THEORIE DES COQUES ET SOLIDES EN ANALYSE LINEAIRE

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LES POTEAUX MIXTE ACIER – BETON

Définitions et différents types de poteaux mixtes

Le terme mixte est utilisé pour designer les éléments de construction composés de plus d’un matériau (association de l’acier et de béton par exemple). Cette combinaison de matériaux porte beaucoup d’acte autant que résistance et économie sont concernées. Les structures réalisées par l’association de l’acier et du béton ont une résistance qui dépend du comportement de ces deux matériaux et de leur interaction. L’acier de construction est caractérisé par sa bonne résistance à la traction et à la compression, alors que le béton se caractérise par une bonne résistance à la compression, mais assez mauvaise en traction. L’emploi simultané des deux matériaux est rendu possible par leur capacité d’adhérence mutuelle qui permet leur travail simultané et doit offrir normalement un meilleur rendement. L’hypothèse sur la qualité de cette adhérence a un rôle important dans les calculs de ce type de structure. L’expérience a prouvé la bonne qualité d’adhérence entre le béton et l’acier (et donc l’absence de glissement relatifs) et par conséquent, les déformations de l’acier εa et du béton εb sont égales sous une même charge et dans la zone de leur contact.
Les poteaux mixtes sont classés en deux types principaux, les poteaux partiellement ou totalement enrobés de béton et les profils creux remplis de béton. La figure (I.13) présente différents types de poteaux mixtes et les symboles utilisés dans cette rubrique.
a) Les poteaux partiellement enrobés de béton sont des profils en I ou H dont l’espace entre les semelles est rempli de béton. Dans les poteaux totalement enrobés de béton, les semelles et les âmes sont enrobées d’une épaisseur minimale de béton.
b) Les profils creux remplis de béton peuvent être circulaires ou rectangulaires. Le béton confiné à l’intérieur du profil voit sa résistance en compression augmenter, la résistance en compression du poteau augmente également.
Par ailleurs, pour les deux types de poteaux, la résistance vis-à-vis de l’incendie peut être fortement augmentée par rapport à celle des poteaux en acier.
Dans cette rubrique nous ne considérons, suivant l’Eurocode 4, que les poteaux isolés d’une structure rigide, c’est-à-dire que la structure peut être considérée comme à nœuds non déplaçables (effets du second ordre géométrique négligeables).

Méthode de calcul

L’Eurocode 4 présente deux méthodes de dimensionnement :
Une méthode générale qui impose de prendre en compte les effets du second ordre au niveau local de l’élément et les imperfections. Cette méthode peut s’appliquer à des sections de poteaux qui ne sont pas symétriques et à des poteaux de section variable sur leur hauteur. Elle nécessite l’emploi de méthodes de calcul numérique et ne peut être appliquée qu’avec l’utilisation de programmes informatiques.
Une méthode simplifiée utilisant les courbes de flambement européennes des poteaux en acier tenant compte implicitement des imperfections qui affectent ces poteaux. Cette méthode est limitée au calcul des poteaux mixtes de section uniforme sur toute la hauteur et de sections doublement symétriques.
Chacune des deux méthodes est basée sur les hypothèses classiques suivantes:
• Il y a une interaction totale entre la section en acier et la section de béton jusqu’à la ruine;
• Les imperfections géométriques et structurales sont prises en compte dans le calcul;
• Les sections planes restent planes lors de la déformation du poteau.
On développera ici la méthode simplifiée de l’Eurocode 4 – Clause 4.8.3 qui peut s’appliquer à la majorité des cas.

Voilement local des parois des éléments structuraux en acier

La présence du béton dans les profils totalement enrobés annule le danger d’instabilité par voilement local des parois en acier si l’épaisseur d’enrobage de béton est suffisante. Elle ne peut être inférieure au maximum des deux valeurs suivantes, à savoir 40 mm et 1/6 de la largeur b d’une semelle. Cet enrobage est prévu pour prévenir tout éclatement prématuré du béton et doit être armé transversalement. Pour les autres types de poteaux mixtes, poteaux partiellement enrobés et profils creux, les élancements des parois de la section en acier .
Par ailleurs, pour les deux types de poteaux, la résistance vis-à-vis de l’incendie peut être fortement augmentée par rapport à celle des poteaux en acier.
Dans cette rubrique nous ne considérons, suivant l’Eurocode 4, que les poteaux isolés d’une structure rigide, c’est-à-dire que la structure peut être considérée comme à nœuds non déplaçables (effets du second ordre géométrique négligeables).

