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L’étude d’un milieu poreux a commencé expérimentalement grâce à l’hydraulicien français Henry Darcy en 1856. Il a établi la première loi sur ce domaine après avoir expérimenté l’écoulement de l’eau à travers le sable. Comme il s’agit de structure omniprésente qui occupe une large place et qui joue un rôle important dans de nombreux secteurs industriels et phénomènes naturels (le génie pétrolier, le génie chimique et l’électrochimie, l’hydrogéologie, la géothermie, le génie thermique, le génie civil, la médecine, la biochimie…), jusqu’à aujourd’hui, diverses recherches sont menées pour en savoir encore plus sur eux et par conséquent pour pouvoir mieux bénéficier de leur existence. Ces travaux sont variés selon les objectifs visés tels que : l’établissement de loi sur l’écoulement d’un fluide compressible ou incompressible, le transfert de chaleur [1] [2] [3] [4] … A partir d’un résultat découvert, d’autres personnes ont approfondi les études comme en passant de l’écoulement d’un fluide à plusieurs composants ou encore d’un transfert d’énergie thermique au cours duquel il y a un changement de phase…
Sachant que les matériaux poreux comprennent de très grand nombre d’hétérogénéités aussi bien de structure (forme et taille des grains et des pores de la matrice) que de nature (propriétés physico-chimiques des matériaux constitutifs) ou d’échelles spatiales (plusieurs dizaines de kilomètres cubes pour les gisements d’hydrocarbures et les nappes d’eau souterraines, à quelques millimètres cubes pour certains types de membranes filtrantes), la description des processus physiques qui les concernent devient délicate, voire impossible, si toutes les hétérogénéités sont prises en compte. Les milieux poreux sont le siège de multiples phénomènes physico-chimiques et de transport. L’étude de ces phénomènes nécessite la connaissance des propriétés de stockage des fluides (soit sous forme adsorbée sur le solide, soit remplissant les pores), des propriétés de transferts (masse, quantité de mouvement, énergie) et éventuellement des propriétés mécaniques.
Généralités sur les milieux poreux
Définition d’un milieu poreux
Le milieu poreux est une structure de forme complexe composée d’une matrice solide appelée squelette, à l’intérieur de laquelle se trouvent des pores. Ce type de milieu est omniprésent, qu’ils soient naturels comme le sable, l’argile, les roches, les os, ou manufacturés comme les bétons, les ciments, la céramique, etc ou artificiel. C’est donc une dénomination qui désigne une large palette de matériaux qui peuvent être très différents les uns des autres. Leur importance dans les problèmes environnementaux et industriels a motivé et motive encore aujourd’hui à effectuer des études sur leurs propriétés afin de mieux prévoir leur comportement. Dès 1856, Darcy publiait les résultats d’expériences et la loi qui porte son nom décrivant les écoulements des fluides à travers les milieux poreux.
Normalement, les pores sont reliés entre elles et forment un réseau complexe et tortueux, communicant entre elles et avec le milieu extérieur au matériau. Cette jonction permet un transfert de masse ou d’énergie. Par exemple, on peut y trouver des transports de fluides et donc être le siège d’une filtration mais aussi de transfert de la chaleur. Ce type d’ouverture ou encore l’ensemble des pores connectés est aussi appelé porosité ouverte ou percolante. Cependant, il peut y avoir des pores isolés (ou encore appelé porosité fermée ou occluse) qui ne participent pas à l’écoulement du fluide.
Types de milieu poreux
D’une manière générale, il existe deux types de milieu poreux selon la porosité :
– Celui ayant la porosité d’interstice représentée par des vides autour de particules solides plus ou moins liées les unes aux autres ;
– Celui avec une porosité de fissure qui correspond à des fractures ou de fissure dans le matériau.
Remarques
A part ces différents types avancés précédemment concernant le milieu poreux en général, il y a :
– les matrices solides non consolidées où la phase solide est formée de grains (par exemple le sable, le gravier, billes de verre, d’acier…) ;
– les matrices solides consolidées (par exemple les roches calcaires, le grès, l’argile, le bois, tissu biologique…).
