Théorie de moyennisation suivant le degré de Brouwer

SUR LE NOMBRE MAXIMUM DE CYCLES LIMITES DES EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE LIÉNARD ET BIFURCATION DE HOPF

Théorie de moyennisation suivant le degré de Brouwer

Dans cette section, on s’intéresse à la théorie de moyennisation pour la recherche des solutions périodiques d’un système déférentiel suivant le degré de Brouwer.

Rappels sur le degré de Brouwer

Dénition 2.3.1. (Degré de Brouwer). Soit D un sous ensemble ouvert de R n et V un sous ensemble ouvert borné de R n tel que V ⊂ D, et soit f : V¯ ×[−ε0, ε0] −→ R n une fonction telle que 0 ∈/ f(∂V, ε) pour un certain ε. Nous appelons dB(f(., ε), V, 0) le degré de Brouwer de la fonction f(., ε) par rapport à l’ensemble V et le point 0. Propriété 2.3.1. Si dB(f(., ε), V, 0) 6= 0 alors l’équation f(., ε) = 0 a une solution dans V . Dénition 2.3.2. (Degré de Brouwer pour des fonctions de classe C 1 ). Soit g ∈ C 1 (t), V¯ ⊂ D et Zg = {z ∈ V : g(z) = 0} . Supposons aussi que Jg(z) 6= 0 pour tout z ∈ Zg où Jg(z) est le déterminant jacobien de g en z. Ce qui assure que Zg est ni, alors dB(g, V, 0) = X z∈Zg sign (Jg(z)). (Voir le théorème 1.1.2 de [34]). Remarque 2.3.1. Soit g : D −→ R n une fonction de classe C 1 , avec g(a) = 0, où D est un ouvert de R n et a ∈ D. Si Jg(a) 6= 0, il existe un voisinage V de a tel que g(z) 6= 0 pour tout z ∈ V¯ \ {a} et on a dB (g, V, 0) ∈ {−1, 1} . Exemple 2.3.1. Soit la fonction f(z) = z 2 , le degré de Brouwer de f est égale à 0. Cette fonction a une seule racine z = 0 et f 0 (0) = 0. Pour calculer le degré de Brouwer de f, on considère une constante λ > 0, l’intervalle V = (−2λ, 2λ) et la fonction g(z) = z 2 − λ 2 . Alors, la fonction g a deux racines dans V qui sont z1 = λ et z2 = −λ. La matrice jacobienne en z1 est g 0 (z1) = 2λ > 0 et en z2 est g 0 (z2) = −2λ < 0. Donc, dB (g, V, 0) = 0. 28 2.3. THÉORIE DE MOYENNISATION SUIVANT LE DEGRÉ DE BROUWER Lemme 2.3.1. [9] On considère les fonctions continues : fi : V¯ −→ R n , pour i = 0, …, k et f, g, r : V¯ × [−ε0, ε0] −→ R n données par g(·, ε) = f0(·) + εf1(·) + ε 2 f2(·) + · · · + ε k fk(·), (2.24) et f(·, ε) = g(·, ε) + ε k+1r(·, ε). (2.25) Supposons que g(·, ε) 6= 0 pour tout z ∈ ∂V, ε ∈ [−ε0, ε0] \ {0} . (2.26) Alors, pour |ε| > 0 susament petit, dB(f(., ε), V, 0) est bien déni et de plus dB(f(·, ε), V, 0)) = dB(g(·, ε), V, 0). Pour la démonstration voir [9]. 2.3.2 Théorie de moyennisation d’ordre un, deux et trois dans R n Théorème 2.3.1.  On considère le système diérentiel x˙(t) = εF1(t, x) + ε 2F2(t, x) + ε 3F3(t, x) + ε 4R(t, x, ε), (2.27) où F1, F2, F3 : R × D → R n , R : R × D × (−εf , εf ) → R n sont des fonctions continues, T-périodiques en la première variable, et D un sous ensemble ouvert de R n . Supposons que les hypothèses (i) et (ii) sont vériées. (i) F1(t, .) ∈ C 2 (D), F2(t, .) ∈ C 1 (D) pour tout t ∈ R. F1, F2, F3, R, D2 xF1, DxF2 sont localement Lipschitziennes par rapport à x, et R est deux fois diérentiable par rapport à ε. On dénit Fk0 : D −→ R n pour k = 1, 2, 3 F10(z) = 1 T Z T 0 F1(s, z) ds, F20(z) = 1 T Z T 0 [DzF1(s, z).y1(s, z) + F2(s, z)] ds, F30(z) = 1 T Z T 0 [ 1 2 y1(s, z) T ∂ 2F1 ∂z2 (s, z)y1(s, z) + 1 2 ∂F1 ∂z (s, z)y2(s, z) + ∂F2 ∂z (s, z)(y1(s, z)) + F3(s, z)] ds, 29 2.3. THÉORIE DE MOYENNISATION SUIVANT LE DEGRÉ DE BROUWER où y1(s, z) = Z s 0 F1(t, z) dt, et y2(s, z) = Z s 0  ∂F1 ∂z (t, z) Z t 0 F1(r, z)dr + F2(t, z)  dt. (ii) Pour V ⊂ D un sous ensemble ouvert et pour chaque ε ∈ (−εf , εf ) \ {0}, il existe a ∈ V telle que : F10(aε) + εF20(aε) + ε 2F30(aε) = 0 et dB(F10 + εF20 + ε 2F30, V, aε) 6= 0. Alors, pour |ε| > 0 susamment petit, il existe une solution T-périodique ϕ(·, ε) du système (2.27) telle que ϕ(0, ε) = aε. L’expression dB(F10 + εF20 + ε 2F30, V, aε) 6= 0 signie que le degré de Brouwer de la fonction F10 + εF20 + ε 2F30 : V → R n au point d’équilibre aε est non nul. Si F10 est non nulle. Alors les racines de F10 + εF20 + ε 2F30 sont principalement les racines de F10 pour ε susamment petit. Dans ce cas le résultat précédent est celui de la Théorie de moyennisation d’ordre un. Si F10 est nulle et F20 est non nulle. Alors les racines de F10 + εF20 + ε 2F30 sont principalement les racines de F20 pour ε susamment petit. Dans ce cas le résultat précédent est celui de la Théorie de moyennisation d’ordre deux. Si F10 et F20 sont nulles et F30 est non nulle. Alors les racines de F10+εF20+ε 2F30 sont principalement les racines de F30 pour ε susamment petit. Dans ce cas le résultat précédent est celui de la Théorie de moyennisation d’ordre trois. Notons que l’hypothèse (i) du théorème 2.3.1 arme l’existence et l’unicité de la solution pour chaque problème à valeur initiale sur l’intervalle [0, T], voir [9]. D’où, pour chaque z ∈ D on note par x(., z, ε) la solution du (2.27) avec la valeur initiale x(·, z, ε) = z. On considère la fonction ξ : D × (−εf , εf ) −→ R n dénit par ξ(z, ε) = Z T 0 