Méthode de calcul

Voilement local des parois des éléments structuraux en acier

Cisaillement entre les composants acier et béton (assemblage poteau/poutre)

Les sollicitations provenant des assemblages doivent être réparties entre les parties acier et béton d’un poteau mixte. Le transfert des sollicitations dépend du type d’assemblage utilisé et s’effectue suivant un trajet qui doit être clairement défini. La longueur de transfert p sera prise inférieure à deux fois la dimension transversale appropriée (voir ci après). Pour les calculs, la résistance au cisaillement à l’interface entre l’acier et le béton ne sera pas supérieure aux valeurs suivantes:
– 0,6 N/mm2 pour les profils complètement enrobés de béton;
– 0,4 N/mm2 pour les profils creux remplis de béton;
– 0,2 N/mm2 pour les semelles de profils partiellement enrobées de béton;
– pour les âmes des profils partiellement enrobés de béton, on considère qu’il n’y a pas de résistance au cisaillement entre l’acier et le béton.
Ces valeurs sont données à titre indicatif. En effet, le mode de conception de l’assemblage poutre – poteau influe grandement sur la valeur résistante de la contrainte de cisaillement. Les effets d’auto frettage, de confinement et de frottement sont intimement liés au type d’assemblage utilisé.
Les figures ci-dessous illustrent quelques cas d’assemblages et définissent la longueur de transfert p à prendre en compte lorsque cela s’impose.
Remarquons que la sollicitation à transmettre le long de la longueur de transfert n’est pas l’ensemble de la sollicitation agissant sur l’assemblage mais bien la part de cette sollicitation qui devra être transférée au béton. Un assemblage qui permettrait de transférer l’ensemble de la sollicitation à l’acier seul sans ruine doit quand même transmettre une partie de cette sollicitation au béton pour que le poteau mixte joue correctement son rôle.
Dans le cas particulier d’un poteau mixte avec profil en 1 enrobé de béton, si la résistance naturelle au cisaillement n’est pas suffisante, il est possible d’utiliser des connecteurs de type goujon soudés sur l’âme et de tenir compte en supplément de la résistance PRd des goujons, d’un frottement entre l’acier et le béton. Ce frottement agissant uniquement sur les faces internes des semelles peut être supposé égal à μPRd/2, ù Il est le coefficient de frottement entre l’acier et le béton qui peut être pris en première approche égal à 0,50. Il dépend également du degré de confinement du béton situé entre les semelles du profil et sa prise en compte n’est autorisée que si la largeur entre les semelles est inférieure aux valeurs données en mm sur la figure I.15. La largeur est fonction du nombre de goujons utilisés.

Hypothèses et limitations de la méthode simplifiée

L’application de la méthode simplifiée comporte les limitations suivantes:
a) La section transversale du poteau est constante et présente une double symétrie sur toute la hauteur du poteau;
b) Le rapport de contribution de l’acier est compris entre 0,2 et 0,9 ;
c) L’élancement réduit du poteau ne dépasse pas la valeur 2,0
d) Pour les profilés totalement enrobés, les épaisseurs d’enrobage de béton ne sont pas inférieures aux valeurs suivantes:
 Dans le sens y, 40mm cy 0.4b ;
 Dans le sens z, 40mm cz 0.3h ;
 La section d’armature sera d’au moins 0.3%.
Il est permis d’utiliser une épaisseur d’enrobage plus importante (pour des raisons de résistance à l’incendie), mais il convient d’ignorer le supplément d’épaisseur pour le calcul;
e) L’aire de la section transversale de l’armature longitudinale pouvant être utilisée dans les calculs ne doit pas dépasser 4% de l’aire du béton. Pour des raisons de résistance à l’incendie, il est quelquefois nécessaire d’inclure des sections d’armature plus importantes que celles indiquées ci-dessus. Il n’en sera pas tenu compte dans le calcul de la résistance.

