Systèmes Dynamiques Discrets à Comportement Complexe

Systémes Dynamiques Discrets à Comportement
Complexe

Attracteurs et attracteurs chaotiques

Dans un systËme dynamique, il peut exister des singularités plus générales que les points fixes et les cycles ; ce sont les attracteurs. Plusieurs définitions ont été proposées pour ce type de singularités. Dans cette thËse, on se su¢ ra de la définition donnée par J. Milnor [18] et celle donnée dans la référence 

Attracteur

Définition 1.2.1 Soit (X; T; f) un systËme dynamique et soit  la mesure de Lebesgue dans X. Un sous ensemble fermé A de X est dit attracteur au 2 1.2. Attracteurs et attracteurs chaotiques sens de Milnor, si i) (D(A)) > 0; o˘ D(A) est le bassin díattraction de A. ii) Pour tout sous ensemble fermé A0 strictement inclus dans A, on a : (D(A)nD(A0 )) > 0: Remarque 1.2.1 Lorsque le sous ensemble fermé A vérifie uniquement la condition (i), A est appelé attracteur faible. De la définition précédente, il résulte que líunion finie díattracteurs est encore un attracteur, et que la fermeture díune union infinie díattracteurs est un attracteur. Pour rapprocher la définition de líidée intuitive de minimalité díun attracteur, J. Milnor utilise la notion suivante : Définition 1.2.2 A est un attracteur minimal au sens de Milnor, si A est un attracteur au sens de Milnor et síil ne contient aucun sous-ensemble strict fermé A0 ; tel que (D(A0 )) soit strictement positive. Définition 1.2.3 Soit (X; N; f) un systËme dynamique discret. Un sous ensemble fermé invariant A de X est dit attracteur, si i) il existe un voisinage U de A, tel que f=X(U)  U ii) 8x 2 U; f(n; x) ! A quand n ! +1 iii) Pour deux sous-ensembles non vides quelconques V et W de A, il existe un entier k strictement positif tel que f(k; V ) \ W 6= ; (transitivité topologique de A): LíhypothËse (iii) est équivalente ‡ la suivante : (iv) Il existe un point x appartenant ‡ A, tel que son orbite est dense dans A.

Attracteur chaotique

Il existe des systËmes dynamiques déterministes trËs simples, pour lesquels deux trajectoires issues de points de départ dont la di§érence est trop petite pour Ítre observable, se séparent aprËs un certain temps. Leur distance croÓt de faÁon exponentielle, jusquí‡ ce que toute mémoire sur le point de départ soit 3 

Attracteurs et attracteurs chaotiques perdue

On appelle ce phénomËne sensibilité aux conditions initiales. Cette propriété du systËme est caractérisée par des coe¢ cients, appelés exposants de Lyapounov, dont on rappellera la définition dans le cas díun systËme dynamique discret et ceci pour faciliter la compréhension de ces exposants. Définition 1.2.4 Soit (Rn ; N; f) un systËme dynamique discret et T líitération dans R n générée par le áot f, (T(x) = f(1; x)), que nous supposerons di§érentiable. Soit JT(x) la matrice jacobienne de T au point x. Soit JT m(x0) la matrice jacobienne de la composée m fois de T au point x0 JT m(x0) = JT(xm).