Symétries du problème et structure de l’équation réduite

La réduction de Liapunov-Schmidt avec symétrie

Maintenant, on revient à la déscription de la méthode de réduction de Liapunov-Schmidt du paragraphe 3.1, en reformulant le problème posé un peu différemment, pour être plus approprié au contexte des symétries. Le but principal de cette partie est de montrer, que le problème réduit hérite des symétries du problème de départ, ce qui simplifie considérablement les calculs par la suite (voir [20]). Etant donné un espace de Hilbert ´ H, et une application assez régulière Φ, dépendant d’un paramètre µ ∈ R m, définie sur un sous-espace D ⊂ H Φ : D × R m ⊂ H × R m → H tel que Φ (0, 0) = 0, alors, le problème posé est de résoudre au voisinage de (0, 0) ∈ D × R m, l’équation Φ (u, µ) = 0, en u fonction du paramètre µ. Dans cette reformulation du problème, l’opérateur L du paragraphe 3.1 représente la différentielle (au sens de Fréchet) de Φ par rapport à u au point (0, 0), c’est à dire L = DuΦ (0, 0),

Symétries du problème et structure de l’équation réduite 

et Nµ = Φ (u, µ) − DuΦ (0, 0). Comme précédemment, L est supposé un opérateur de Fredholm d’indice zéro, et auto-adjoint. Lorsque Φ (u, µ) commute avec certaines transformations (symétriques), la fonction de réduction g définie au paragraphe 3.1, possède des propriétés intéressantes, et surtout profitables au calcul de l’équation réduite. En conservant les notations du paragraphe 3.1, on rappellera brièvement les définitions de ces notions, et les résultats de [20, 21], concernant l’effet des invariances par symétries sur l’opérateur L, les espaces de décomposition ker (L), R (L), ainsi que G et la fonction implicite U. Définition 4.1.1: On appelle symétrie dans H, toute transformation S linéaire et isométrique définie de H dans H. Définition 4.1.2: On dit que l’opérateur Φ est équivariant par (ou commute avec) la symétrie S si les deux conditions suivantes sont satisfaites (1) D est un sous-espace de H invariant par S, c’est à dire S (D) ⊂ D. (2) Pour tout u ∈ D on a : Φ (S (u), µ) = S (Φ (u, µ)). Remarque 4.1.3: Lorsque l’équivariance concerne aussi l’espace des paramètres, les mêmes définitions sont valables en prenant l’espace H × R m au lieu de H. Proposition 4.1.4: ([20, Lemma 3.2, Proposition 3.3], et [21]) On suppose que Φ est un opérateur équivariant par la symétrie S. Alors les propriétés suivantes sont satisfaites 

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L est équivariant par S. (b) ker(L) est un sous-espace invariant par S. (c) R(L) est un sous-espace invariant par S. (d) G est équivariante par S. Preuve On doit dire d’abord, que nous reproduirons ici, la démonstration présentée dans [20]. Suivant les hypothèses de la proposition, on a Φ (S (u), µ) = S (Φ (u, µ)). En dérivant cette identité en (u, µ) = (0, 0), on obtient L ◦ S = S ◦ L ce qui prouve (a). Pour tout u ∈ ker(L) d’après (a), on a L(S (u)) = S (L(u)) = S (0) = 0, ainsi S (u) ∈ ker(L) , d’o`u (b). Pour tout élément u ∈ R(L), il existe w ∈ D, tel que u = L(w), donc S (u) = S (L(w)), 4. Symétries du problème et structure de l’équation réduite 62 et d’après (a) on a S (u) = L(S (w)). Donc S (u) ∈ R(L), ce qui prouve (c). Le point (d) est un résultat direct du fait que les projections (I − P) et P, ainsi que la fonction implicite U (représentée par U1 dans l’équation (3.2.b)) sont équivariantes par S. En effet, soit u = v +w dans H, o`u v ∈ ker(L) et w ∈ R(L). En tenant compte de l’invariance des sous-espaces ker(L) et R(L), on a S ((I − P) (u)) = S ((I − P) (v + w)) = S (w) = = (I − P) (S (w)) = (I − P) (S(v) + S(w)) = (I − P) (S(u)). De la même fa¸con, on obtient l’équivariance de P par S. Concernant U, posons d’abord US(v, µ) = S −1U (S(v), µ). Ainsi on a (I − P) Φ (v + US (v, µ), µ) = S −1 ◦S (I − P) Φ (v + US (v, µ), µ) = S −1 ◦ S (I − P) Φ .