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LES PROPOSITIONS COMPLEXES
Langage de la logique propositionnelle
Langage formel et langage naturel
Le langage naturel est le langage que nous utilisons dans la vie de tous les jours. L’utilisation du langage naturel en Mathématiques peut entrainer deux grands problèmes : la première est celui de la complexité des phrases qui peut rendre à des choses plus compliquées. Il faut parfois plusieurs lignes et une phrase complètement incompréhensible pour dire quelque chose qui peut se résumer par unesimple équation.
La deuxième est ce que : les ambigüités du langage courant peuvent conduire à des erreurs, et surtout une preuve se doit indiscutable par définition, ce qui est impossible lorsqu’il y a ambigüité. Par suite nous avons intérêt à utiliser le langageformel.
Définition d’un langage formel
Pour définir un langage formel, on doit définir deux choses : l’alphabet et la syntaxe.
Un alphabet se définit comme dans le cas de langage naturel c’est-à-dire un ensemble des symboles à utiliser pour former des mots ou formule s.
Une syntaxe est un ensemble de règles à suivre pour définir les mots du langage formel.
Un mot ou chaine de caractère est une suite ordonnée des symboles, ces symboles appartenant à un alphabet. Un langage formel est donc un ensemb le de mots de longueur finie défini par un alphabet et une syntaxe.
Pour éclaircir ces définitions , nous allons prendre un exemple quelconque.
– l’alphabet du langage est l’ensemble contenant le s éléments suivants : X, Y, Z,=, et + -la syntaxe sera composée des règles suivantes :
1Aucun mot ne peut pas commencer ou terminer par = 2 Aucun mot ne peut pas commencer ou terminer par + 3 De chaque mot on a un et un seul symbole « = »
4 Si on choisit deux symboles consécutifs dans un mot, l’un des deux est une des lettres X, Y et Z et pas l’autre.
Par exemple X+Y+Z=X+Z est un mot possible, par contre =X+YZ ne l’est pas.
Les formules
Les propositions simples sont aussi appelées « variables propositionnelles » ou « formules atomiques » ou « propositions atomiques ». A partir des formules atomiques et à l’aide de connecteurs nous pouvons construire des propositions plus complexes que nous appelions : formule ou proposition. Ainsi « il pleut » et « le sol est mouillé » sont deux propositions atomiques. A l’aide de connecteur de l’implication « », nous avons la formule ou proposition « il pleut le sol est mouillé ».
Langage de la logique propositionnelle
Nous pouvons définir maintenant le langage de la logique propositionnelle. L’alphabet de la logique propositionnelle est constitué :
1-d’un ensemble des formules atomiques
2-des connecteurs : , , , ,
3-des séparateurs (parenthèses) : « ( » et «) »
Les parenthèses sont utiles dans les formules logiques car il faut se rendre compte par exemple que la formule P Q est différente de la formule (P Q).
Cependant certain livre utilise la notation polonaise, dans ce cas l’utilisation de la parenthèse est parfois inutile.
La syntaxe se définit comme suit :
Syntaxe : l’ensemble des formules logiques est le plus petit ensemble tel que :
Si P est une formule atomique alors P est une formule
Si P est une formule alors P est une formule
Si P et Q sont des formules alors P Q est une formule
Si P et Q sont des formules alors P Q est une formule
Si P et Q sont des formules alors P Q est une formule
Si P et Q sont des formules alors P Q est une formule
Relation entre les connecteurs
Dans ce paragraphe nous allons étudier quelques propriétés des connecteurs c’est-à-dire les relations entres eux. Nous avons intérêt à faire cette étude parce que la connaissance des propriétés des connecteurs peut faciliter la démonstration.
Quelques définitions
(i) Rappelons que deux propositions atomiques P et Q sont dits logiquement équivalentes si elles ont la même valeur de vérité. Attention, one ns’intéresse pas ici au contenu de la proposition mais de sa valeur de vérité. On définitde la même manière les propositions composées logiquement équivalentes: deux propositions complexes sont logiquement équivalentes, si elles ont la même évaluation quesll que soient les valeurs des propositions atomiques à partir desquelles elles sont construite s.