Catégorie de saturation
Etant donné que les pores permettent l’écoulement d’un ou plusieurs fluides, les problèmes rencontrés peuvent être classés suivant les phases présentes à l’intérieur des pores.
Premier cas :
Le milieu est saturé d’un seul fluide ou encore un ensemble de fluides miscibles (par exemple un sol imbibé d’eau).
Deuxième cas :
Le milieu est composé de plusieurs fluides non miscibles. Un ensemble de ménisques sépare alors les différentes phases (par exemple un mélange eau-huile-gaz dans les roches pétrolifères, ou un sol partiellement saturé d’eau, le deuxième composant étant l’air).
Troisième cas :
Le milieu est le siège d’un transport de fluide et de particules solides. Il agit en général comme un filtre, mais ses propriétés hydrodynamiques se modifient au cours du temps (dépollution des eaux contenant de grosses particules par percolation à travers le sol).
Homogénéisation des structures périodiques
Généralités sur l’homogénéisation
La modélisation du transfert de chaleur dans les milieux poreux peut s’effectuer à partir de deux grandes approches générales possibles, en partant, soit d’une description microscopique, soit macroscopique du matériau. A l’échelle microscopique, les matériaux poreux ont une structure géométrique très complexe.
Il est donc très difficile, voire quasi-impossible, de prédire avec précision les transferts par une description fine de la microstructure du matériau et des mécanismes physicochimiques en jeu à cette échelle. La simulation numérique directe des transferts dans ces milieux poreux n’est pas envisageable à ces échelles. C’est pour cette raison que certains auteurs [29] [30] [31] préfèrent utiliser directement des modèles macroscopiques qui permettent de s’affranchir des difficultés liées à la description complète de la microstructure. Enfin, d’autres auteurs proposent d’utiliser des méthodes d’homogénéisation [32] [33] qui consiste à remplacer le milieu hétérogène par un milieu homogène équivalent à l’échelle macroscopique. En effet, les équations régissant la physique dans le milieu hétérogène à l’échelle microscopique sont remplacées à l’échelle macroscopique par des équations valables dans le milieu homogène équivalent, de sorte que le comportement global du milieu hétérogène soit conforme au comportement du milieu homogène associé au niveau macroscopique. Cette idée distingue donc au moins deux échelles d’observation :
– une échelle fine appelée échelle microscopique à laquelle les interactions entre les phases et les fluctuations (périodicité) des grandeurs physiques dans les pores sont observables,
– une échelle grossière appelée échelle macroscopique à laquelle la phase solide et l’espace poreux sont volontairement confondus pour bénéficier du cadre théorique de la mécanique des milieux continus.
Différents types d’homogénéisation
De façon générale, 3 grands types de méthodes d’homogénéisation sont à distinguer:
– l’homogénéisation par prise de moyenne qui est une théorie fondée par Stephen Whitaker (averaging method en 1969) ;
– l’homogénéisation périodique qui repose sur la technique des développements asymptotiques à échelles multiples due principalement à Benssoussan et Al. en 1978 puis à Sanchez-Palancia en 1980 ;
– l’homogénéisation des milieux à microstructure aléatoire par Kroner, en 1986.
Homogénéisation idéale
L’idéal dans une homogénéisation, c’est pouvoir, à partir de la connaissance à l’échelle des hétérogénéités [34]:
– des équations de conservation, de bilan et/ou d’état,
– des rhéologies,
– de la valeur des différents paramètres,
– de la géométrie.
donner, à l’échelle moins riche macroscopique :
– les équations de conservation, de bilan, et/ou d’état,
– les rhéologies,
– les coefficients effectifs (macroscopiques),
– les grandeurs physiques,
– les conditions aux limites.
Inversement, une telle homogénéisation devrait permette de déterminer les champs locaux (microscopiques) des grandeurs physiques à partir de la connaissance des valeurs macroscopiques de celles-ci.
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