Théorie de la Décision

Tests d’hypothèses. Tests de Bayes. Rapport de Vraisemblance. Statistique suffisante. Tests de Neyman-Pearson. ROC. Tests simples et composés. Tests UMP. Rapport de Vraisemblance Généralisé. Détection d’un signal dans un bruit: le filtre adapté.

Tests d’hypothèses.

On étudie dans ce chapitre la conception de mécanismes de décision. La figure suivante illustre les problèmes de teste d’hypothèses, pour le cas de décision entre deux alternatives possibles,

Exemples: 3-1 communications numériques.

Dans les systèmes de communication numérique, un signal analogique s(t ) souffre plusieurs transformations avant d’être effectivement envoyé dans le canal de communication. Il est d’abord échantillonné (à une vitesse au moins égale à la fréquence de Nyquist),

Le signal original est ainsi transformé dans une série de symboles (binaires dans le cas de l’exemple). Ce sont ces symboles qui modulent une porteuse (en phase, en amplitude ou en fréquence) pour générer le signal transmis dans le canal de communication. Ainsi, dans le cas où le système de modulation n’a pas de mémoire (absence d’interférence inter-symbolique), le signal m(t ) émis pendant l’intervalle de temps correspondant à un symbole est complètement déterminé par le symbole transmis. Par exemple, pour les systèmes de modulation d’amplitude et avec des symboles binaires

Les systèmes de radar utilisent une antenne pour détecter des cibles dans l’espace (en général 3D) autour de l’antenne. Pour chaque cible, on désire savoir sa position, sa direction et sa vitesse. On considère ici le cas simple où on ne détermine pas la vitesse de la cible. L’antenne du radar peut être dirigée de façon à émettre, à chaque instant, une impulsion s(t ) seulement dans un cône angulaire étroit autour de la direction  . S’il existe une cible dans cette direction, le signal émis est réfléchi et reçu avec un temps de retard qui est proportionnel à la distance d entre l’antenne et la cible:

où  dépend de l’attitude de la cible, des ses propriétés de réflexion, de la distance, etc., et c est la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques. Pour détecter la cible, le système doit donc résoudre un problème de décision entre les deux hypothèses suivantes:

reconnaissance de mots La reconnaissance de mots parmi un dictionnaire est encore un problème de décision: étant donné un segment d’un signal de parole, qu’on admet correspondre à un mot unique, on doit décider de quel mot il s’agit. Ce problème très complexe peut être formalisé comme un problème de décision, avec autant d’hypothèses que de mots. Dans ce cas encore, chaque hypothèse (mot) est composée, puisque le signal de parole qui correspond à un mot donné varie avec la personne qui le prononce (homme/femme, région, âge, …).

Dans tous les exemples présentés, le système de décision est défini par une application de l’espace des observations dans l’ensemble des hypothèses possibles. On désigne cette application par règle de décision. Elle détermine, dans l’espace des observations, une partition en sous-ensembles disjoints, chaque sous-ensemble correspondant aux observations qui sont associées à une même hypothèse.