Systèmes Dynamiques et Chaos

Systèmes dynamiques 

Un système dynamique est une structure qui évolue au cours du temps de façon à la fois :
• Causale, où son avenir ne dépend que de phénomènes du passé ou du présent
• Déterministe, c’est-à-dire qu’à partir d’une condition initiale donnée à l’instant présent va correspondre à chaque instant ultérieur un et un seul état futur possible.

L’évolution déterministe du système dynamique peut alors se modéliser de deux façons distinctes
• Une évolution continue dans le temps, représentée par une équation différentielle ordinaire.
• Une évolution discrète dans le temps, l’étude théorique de ces modèles discrets est fondamentale, car elle permet de mettre en évidence des résultats importants, qui se généralisent souvent aux évolutions dynamiques continues. Elle est représentée par le modèle général des équations aux différences finie.

Systèmes Dynamiques chaotiques 

Le chaos tel que le scientifique le comprend ne signifie pas l’absence d’ordre; il se rattache plutôt à une notion d’imprévisibilité, d’impossibilité de prévoir une évolution à long terme du fait que l’état final dépend de manière si sensible de l’état initial. On appelle donc un système dynamique chaotique, un système qui dépend de plusieurs paramètres et qui est caractérisé par une extrême sensibilité aux conditions initiales. Il n’est pas déterminé ou modélisé par des systèmes d’équations linéaires ni par les lois de la mécanique classique.

La non-linéarité
Un système chaotique est un système dynamique non linéaire. Un système linéaire ne peut pas être chaotique. La notion de système dynamique est relative à tous les systèmes dont l’évolution dépend du temps. En général, pour prévoir des phénomènes réels générés par ces systèmes, la démarche consiste à construire un modèle mathématique qui établit une relation entre un ensemble de causes et un ensemble d’effets. Si cette relation est une opération de proportionnalité, le phénomène est linéaire. Dans le cas d’un phénomène non linéaire, l’effet n’est pas proportionnel à la cause .

Le déterminisme
Un système chaotique a des règles fondamentales déterministes et non probabilistes. Il est généralement régi par des équations différentielles non linéaires qui sont connues, donc par des lois rigoureuses et parfaitement déterministes.

Sensibilité aux conditions initiales
Certains phénomènes dynamiques non linéaires sont si sensibles aux conditions initiales que, même s’ils sont régis par des lois rigoureuses et parfaitement déterministes, les prédictions exactes sont impossibles.

Une autre propriété des phénomènes chaotiques est qu’ils sont très sensibles aux perturbations. L’un des premiers chercheurs à s’en être aperçu fut Edward Lorenz qui s’intéressait à la météorologie et par conséquent aux mouvements turbulents d’un fluide comme l’atmosphère. Lorenz venait de découvrir que dans des systèmes non linéaires, d’infimes différences dans les conditions initiales engendraient à la longue des trajectoires totalement différentes. Il a illustré ce fait par l’effet papillon. Le battement d’ailes d’un papillon aujourd’hui à Tlemcen engendrerait une tempête le mois prochain à Quebec. Il est clair que la moindre erreur ou imprécision sur la condition initiale interdit de décider à tout temps quelle sera la trajectoire effectivement suivie et, en conséquence, de faire une prédiction sur l’évolution à long terme du système. Une des propriétés essentielles du chaos est donc bien cette sensibilité aux conditions initiales que l’on peut caractériser en mesurant des taux de divergence des trajectoires.

L’espace de phase

Un système dynamique est caractérisé par un certain nombre de variables d’état, qui ont la propriété de définir complètement l’état du système à un instant donné. Le comportement dynamique du système est ainsi relié à l’évolution de chacune de ces variables d’état. Cet espace est appelé l’espace de phase ou chaque point définit un état et le point associé a cet état décrit une trajectoire, appelé également une orbite.

Notion d’attracteur 

L’étude du comportement asymptotique d’un système dynamique régi par un flot d’équations différentielles non linéaires révèle très souvent la notion d’attracteur, défini comme l’ensemble compact de l’espace des phases invariant par ce flot et vers lequel convergent toutes les trajectoires du système. Il existe quatre cas de figures correspondants à des solutions différentes du flot, mettant en évidence des attracteurs différents :

• Le point attracteur : correspondant à une solution stationnaire constante, donc de fréquence nulle.
• Le cycle limite attracteur : caractérisant un régime périodique, la solution possède une seule fréquence de base.
• Le tore supra Tr (r≥2) : cet attracteur correspond à un régime quasi-periodique ayant r fréquences de base indépendantes (cas le plus simple r=2, dynamique biperiodique).
• L’attracteur étrange : cet attracteur est associé à un comportement quasi-aléatoire dit chaotique, caractérisé par un spectre de puissance continue et une fonction d’auto-corrélation s’annulant très rapidement. Contrairement aux signaux périodiques (quasi-périodiques) pour laquelle la similitude reste présente pour autant que la périodicité n’est altérée ; ce qui a pour conséquence immédiate la périodicité du comportement du système, le caractère fini de la portée de la fonction d’auto corrélation temporelle pour le régime chaotique met en évidence la perte progressive de la similitude interne et donc l’imprédictibilité. Cette perte de mémoire du signal est due au phénomène de contraction des volumes dans l’espace des phases des systèmes dynamiques dissipatifs, mais aussi et surtout au phénomène de dilatation directionnelle de ces volumes.

Notons quelques propriétés importantes des systèmes chaotiques :
− Trois degrés de liberté sont suffisants pour donner naissance au chaos.
− L’attracteur, qui en plus d’être invariant par le flot, est aussi de volume nul, d’où la conclusion sur sa dimension qui doit être inferieure à celle de l’espace des phases (d<n). On montre que cette dimension est fractale pour le cas d’attracteur étrange.
− Le chaos est caractérisé par la sensibilité aux conditions initiales .

Bifurcation et routes vers le chaos

La théorie de bifurcation est l’étude mathématique des changements qualitatifs ou topologiques de la structure d’un système dynamique. Une bifurcation survient lorsqu’une variation quantitative d’un paramètre du système engendre un changement qualitatif des propriétés d’un système telles que la stabilité, le nombre de points d’équilibre ou la nature des régimes permanents. Les valeurs des paramètres au moment du changement sont appelées valeurs de bifurcation .

Dans les systèmes dynamiques, un diagramme de bifurcation montre les comportements possibles d’un système, à long terme, en fonction des paramètres de bifurcation.