Théorie de la réponse linéaire et RPA

Théorie de la réponse linéaire et RPA

Comme nous l’avons vu au chapitre précédent, notre modèle repose sur un système de charges constitué d’un ion plongé dans un jellium. Nous sommes ainsi amenés à étudier, entre autres, la réponse statique du jellium à la présence de l’ion. Dans ce cadre, nous calcu lerons numériquement la réponse dans un certain voisinage de l’ion.

Cependant, nous aurons également besoin d’une théorie approximative et analytique afin de fournir la forme asymp totique de cette réponse. Dans cette optique, il s’est révélé nécessaire de revisiter la théorie de la réponse linéaire et de l’approximation de la phase aléatoire, dans le cadre des plasmas denses, afin d’en tirer les formes asymptotiques et de mieux en appréhender les limitations. Ces dernières seront abordées en fin de ce chapitre.

Réponse linéaire

Afin d’obtenir une expression analytique de la susceptibilité, nous allons suivre ici le développement de la Ref. [73] L’intégran de Est Holomorphe Partout sauf aux pˆolesde la distribution de Fermi-Dirac (cf. Eqs. 9.153, 9.154page 164) et aux deux pˆoles simplesκ=±p. Il s’agit d’une fonction analytique que nous pouvons intégrerpar la méthode des résidus àl’aideducontourΓdéfini commesurlaFig.5.1page85.Ce contours eplace nécessairement dans le demi-plan à valeurs imaginaires positives(causalité,cf.Ref. [26])   

Remarquons que cette approche, dans l’espace réciproque, est réputée pour la faible convergencede lasomme sur lespˆolesdeFermi.Afinde remédier à ce problèmeetd’ef fectuer des calcul snumériques plus efficaces, ilpeutˆ etre préférable de mener une approche de la fonction de réponse dans l’espace direct.Une telle technique est abordée par exemple dans les Refs. [74,75]. 5.1.2 Limites Statique

densité asymptotique dans l’approximation RPA Munisdel’expressiondeΠ0 q,ω,nouspouvonsàprésentnouspenchersurlaréponselinéaire autocohérente. Plus Précisément,nous allons chercher obtenir la forme asymptotique de la perturbation statique de densité limω→0limr→∞n1 ω(r),dans le cadre des plasmas denses, et dans la limite des basses températures.Dans ce  Partie, nous suivrons le développement de laRef. [76].

 Self-énergie,autocohérence et RPA

La perturbation de densité n1 q,ω créée par un potentiel v1 q,ω,dans l’approximation de la réponse linéaire s’écrit:  En chaque point, cette perturbation de densité induit elle-meme un potentiel, de nature coulombienne. Ce potentiel auto-induit s’écrit dans l’espace direct comme la convolution de la pertubation de densitén1(r)par le noyau coulombien1/r. Dans l’espace de Fourier,on écrira donc le potentiel auto-induit comme le produit: v1self q =vC qn1 q (5.23) Lepotentielv1 q qui perturbe la densité est la somme d’un potentiel extérieur et du potentiel auto-induit: v1 q=v1ext q +v1self q =v1ext q +vC qn1 q (5.24)

Nous avons donc affaire à l’équation autocohérente: n1 q=Π0 qv1ext q +Π0 qvC qn1 q (5.25) dont la solution peutˆ etre formellement écrite: n1 q= Π0 qv1ext q 1−Π0 qvC q (5.26) La fonction de Lindhard, dans l’espace de Fourier, constitue ce qu’on appelle dans la littérature le diagramme en anneau (cf.Ref. [26]). En Considérant l’auto cohérence de la réponse, nous avons écrit l’équation de Dyson Dans l’approximation site de l’anneau(Ring Approximation),aussi connue sous le nom d’approximation de la phase aléatoire(Random Phase Approximation,RPA 1).