TECHNIQUES DE MAILLAGE POUR DES GEOMETRIES COMPLEXES

RESOLUTION MECANIQUE

Nous abordons ici les équations mécaniques utilisées dans le cadre du code FORGE2 Multimatériaux, et les méthodes de résolution nécessaires pour les résoudre. I.2.1. Les équations de la mécanique pour un matériau élastoviscoplastique Le code FORGE2 Multimatériaux possède une version viscoplastique [Magny 1996]. Dans le cadre de notre étude, nous avons développé une version élasto-viscoplastique que nous présentons dans les paragraphes suivants. La résolution d’un problème mécanique par éléments finis s’appuie sur différentes équations : les équations d’équilibre qui constituent la base du problème et la loi de comportement définissant le matériau étudié. Nous présenterons également l’écriture en déviateur que nous utilisons pour décomposer les contraintes et les déformations en une partie sphérique et déviatorique. La formulation faible (ou intégrale) du problème, obtenue grâce au Principe des Puissances Virtuelles (PPV), exprime la condition nécessaire pour minimiser l’énergie (équations d’Euler). Le problème, ainsi défini sous forme intégrale, est ensuite discrétisé et résolu par la méthode des éléments finis. Les équations qui vont suivre étant pour la plupart bien connues, nous ne rentrerons pas dans les détails, mais pour plus de précision le lecteur pourra se référer à [Bellet 1994], [Chenot 1994] et [Montmitonnet 1994]. I.2.1.1. Les équations d’équilibre L’équilibre en rotation et en translation d’un petit volume élémentaire permet de montrer la symétrie du tenseur des contraintes σ, et de formuler les équations d’équilibre. En négligeant les forces volumiques appliquées au système (inertie, gravité), ces équations s’écrivent : div(σ ) = 0 sur Ω , où σ est le tenseur des contraintes de Cauchy, et Ω représente le solide étudié. Pour qu’un problème soit correctement posé, on lui ajoute certaines conditions aux limites, traduisant les contraintes surfaciques auxquelles est soumis le solide Ω :  Figure I. 1. Conditions aux limites du problème  ( )       = ∆ ∂Ω − = ∂Ω = ∂Ω = ∂ c c T V , , ,… sur ( ). 0 sur sur sur Ω τ σ µ σ n g outil n d d f V v v n T v v où n est la normale sortante à ∂Ω, σn le vecteur contrainte normale, et vd, voutil et Td sont respectivement la vitesse imposée sur ∂Ωv, la vitesse de l’outil sur ∂Ωc et le chargement surfacique appliqué à ∂ΩT. La dernière équation exprime le frottement entre la matière et l’outil, caractérisée ici par une loi de frottement générale f qui peut représenter une loi de type viscoplastique, Coulomb ou encore Tresca. µ est un paramètre spécifique au couple de matériaux en vis-à-vis et à leur interface, et τ est le vecteur cission de frottement, défini de la façon suivante : τ = σ n − [σ n.n]n . Enfin ∆Vg est le vecteur vitesse relative de glissement défini comme la composante tangentielle de la différence des vitesses de la matière V, et de l’outil voutil.

La loi de comportement

La loi élasto-viscoplastique retenue ici s’appuie en fait sur une loi élastoplastique à laquelle on rajoute une sensibilité de la contrainte d’écoulement à la vitesse basée sur la loi de Norton-Hoff. Cette version élastoplastique est basée sur la loi de Prandtl-Reuss avec le critère de plasticité de Von Mises et un écrouissage isotrope. Cette loi se traduit en 2D par les deux relations suivantes (voir [Montmitonnet 1994]) : voutil Ω ∂ΩC ∂ΩT ∂ΩV Td : Chargement surfacique vd : Vitesse imposée ∂Ω contact  est le tenseur des vitesses de déformation, et el ε& , pl ε& sont respectivement les composantes élastique et plastique de ce tenseur. ε représente la déformation cumulée (ou déformation plastique équivalente au sens de Von Mises), σ ij la composante i,j du tenseur des contraintes de Cauchy, et σ ( ) ε 0 la contrainte d’écoulement du matériau. Enfin f (σ ,ε ) est la fonction du critère de plasticité de Von Mises. Nous choisissons de plus une loi d’écoulement associée au critère de plasticité, c’est à dire que la fonction f du critère de Von Mises est utilisée à la place du potentiel plastique dans la loi d’écoulement : (σ ) σ ε λ ∂ ∂ = f pl pl & , où λ pl est le multiplicateur plastique. Nous nous plaçons ici dans le cadre de la plasticité incompressible : ( )= 0 pl Tr ε& . La viscosité du matériau apparaît, comme nous l’avons mentionné précédemment, dans le terme σ0 du critère de Von Mises. Dans ce cas, on décompose le terme σ0 de la façon suivante : ( ) ( )m σ ε ε Ks K ε & & , 3 3 3 0 = + où Ks représente le seuil de plasticité du matériau, K la consistance et m le coefficient de sensibilité à la vitesse de déformation.