Systèmes linéaires

Un système linéaire, au sens de l’automatique, est un processus physique pouvant être décrit par des équations linéaires différentielles, respectant le principe de superposition, c’est-à-dire que la combinaison linéaire des variables de ce système donne une autre variable appartenant à ce même système. Les systèmes linéaires se caractérisent par deux propriétés principales : la proportionnalité et l’additivité. Les systèmes linéaires ont été longtemps étudiés dans le cas stationnaire. Grâce aux travaux de [Bellman, 1957 ; Pontryagin et al., 1962] et surtout de [Kalman, 1959, 1963] dans les années 1960, les automaticiens ont depuis privilégié la représentation d’état. Ainsi, tout système dynamique linéaire continu (ou discret) régi par un ensemble d’équations différentielles peut être représenté par les équations matricielles suivantes :où x(t) représente le vecteur des états, y(t) la sortie et u(t) la commande. Cette classe de systèmes dynamiques semble a priori très restreinte mais permet d’étudier un grand nombre de systèmes que l’on peut rencontrer dans la vie courante. Elle permet d’obtenir un compromis entre la complexité de modélisation et la simplicité des études. Des techniques de linéarisation permettent d’obtenir des modèles linéaires simplifiés qui donnent des résultats plutôt satisfaisants localement. Mais, pour des raisons de performances et de robustesses, il est souvent souhaitable de travailler sur des systèmes non linéaires et ceci malgré leur complexité.

Observabilité des systèmes linéaires

Pour un système donné, et pour des raisons techniques ou économiques (construction, positionnement et coût des capteurs), il n’est pas possible en général d’accéder à la totalité des composantes du vecteur d’état par des dispositifs de mesure. Or, dans beaucoup de cas, la commande d’un système nécessite de s’assurer de la connaissance à chaque instant de ce vecteur d’état. La solution consiste alors en la synthèse d’un observateur, grâce auquel, si le système est observable, il est possible d’estimer tout ou une partie de l’état par l’intermédiaire des grandeurs connues du système. Ce type de bouclage nécessite donc la connaissance de tout l’état (c’est-à-dire, la mesure de tout l’état). On est alors conduit à chercher les conditions qui permettent de calculer le vecteur d’état x(t) pour t 2 [0; T ] à partir des données «mesurables» du système, c’est-à-dire les matrices A, B, C, l’entrée u(t) sur l’intervalle [0; T ] et la réponse fournie par la sortie y(t) sur l’intervalle [0; T ]. Une façon possible de formaliser tout cela est de procéder comme suit. Un observateur d’état a été introduit dans les années soixante par [Luenberger, 1966] pour les systèmes linéaires continus. Dans [Kalman, 1960], l’auteur a formulé un observateur en considérant un système linéaire déterministe ou stochastique. Avec l’observateur de Luenberger ou de Kalman, il suffit de choisir un gain L telle que la matrice (A LC) soit une matrice dont les valeurs propres sont toutes à parties réelles strictement négatives dans le cas continu ou possèdent un module strictement inférieur à 1 dans le cas discret (matrice de Hurwitz). Les deux observateurs diffèrent par la façon de calculer le gain de retour L.

La définition la plus simple d’un système non linéaire est un système qui n’est pas linéaire, c’est- à-dire qui ne respecte pas les propriétés d’un système linéaire. Les conditions de proportionnalité et d’additivité ne s’appliquent plus aux systèmes non linéaires. Cette définition explique la complexité et la diversité des systèmes non linéaires et des méthodes qui s’y appliquent. Il n’existe pas une théorie générale pour ces types de systèmes, mais on peut trouver plusieurs méthodes qui sont adaptées à certaines classes de systèmes non linéaires. La forme la plus utilisée pour la représentation des systèmes non linéaires est la suivante : est une fonction non linéaire. Une solution x(t) au système (1.10) correspond également à une courbe de l’espace d’état, quand t varie de 0 à 1, et est appelé une trajectoire d’état [Labit, 2002]. Cette remarque nous amène au fait important que l’observabilité d’un système non linéaire n’est pas suffisante pour la synthèse d’un observateur mais qu’il faut également prendre en compte le problème des entrées. L’étude de leurs propriétés s’avère donc primordiale et une classe d’entrées intéressantes est celle pour lesquelles il n’existe pas de paire indistinguable.