(ii) On appelle « tautologie » ou « expression valide » ou « loi de la logique propositionnelle », toute formule composée qui est toujours vraie, quelle que soit la valeur de vérité des propositions atomiques qui la compose.
Exemple :
P P est une tautologie : que P soit vraie ou fausse cette formule est toujours vraie. On peut démontrer une tautologie à l’aide d’une table de vérité.
Remarque : Dans une théorie mathématique on n’admet pas l’existence d’une contradiction.
(iv) On appelle « expression contingente », une expression qui est parfois vraie, parfois fausse. Si une expression contingente prend au moins une fois la valeur vraie, alors on dit qu’elle est « satisfaisable ».
(V) Deux propositions P et Q sont dits « synonymes » s’ils ont la même valeur de vérité au sens verbal. On écrit alors P Q.
Exemple :
P : « Toky n’est pas malade »
Q : « Toky est en bonne santé ».
Nous avons dans ce cas P Q.
Propriétés des connecteurs
Avant de voir quelques propriétés concernant les onnecteurs, nous allons définir d’abord ce qu’on appelle « formules duales ».
Définition : Soit P une proposition complexe, exprimée à l’aide de la conjonction disjonction .
Dans toute la suite de ce paragraphe P, Q, R désignerons trois propositions quelconques.
Les tautologies
Une tautologie est une proposition toujours vraie quelque soit la valeur des formules atomiques qui la compose. Les tautologies peuvent parfois être utiles dans la simplification des certaines expressions. Si P et Q sont deux propositions logiquement équivalentes alors P Q est une tautologie et réciproquement.
Voici quelques tautologies remarquables déduitesà partir des relations précédentes.
P, Q et R sont des propositions
CALCUL DES PREDICATS
Nous avons intérêt à faire le calcul de prédicat. uivonsS en effet le raisonnement suivant :
-Tous les malgaches mangent du riz
-Rabe est un malgache
-Donc Rabe mange du riz
Un tel raisonnement peut être difficile en utilisan seulement le simple calcul des propositions
Forme propositionnelle.
La notion de forme propositionnelle est très importante en théorie des ensembles. Comme on va voir plus bas, elle permet par exemple de définir les ensembles surtout si on ne peut pas énumérer ses éléments c’est-à-dire si l’ensemblpossède une infinité d’élément.
Cette notion complète aussi la logique propositionnelle.
Considérons l’expression définie sur par :
p(x) : « x est divisible par 5 »
– Si on donne à x la valeur 7, on obtient la proposit ion fausse : « 7 est divisible par 5 ».
– Si on donne à x la valeur 80 on obtient la proposit ion vraie : « 80 est divisible par 5 » .
Par suite la véracité de p(x) dépend de la valeur edx. Donc cette expression n’est pas une proposition, car comme on a vu : une proposition est une phrase dont on peut affirmer sans ambigüité qu’elle soit vraie ou fausse.
On dit que c’est une forme propositionnelle
Définition de la forme propositionnelle
On appelle forme propositionnelle à une variable x, toute expression contenant la variable x et dévient une proposition pour toute valeur attribuée à x
Les formes propositionnelles à une variable x sont notées en général par : p(x), q(x), f(x),…
Autre exemple de forme propositionnelle : T(x) : « x est un travail »
Si on remplace x par dormir, nous avons la proposition fausse T (dormir) : « dormir est un travail »
Si on remplace x par labourer le champ, nous avons la proposition vraie T (labourer le champ) : «labourer le champ est un travail »
Remarque :
Si p(x) est une forme propositionnelle définie sur un ensemble E, E est encore appelé référentielle et si on choisit un élément a de E,(a)p est une proposition.
Introduction à la théorie des ensembles
Un ensemble E peut être défini comme collection d’objet possédant la même propriété P. Ainsi, les objets d’un ensemble sont appelés éléments. Les éléments sont notés habituellement par des petites lettres x, y, z,…
Remarque 2 :
(1) Dans certain manuel, une forme propositionnelle est encore appelée prédicat.