Résistance des sections transversales aux charges axiales

La résistance des sections transversales vis-à-vis des charges axiales de compression est obtenue en additionnant les résistances plastiques de ses éléments constitutifs.
Aa, Ac, et As sont les aires des sections transversales de l’acier de construction, du béton et de l’armature.
Pour les profils creux remplis de béton, l’augmentation de la résistance du béton résultant du confinement est prise en compte en remplaçant le coefficient 0.85 fck par fck.
Pour les profils creux de sections circulaires remplis de béton, une autre augmentation de résistance à la compression provient du frettage de la colonne de béton. Elle est réelle que si le béton est correctement fretté par le profil creux, c’est-à-dire si le profil creux en acier est suffisamment rigide pour s’opposer au gonflement du béton comprimé.
Cette augmentation de résistance n’est pas permise pour les profils creux rectangulaires car les côtés droits ne sont pas suffisamment rigides pour s’opposer au gonflement du béton.
Des résultats expérimentaux ont montré que cette augmentation n’est réelle que lorsque l’élancement réduit du profil creux circulaire rempli de béton ne dépasse pas 0.5 et que le plus grand moment fléchissant admis calculé par la théorie du premier ordre, Mmax,Sd ne dépasse pas Nsd.d/10, où d représente le diamètre extérieur du poteau et NSd l’effort de compression sollicitant.

Elancement réduit

(EI)e est la rigidité du poteau mixte, l est la longueur de flambement du poteau mixte qui, dans le cas où celui-ci est rigide et isolé peut, de manière sécuritaire, être prise égale à sa longueur d’épure L.
Pour les charges de courte durée, la rigidité élastique réelle de flexion de la section transversale d’un poteau de flexion, (EI)e, est donnée par l’équation suivante : (EI)e = Ea . Ia + 0.8 . Ecd.Ic + Es . Is …… (37)
Ia, Ic et Is sont les moments d’inertie de flexion pour le plan de flexion considéré de l’acier de construction, du béton (que l’on suppose non fissurer) et de l’armature, Ea et Es les modules d’élasticité pour l’acier de construction et pour l’armature.
Ecd = Ecm /c est le module d’élasticité de calcul de la partie en béton.
Ecm est le module sécant du béton et = 1.35 est le coefficient de sécurité approprié, pour la rigidité du béton.
Pour les charges de longue durée, on doit tenir compte de leur influence sur la rigidité élastique réelle de flexion en remplaçant dans la formule ci dessus le module d’élasticité du béton Ecd par le facteur : Ec = Ecd . ( 1 – 0.5 (NG,Sd / NSd)) …. (38) NG,Sd est la fraction de la charge axiale NSd qui est permanente.
Cette correction de la formule n’est nécessaire que si l’élancement réduit dans le plan de flexion considéré dépasse les valeurs limites de 0.8 pour les profilés enrobés de béton et 0.8 / (1-) pour les profilés creux remplis de béton et que si e / d est inférieur à 2.
A noter que pour calculer l’élancement réduit , il est nécessaire de connaître une première valeur de la rigidité Ec du poteau mixte. En vue de la comparaison avec les limites indiquées ci dessus, il est permis de calculer sans tenir compte de l’influence des charges de longue durée sur la raideur de flexion.
L’élancement non dimensionnel pour le plan de flexion considéré est donné par la formule: Npl,R : est la valeur de Npl,Rd lorsque les coefficientsMa,c ets sont pris égaux à 1.0.

Résistance des poteaux mixtes en compression axiale

Le poteau mixte présente une résistance suffisante au flambement si, pour les deux axes :  est le coefficient de réduction pour le mode de flambement suivant l’axe à considérer dont la valeur est donnée en fonction de l’élancement réduit et de la courbe de flambement européenne adéquate.
Les courbes de flambement sont les suivantes :
 Courbe a : pour les profils creux remplis de béton, = 0.21
 Courbe b : pour les profilés en I totalement ou partiellement enrobés de béton avec flexion selon l’axe fort du profilé en acier,  = 0.34
 Courbe c : pour les profilés en I totalement ou partiellement enrobés de béton avec flexion selon l’axe faible du profilé de l’acier, = 0.49

Méthode simplifiée appliquée au calcul des poteaux mixtes soumis à la compression et flexion combinées

