là aussi, le filtrage d’un signal de puissance moye nne finie, y compris par un filtre de réponse impulsionnelle h(t) d’énergie finie ne fournie pas forcément un signal de puissance moyenne finie. Dans le cas où le filtrage d’un tel signal par un filtre de réponse impulsionnelle d’énergie finie produit un signal de puissance moyenne finie, la fonction d’autocorrélation .
Les notions de fonction d’autocorrélation de signaux de puissance moyenne finie sont utilisées pour x(t) et y(t) et de signal d’énergiefinie pour h(t). A partir de la transformée de
Fourier, on trouve une relation liant les densitésspectrales de puissance des signaux d’entrée et de sortie identique à celle des signaux d’énergie finie permet de justifier l’appellation de densité spectrale d’énergie et de densité spectrale de puissance comme transformée de Fourierde la fonction d’autocorrélation.

Signaux déterministes à temps discret

Nous allons considérer dans ce paragraphe les signaux à temps discret comme des suites de nombres x(n) appartenant à C et dépendant d’un entier nZ. Ces signaux sont très souvent issus de l’échantillonnage à la fréquence de signaux temporels x(t) analogiques, auquel cas les nombres x(n) représentent les échantillons .

Filtrage des signaux à temps discret déterministes

Energie et puissance des signaux déterministes à temps discret

L’énergie et puissance moyenne de x(n) sont les quantités : ∑ | | et ∑ | |
On peut ainsi définir des signaux d’énergie finie,de puissance moyenne finie et tout ce qui a été dit sur l’interprétation physique de cesnotions aux signaux continus.
Dans cette expression, les termes x(n-k) apparaissent comme les simples coefficients et l’ensemble de signaux impulsions unités , k Є Z apparaissent comme une base orthonormée de l’espace vectoriel des signaux à temps discret d’énergie finie.

Filtrage des signaux à temps discret déterministes

Comme pour les signaux à temps continus, le princi pal traitement opéré sur les signaux à temps discret est les traitements linéaires invariants dans le temps appelé également filtrage. L’hypothèse de traitement des signaux discrets se fait avec une précision infinie. Toutefois, il ne faut pas perdre de vue que l’utilisation de systèmes numériques impose une quantification en nombre fini de bits des signaux et des paramètres du filtre provoquant des effets indésirables tels que le bruit d’arrondi, la saturation et, dans le pire des cas, des instabilités.

Causalité et stabilité

Comme pour les filtres à temps continu, nous allons apporter deux restrictions à la relation générale de convolution : la causalité etla stabilité. Celles-ci vont permettre de réaliser un filtre à temps discret.
· Causalité
La définition de la causalité d’un filtre à temps continu donnée auparavant appliquée au filtre à temps discret impose que y(n) ne dépende que des valeurs de x(k) pour k ≤ n. D’après la relation de convolution, cette condition est équivalente à ce que h(n) = 0 pour k ≤0. Dans ce cas :
La causalité d’un filtre peut se caractériser à l’aide de sa fonction de transfert en z H(z), fraction rationnelle en z.
· Stabilité
Comme pour les filtres à temps continu, il faut s’a ssurer, pour mettre en œuvre un filtre à temps discret, qu’il soit stable, la stab ilité BIBO et la stabilité asymptotique sont définies de la même façon que les signaux à empst continu. La stabilité BIBO est équivalente à : Puisque le domaine de convergence de la série de Laurent h(n) z-n est confondu avec son domaine d’absolue convergence, le filtre de fonction de transfert en z H(z) est stable BIBO ↔ le cercle | | 1 appartient au domaine de convergence associé à H(z).