(2) Il existe des formes propositionnelles à deux ou à plusieurs variables. Dans ce cas la forme propositionnelle ne dépend pas seulement d’une variable.
Une forme propositionnelle à deux variables est au ssi appelée relation binaire.
Le nombre de variable d’une forme propositionnelle s’appelle arité.
Exemple :
« x et y ont la même parité » est une forme propositionnelle à deux variables, qui dévient une proposition fausse si x = 2 et y = 5, est dévient une proposition vraie si x = 8 et y = 20.
Les quantificateurs
Les quantificateurs sont utilisés pour transformer une forme propositionnelle définie sur un ensemble E, en une proposition.
Le quantificateur universel
Soit la forme propositionnelle, définie sur le référentiel , par p(x) : « x est positif »
Pour chaque , la proposition p(a) est vraie. On dit alors que : « Pour toute x élément de , p(x) » ou « Quelque soit x élément de , p(x) » et on écrit : ( ) (p(x)).
Le symbole s’appelle quantificateur universel. Il transforme la forme propositionnelle p(x) en une proposition.
Si on change le référentiel, par exemple , on obtient la proposition : ( ) (p(x)).Cette dernière proposition est fausse parce que si on prend par exemple x = -2, on obtient la proposition p (-2) qui est fausse (-2 n’est pas positif)
Table des matières
INTRODUCTION GENERALE
Chapitre I : LES CONCEPTS DE BASES
I. LES PROPOSITIONS
1.1 . Introduction
1.2 Les termes primitifs en mathématiques
1.3 Les propositions
1.4 La théorie mathématique
II. LES CONNECTEURS
2.1 Définition
2.2 Les différents types des connecteurs.
2.3 Tableau récapitulatif des 16 connecteurs apparents
Chapitre II : LES PROPOSITIONS COMPLEXES
I. Langage de la logique propositionnelle
1.1 Langage formel et langage naturel
1.2. Définition d’un langage formel
1.3. Les formules
1.4. Langage de la logique propositionnelle
II. Relation entre les connecteurs
2.1. Quelques définitions
2.2 Propriétés des connecteurs
III. Les tautologies
Chapitre III : CALCUL DES PREDICATS
I. Forme propositionnelle.
1.1 Définition de la forme propositionnelle
1.2 Introduction à la théorie des ensembles
II. Les quantificateurs
2.1 Le quantificateur universel
2.2 Le quantificateur existentiel
2.3 Propriétés des quantificateurs
2.4 Autres quantificateurs
Chapitre IV : METHODES DE RAISONNEMENT
I. LE RAISONNEMENT DIRECT
1.1 Introduction
1.2. Quelques définitions préliminaires
1.3. Quelques règles en logique classique
1.4. Raisonnement naturel.
II. LE RAISONNEMENT PAR L’ABSURDE
2.1 Théories du raisonnement par l’absurde
2.2 Applications
III .LE RAISONNEMENT PAR RECURRENCE
3 .1 La récurrence simple
3.2. Le principe du raisonnement par récurrence
3.3 Remarques importantes
3.4 Autres formes du raisonnement par récurrence
IV. INTUITION ET CONTRE-EXEMPLE EN MATHEMATIQUES
4.1. Introduction
4.2. Rôle du contre-exemple
4.3. Intuition et contre-exemple
4.4. Importance de l’intuition et du contre-exemple
Chapitre V : SUGGESTION POUR L’AMELIORATION DE L’ENSEIGNEMENT DE MATHEMATIQUES AU LYCEE.
I. Problème fondamental
II. Origine de ce problème
III. Quelques conseils pour les élèves.
IV. Suggestion pour l’amélioration de l’enseignement des mathématiques au niveau secondaire.
4.1 Suggestion dans le cadre sociale
4.2 Suggestion dans le cadre pédagogique
4.3 Suggestion dans le cadre politique
CONCLUSION GENERALE
