Tests de racine unitaire et modèles ARIMA

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Processus stochastiques

Les séries temporelles observées sont considérées comme des réalisations de processus stochastiques, définis jusqu’à présent (voir chapitre 1) comme des successions temporelles de variables aléatoires représentant un même concept. L’objet de cette section est de préciser la définition des processus stochastiques et d’examiner leurs propriétés. Un processus stochastique X ou {Xt} est une variable aléatoire indicée par le temps, multivariée et dont chaque composante univariée représente toujours le même concept économique quelle que soit la période considérée. X = {Xt}t=1,…, n =      X1 X2 . . . Xn       La réalisation d’un processus stochastique X est une série temporelle observée, dont chaque composante est une réalisation d’une composante différente de X : • La variable aléatoire univariée X1 a une réalisation x1. • La variable aléatoire univariée X2 a une réalisation x2. • … • La variable aléatoire univariée Xn a une réalisation xn. La série temporelle observée x = {xt}t=1,…, n =      x1 x2 . . . xn      est donc une réalisation du processus stochastique X = {Xt} =      X1 X2 . . . Xn      . Toute série temporelle observée est considérée comme la réalisation unique d’un processus stochastique, qui aurait pu générer d’autres séries de réalisations. Exemple La série de l’investissement, telle qu’elle est publiée par l’INSEE dans les comptes nationaux, est considérée comme la réalisation d’un processus stochastique I. L’investissement observé à chaque période est considéré comme la réalisation d’une variable aléatoire univariée « investissement à la période t ». En d’autres termes, à chaque période, on a une variable aléatoire « investissement » distincte et pour chaque variable « investissement », on n’a qu’une réalisation. Ainsi l’investissement observé en 70, i70, est une réalisation d’une variable aléatoire univariée I70. L’investissement observé en 71, i71, est une réalisation d’une variable aléatoire univariée I71, et ainsi de suite. Les variables aléatoires « investissement de 70 », I70, et « investissement de 71 », I71, et plus généralement les variables « investissement » de toutes les périodes, sont distinctes. Le vecteur formé par toutes ces variables aléatoires univariées est une variable aléatoire multivariée, le processus stochastique de l’investissement : {It}t=70,…, 90 =      I70 I71 . . . I90      −−−−−→ réalisation      i70 i71 . . . i90      = {it}t=70,…, 90 Processus stochastique Série temporelle observée Un processus stochastique X ou {Xt} est caractérisé par : • une espérance E(Xt) à chaque période t : E(X1), E(X2) . . . • une variance V(Xt) à chaque période t : V(X1), V(X2) . . . • des covariances Cov(Xt , Xt−θ) pour toutes les périodes t et tous les retards θ : Cov(X2, X1), Cov(X3, X1), Cov(X3, X2) . . . 

PROCESSUS STOCHASTIQUES STATIONNAIRES

Un processus stochastique X ou {Xt} est stationnaire si : • E(Xt) = µX ∀t, • V(Xt) = σ 2 X ∀t ; • Cov(Xt , Xt−θ) = v(θ) ∀t, ∀θ. En d’autres termes, X est stationnaire si les conditions suivantes sont réunies : • L’espérance est constante (elle est inchangée dans le temps). • La variance est constante dans le temps. • La covariance entre une composante d’une date t et une composante d’une autre date t − q ne dépend que de l’écart de temps (le « retard ») θ entre les dates, et non de la date t elle-même : par exemple Cov(X72, X70) = Cov(X89, X87). Une série temporelle observée est donc une réalisation d’un processus stochastique stationnaire si elle fluctue autour d’une valeur moyenne stable, si l’amplitude moyenne de ses fluctuations reste stable dans le temps, et si la manière dont ses valeurs sont liées aux valeurs précédentes se répète de façon stable dans le temps. Par exemple, une série observée ayant une forme sinusoïdale régulière est une réalisation d’un processus stochastique stationnaire. La covariance Cov(Xt , Xt−θ) entre deux composantes de dates différentes (t et t − θ) d’un processus stochastique est appelée autocovariance. Lorsque le processus est stationnaire, cette autocovariance est la même dès lors que l’écart entre les dates est inchangé. Le coefficient de corrélation entre deux composantes de dates différentes, appelé coefficient d’autocorrélation, est défini par : ∀t : ρXt , Xt−θ = Cov (Xt , Xt−θ) p V (Xt) V (Xt−θ) (5.2) Lorsque le processus est stationnaire, ce coefficient est dit d’autocorrélation d’ordre θ ; il est le même dès lors que l’écart entre les dates est inchangé : ∀t : ρXt , Xt−θ = v (θ) σ 2 X = ρθ (5.3) Puisque v(0) = Cov(Xt , Xt−0) = Cov(Xt , Xt) = V(Xt) = σ 2 X , on a toujours ρ0 = 1. Lorsque le processus stochastique est stationnaire, on peut dessiner le graphique des différents coefficients d’autocorrélation en fonction du retard (ou écart de dates) θ. Ce graphique est l’autocorrélogramme théorique du processus. Il indique comment une composante de date quelconque du processus est liée linéairement aux composantes des dates précédentes, pour des retards croissants. C’est une représentation graphique de la « mémoire » du processus, qui montre dans quelle mesure ses réalisations courantes sont influencées par ses réalisations passées.