Tetraere (T :P:R:) de IR3

Les tetraedres ayant un mauvais rapport de forme provoquent des instabilites numeriques dans les methodes aux elements nis. Idealement, un maillage tetraedrique devrait ^etre constitue d’elements ayant une forme proche du tetraedre regulier (toutes les faces sont des triangles equilateraux). D’autre part, le nombre de tetraedres doit ^etre compatible en termes de co^ut de calcul avec la resolution du probleme direct en E.E.G. et M.E.G. Ainsi, la generation de maillage que nous proposons est fondee sur une decomposition recursive de l’espace en des tetraedres ayant des ar^etes presque egales, appelee tetraedrisation presque reguliere de IR3 (T :P:R:) dans laquelle la resolution (donc le nombre d’elements) et la qualite des elements sont contr^olees. Apres avoir deni mathematiquement une T :P:R: (cf. section 3.1) de IR3 , nous demontrons les proprietes de connexite (cf. section 3.2) et de qualite geometrique (cf. section 3.3) d’une telle tetraedrisation. 3.1 Tetraedrisation Presque Reguliere de IR3 : Denition Contrairement a la dimension deux, il n’existe pas de partition reguliere tetraedrique de IR3 . An d’obtenir une partition aussi reguliere que possible de IR3 , nous introduisons la notion d’invariance en subdivision d’un tetraedre et la notion de tetraedrisation presque reguliere. Denition 3.1 Une tetraedrisation de IR3 est presque reguliere s’il est possible de paver IR3 avec des tetraedres dont la connexite est xe pour tout tetraedre. Jeremie Pescatore, rapport de these 55 edrisation presque reguli Tetraedrisation presque reguliere (T :P:R:) de IR3 Denition 3.2 Une transformation M telle que pour tout x de IR3 , M(x) = B 😡 + b avec B 2 IR3  IR3 et b 2 IR3 s’appelle un mouvement euclidien si et seulement si B  Bt = Id et M est une bijection de IR3 vers IR3 . Denition 3.3 Deux tetraedres T1 et T2 sont congruents (T1  T2) si et seulement si il existe un mouvement euclidien M(x) tel que : fq j q Sommet de T1g = fM(p) j p Sommet de T2g La congruence n’impose aucune hypothese sur la preservation d’orientation entre deux tetraedres. Nous verrons d’ailleurs (demonstration du theoreme 3.6) que l’orientation change lors de la subivision d’un tetraedre invariant par subdivision. Ainsi la conservation de l’orientation constitue un traitement distinct de la construction geometrique du maillage.