Pour chacun des axes de symétrie, il est nécessaire de procéder à une vérification indépendante en raison des différentes valeurs d’élancements, de moments fléchissant et de résistance à la flexion pour les deux axes.
La résistance du poteau mixte sous sollicitation normale et moment de flexion (en général suivant les deux axes du poteau) sont déterminés au moyen d’une courbe d’interaction M-N telle que présentée sur la figure (I.16). Sur cette courbe, seules les grandeurs résistantes sont représentées.
La courbe d’interaction ci-dessus est tracée en considérant plusieurs positions particulières de l’axe neutre dans la section droite et en déterminant la résistance de la section droite à partir de la distribution des blocs de contraintes. La figure (I.17) explique le calcul des points A à D.
Fig I.16 : Courbe d’interaction pour la compression et la flexion uniaxiale
Point A: Résistance en compression, NA = Npl.Rd , MA = 0
Point B: Résistance en flexion, NB = 0, MB = Mpl.Rd
Point C: Moment résistant pour N> 0, NC = NPm.Rd = ACα(fc/γc), Mc = Mpl.Rd
Point D : Moment résistant maximum, ND =1/2 (NPm.Rd) = 1/2 [ACα(fc/γc)]
MD = [Wpa(fy/γa)]+[Wps(fs/γs)]+1/2[Wpcα(fcd/γc)]
Dans ces formules α vaut 0,85 pour les profils enrobés et 1,0 pour les profils creux.
Wpa, Wps, Wpc sont les modules de résistance plastique respectivement du poteau en acier, des armatures et du béton pour la configuration étudiée.
hn est la position de l’axe neutre plastique, sous Mpl.Rd, par rapport au centre de gravité de la section mixte comme cela est indiqué à la figure (I.17).
Il faut remarquer que le point D de la courbe d’interaction correspond à un moment résistant Mmax.Rd supérieur à Mpl.Rd. Cela est due au fait que contrairement aux poteaux uniquement en acier, dans les poteaux mixtes, lorsque la charge axiale augmente sous l’effet de la contrainte axiale la fissuration par traction du béton est retardée et rend le poteau mixte plus efficace pour reprendre la sollicitation de moment.
Quant au point E, il se situe à mi-distance de A et C. L’augmentation en résistance au point E est faible vis-à-vis d’une interpolation directe entre A et C. Le calcul du point E peut être négligé.
Ce diagramme peut être simplifié de manière sécuritaire en négligeant le calcul du point D et en se limitant aux calculs des points A (calcul de NpL.Rd), C et B (calcul de Npm.Rd et Mpl,Rd).

Analyse de la distribution des moments fléchissant dans la structure

Bien que dans les hypothèses de la méthode simple on impose que la structure soit rigide au sens de l’Eurocode 3, ceci n’exclut pas une influence locale des effets du second ordre géométrique au niveau du poteau, en particulier sur l’amplification des moments dans le poteau calculé au premier ordre. Le calcul du poteau mixte doit être mené en considérant les effets du second ordre; ces effets sont à prendre en compte si:
 (NSd / NCr) ≥ 0,1, où NSd est la sollicitation à l’ELU; Ncr est la charge élastique critique pour la longueur de poteau comme cela est indiqué l’Eurocode 4 à la clause 4.8.3.7 (1);
 Et si λ > 0,2 (2-r), où r est le rapport des moments d’extrémités, (- 1≤r ≤+ 1). S’il existe un quelconque chargement transversal, il convient de prendre régal à 1,0.
Dans le cas où les effets du second ordre doivent être pris en compte cela peut se faire de manière simplifiée en appliquant au plus grand moment calculé par la théorie du premier ordre le facteur multiplicateur k donné par la formule:
k = [β / (1-(NSd/Ncr))] …………………. (42)
β = 0,66 + 0,44r mais β> 0,44; dans le cas où seul des moments d’extrémités sont appliqués; β= 1,0 si on applique des charges transversales sur le poteau.

