Test d’hypothèse non paramétrique de l’intensité du processus de Poisson

Concepts de Base de la Statistique des Processus de Poisson 

Dans ce chapitre, nous commençons par étudier les processus de Poisson non homogènes. Nous donnons ensuite des définitions et des propri étés par rapport à l’intégrale stochastique, au rapport de vraisemblance, les théorèmes limites au sens du processus de Poisson. Enfin, nous donnons des définitions et des propri étés relatives au processus de Wiener utiles dans les chapitres qui suivent. 

Processus de Poisson non homogènes 

Processus de Poisson

Processus ponctuels et fonction aléatoire de comptage Un processus ponctuel sur [0, T] se décrit, pour tout entier M, par la donnée d’une suite croissante de points aléatoires 0 < t1 < t2 < · · · < tM < · · · ≤ T dans [0,T], qui sont des variables aléatoires définies sur un espace de probabilité (Ω, F, P). Posons s1 = t1 s2 = t2 − t1 · · · 9 sM = tM − tM−1 · · · t0 = 0 et les variables aléatoires ti , 1 ≤ i ≤ M, sont les instants ou se produisent un événement, les si , 1 ≤ i ≤ M, sont les délais ou les temps d’attente entre deux événements successifs. On dit que ti , 1 ≤ i ≤ M définit un processus ponctuel. Désignons par Xt le nombre d’événements qui se sont produits au cours de la période de temps [0, T] et supposons que X(0) = X0 = 0. On définit la fonction aléatoire de comptage XT = {Xt , 0 ≤ t ≤ T} du processus ponctuel ti , 1 ≤ i ≤ M, de la façon suivante : Xt = X M j=1 1{tj≤t}, Xt est ainsi le nombre d’événements qui se sont produits avant l’instant t. – Notons que X0 = 0 puisque t1 > 0, XT < +∞. S’il n’y a pas de point (d’événement) dans l’intervalle [0, T], alors on pose M = 0 et Xt = 0, 0 ≤ t ≤ T. Bien entendu,M = XT . – Pour 0 ≤ s < t, Xt − Xs est le nombre d’événements qui se sont produits dans l’intervalle de temps ]s, t]. – la trajectoire XT est continue à droite et admet une limite à gauche, c’est une fonction croissante, constante par morceaux avec des sauts de hauteur 1 c’est-à-dire Xt = Xt−+ (1 ou 0) . – Notons que la donnée {Xt , 0 ≤ t ≤ T} est équivalente à celle de la suite {ti , 1 ≤ i ≤ M}, et que pour tout entier n, l’on a les relations suivantes : 1.{Xt ≥ n} = {tn ≤ t}, 2.{Xt = n} = {tn ≤ t < tn+1}, 3.{Xs < n ≤ Xt} = {s < tn ≤ t}. Processus de Poisson homogène Definition 1.2.1 On dit que le processus ponctuel {ti , 1 ≤ i ≤ M}, où sa fonction aléatoire de comptage est XT , est un processus de Poisson homogène si XT est une fonction aléatoire à accroissements indépendants et stationnaires. C’est-à-dire si a) X0 = 0 p.s. ; b) quels que soient 0 ≤ s0 < s1 < · · · < sN < · · · ≤ T, les accroissements Xs2 − Xs1 , · · · , XsN −XsN−1 du processus sur les intervalles disjoints [s1, s2], · · · , [sN−1, sN ] sont des variables aléatoires indépendantes ; c) pour 0 ≤ s < t, Xt − Xs suit la loi de Poisson et cette loi ne dépend de s et de t que par la différence t − s. 10 La propriété b) est appelée la stationnarité des accroissements de {Xt}. La définition du processus de Poisson est justifiée par la proposition suivante : Proposition 1.2.2 Soit XT = {Xt , 0 ≤ t ≤ T}, la fonction aléatoire de comptage d’un processus de Poisson homogène. Il existe λ > 0 tel que pour tous 0 ≤ s < t, la loi de Xt − Xs est la loi de Poisson de paramêtre λ(t − s), c’est-à-dire P(Xt − Xs = k) = exp(−λ(t − s))[λ(t − s)]k k! , k ∈ N avec N : ensemble des entiers naturels. Remarque 1 Ce paramètre λ est appelé l’intensité du processus de Poisson homogène {Xt , 0 ≤ t ≤ T}. Il est égal au nombre moyen d’événements qui se produisent pendant un intervalle de temps de longueur unité, ce qui signifie : E(Xt+1 − Xt) = λ.

Processus de Wiener

Nous rappelons quelques définitions à propos du processus de Wiener. Pour une étude exhaustive, on pourra se référer par exemple à l’ouvrage de Lipster et Shiryaev [60]. 20 Definition 1.4.1 Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé et F = {Ft , 0 ≤ t ≤ T} une famille de σ – algèbres de F . On dit que F est une filtration, si c’est une famille croissante, au sens ou Fs ⊂ Ft ⊂ F si 0 ≤ s < t ≤ T. Si F est une filtration sur un espace probabilisé (Ω, F, P), on dit que (Ω, F, Ft , 0 ≤ t ≤ T , P) est un espace probabilisé filtrè. Notons que (X(t), Ft), t ∈ [0, T] signifie que X(t) est une variable aléatoire Ft – mesurable pour tout t ∈ [0, T] (X(t) est un processus non-anticipant). Definition 1.4.2 Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé et F = {Ft , 0 ≤ t ≤ T} une filtration. Le processus aléatoire W = (W(t), Ft), t ∈ [0, T] est un processus de Wiener standard s’il possède les propri étés suivantes : 1. W(0) = 0 ; 2. les trajectoires (W(t), 0 ≤ t ≤ T), sont continues P − p.s. pour tout t ; 3. W = (W(t), Ft), t ∈ [0, T], est une martingale de carré intégrable c’est-à-dire E(W(t) | Fs) = W(s), 0 ≤ s ≤ t ≤ T ; 4. E[(W(t) − W(s))2 | Fs] = t − s, 0 ≤ s ≤ t ≤ T. Le processus de Wiener est un processus gaussien à accroissements indépendants, et admet les deux premiers moments suivants : EW(t) = 0, cov(W(t), W(s)) = EW(t)W(s) = min(s, t), t, s ∈ [0, T]. on observe n processus de Poisson indépendants X1, · · · , Xn, Xj = (Xj (t), t ∈ [0, T]) pour j = 1, · · · , n, de même intensité Λ(θ0, t) = R t 0 S(Λ(θ0, s))ds, où θ0 ∈ Θ ⊂ R. Considérons le processus Wn(.) défini par Wn(.) = 1 √ n Xn j=1 (Xj (.) − Λ(θ0, .)). Condition C0 : a) la fonction g(.) et la constante λ sont positives et connues ; b) la fonction g(.) est continûment différentiable sur [0, τ ∗ ) ∪ (τ ∗ , T] et admet un saut au point τ ∗ ∈ (0; T) avec g(τ ∗ +) − g(τ ∗ −) = r > 0 et g(τ ∗ +)g(τ ∗ −) 6= 0. Nous démontrons dans le lemme qui suit que le processus Wn(.) est asymptotiquement (au sens de la convergence faible) la composition d’un mouvement brownien avec Λ(θ0, t) qu’on note W(Λ(θ0, t)),Λ(θ0, t) ∈ [0,Λ(θ0, t)].