 Résultats introductifs

Les équations diérentielles du deuxième ordre surviennent dans de nombreux domaines de la science et de la technologie. En 1922, l’ingénieur hollandais Balthasar Van der Pol étudiait les propriétés électriques des tubes à néon. Pendant ce temps, l’oscillographe n’existait pas pour pouvoir visualiser graphiquement un signal électrique, il contrˆolait l’évolution de son circuit en écoutant les changements de tonalité dans un combiné téléphonique. Il modélisa les charges du tube par l’équation x¨ + ε .

La bifurcation de Hopf pour un système différentiel quadratique en dimension trois

En appliquant la théorie de moyennisation d’ordre trois à un système diérentiel polynomial quadratique dans R 3 pour étudier la bifurcation de Hopf qui se produit à l’origine pour ce type de système. On prouve qu’au plus dix cycles limites peuvent bifurquer par bifurcation de Hopf d’un point d’équilibre ayant des valeurs propres de la forme ±bi et 0. En plus, on donne un exemple d’un système diérentiel polynomial quadratique pour lequel exactement dix cycles limites bifurquent de l’origine. Ce chapitre a fait l’objet d’un article publié dans le journal « Turkish Journal of Mathematics ». E. Bendib, S. Badi and A. Makhlouf, On the 3-Dimensional Hopf bifurcation via averaging theory of third order. Turk J Math (2017) 41 : 1053-1071. 

NOMBRE MAXIMUM DE CYCLES LIMITES BIFURQUANT PAR BIFURCATION DE HOPF

Nombre maximum de cycles limites bifurquant par bifurcation de Hopf pour un système différentiel quadratique dans R 3 par la théorie de moyennisation d’ordre trois On étudie dans ce chapitre la bifurcation de Hopf pour des champs de vecteurs dans R 3 , On s’intéresse à l’étude du nombre maximum de cycles limites qui se produit par une bifurcation de Hopf autour de l’origine d’un système quadratique dans R 3 . En générale, la bifurcation de Hopf est étudiée pour des points singuliers ayant des valeurs propres de la forme α(ε) ± β(ε)i avec α(0) = 0 et α 0 (0) 6= 0. La bifurcation de Hopf des cycles limites a été considérée par plusieurs auteurs, voir [22, 23, 25]. Dans notre travail, on considère des systèmes diérentiels polynomiaux quadratiques dans R 3 , dont la partie linéaire du point d’équilibre à l’origine (0, 0, 0) a des valeurs propres de la forme (εa1 + ε 2a2 + ε 3a3) ± bi et εc1 + ε 2 c2 + ε 3 c3, où ε est un petit paramètre.