Résistance des poteaux mixtes à la compression et à la flexion uniaxiale combinée

La méthode de calcul est indiquée sous forme pas-à-pas, par référence à la figure I.19 : Fig I.19 : Méthode de calcul pour la compression et la flexion uniaxiale
 La résistance du poteau mixte à la compression axiale est χNpl.Rd, et tient compte de l’influence des imperfections et de l’élancement. χ est le paramètre représentant la résistance du poteau au flambement.
 χd est le paramètre représentant la sollicitation axiale; χd = NSd/Npl.Rd où NSd est la sollicitation axiale de calcul.  χn = χ(1-r)/4, mais χn ≤ χd .
Les valeurs de χn pour les valeurs extrêmes de r sont données à la figure (I.20). Lorsque la variation du moment n’est pas linéaire, il convient de prendre χn égal à zéro.
Fig I.20 : Valeurs typiques de χn
Pour une valeur correspondant à χNpl.Rd(X sur le diagramme adimensionnel de la figure I.20), il n’est plus possible d’appliquer un moment de flexion extérieur au poteau mixte. La valeur correspondante du moment de flexion μkMpl.Rd est la valeur maximale du moment secondaire de flexion, conséquence des imperfections. Sous la seule charge axiale XNpl.Rd le moment secondaire va décroître avec χd.
Pour le niveau Xd la valeur disponible correspondante pour la résistance en flexion de la section transversale est μ x Mpl.Rd. La longueur μ est présentée sur la figure (I.20) et peut être calculée au moyen de la formule suivante: μ= μd- μk (χd- χn)/(χ – χn) …………….. (43)
En dessous de χn le moment résistant est totalement mobilisable.
La résistance de la section transversale à la flexion vaut: MRd= 0,9. μ. Mpl.Rd, et le poteau a une résistance à la flexion suffisante si : MSd≤ MRd.

Compression et flexion bi axiale combinées

En raison des différentes valeurs d’élancements, de moments sollicitant, et de résistances à la flexion pour les deux axes, il est nécessaire, dans la plupart des cas, de procéder à une vérification du comportement bi axial.
Le poteau doit être vérifié pour chaque plan de flexion. Cependant il n’y a lieu de prendre en compte les imperfections que pour le plan où la ruine est susceptible de se produire. Pour l’autre plan de flexion, il est inutile d’en tenir compte (cas b sur la figure I.21). Si l’on a des doutes sur le plan de ruine, on se place en sécurité en tenant compte des imperfections dans les deux plans.

Table des matières

INTRODUCTION GENERALE
QUELQUES REVUES DE RECHERCHE
PARTIE A
CHAPITRE I LES POTEAUX EN PROFIL METALLIQUE ET MIXTES
I.1. Description technologique
I.2. Comportement des pièces comprimées courtes
I.3. Effets des contraintes résiduelles
I.4. Comportement mécanique des poteaux moyennement ou fortement élancés
I.5. Différence de comportement en fonction de l’élancement
I.6. Relation Moment – Charge Axial – Courbure (M-P-Φ)
I. 7 LES POTEAUX MIXTE ACIER – BETON
I.7.1. Définitions et différents types de poteaux mixtes
I.7.2 Méthode de calcul
I.7.3 Méthode simplifiée appliquée au calcul des poteaux mixtes soumis à la compression et flexion combinées
I.7.4 Analyse de la distribution des moments fléchissant dans la structure
I.7.5 Résistance des poteaux mixtes à la compression et à la flexion uni axiale combinées
I.7.6 Compression et flexion bi axiale combinées
CHAPITRE II THEORIE DES COQUES ET SOLIDES EN ANALYSE LINEAIRE
II.1 Théorie des coques en analyse linéaire
II.2 Hypothèses de LOVE – KIRCHHOFF
II.3 Théorie des coques et états de contrainte
II.4 Etat membranaire
II.5 l’Elément coque plane produit de la superposition plaque – membrane
CHAPITRE III METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES SYSTEMES NON LINEAIRES
III. 1 Les méthodes de résolutions incrémentales des problèmes non linéaires
III.2 Prédiction – Correction pour la résolution des problèmes non linéaires
III.3 Procédure de résolution de NEWTON – RAPHSON
III.4 Méthode des contraintes initiales pour les problèmes élasto – plastique
III.4 Critères de convergences
PARTIE B
CHAPITRE IV VALIDATION NUMERIQUE
IV.1 Propriétés matérielles et models constitutifs
IV.2. Modélisation
IV.3. Présentation de logiciel ABAQUS
IV.4. Résultats
DISCUSSION
CONCLUSION GENERALE
RECOMMANDATIONS