Stratégies de calcul non linéaire et de résolution multiéchelle

Stratégies de calcul non linéaire et de résolution multiéchelle

 Méthodes de résolution de problèmes non li néaires

Les méthodes les plus couramment employées pour calculer les réponses non li néaires sont les stratégies incrémentales-itératives. Un algorithme incrémental consis te à approcher le problème non linéaire par une linéarisation de la courbe d’équilibre à chaque incrément de temps. La méthode d’Euler ou forward-Euler method est une des premières approches incrémentales. La plupart des méthodes itératives sont basées sur l’algorithme de Newton.

Ces méthodes construisent une suite de solutions linéaires qui convergent vers la solution exacte. Cependant, la convergence des méthodes de Newton n’est pas toujours as surée. Les algorithmes incrémentaux-itératifs sont utilisés pour améliorer la conver gence des méthodes de Newton, ils sont le résultat de la combinaison d’une procédure incrémentale et d’une procédure itérative.

Dans le cas de fortes non-linéarités, les mé thodes incrémentales-itératives classiques échouent au-delà des points critiques, des méthodes de continuation ont été alors créées pour piloter le chargement. D’autres types de résolutions itératives comme l’algorithme LaTIn et les méthodes de pertur bation sont envisageables. Cette section a pour objectif de présenter ces stratégies numériques. 

Méthode incrémentale d’Euler

Le traitement d’un problème mécanique non linéaire par la méthode des éléments f inis conduit d’une façon générale à la résolution d’un système d’équations que l’on peut écrire sous la forme suivante : r(u) = fint(u)−fext = 0 , (4.1) où, u représente le vecteur de déplacements de la structure, fint(u) les efforts internes associés de façon non linéaire aux déplacements u et fext le vecteur des efforts externes appliqués à la structure (on ne prendra pas en compte les forces suiveuses).

Un algorithme incrémental calcule l’équation d’équilibre (4.1) par incréments de temps [t0, … , tt−1, tt, tt−1, … , T]. Ainsi, à chaque incrément de temps ∆tt = tt+1− tt on cherche à déterminer l’incrément de déplacement ∆ut = ut+1−ut associé à l’incrément de force ∆fext t =fext t+1−fext t aux instants [t0, t1, … , tt]. , sachant que la solution a été déjà approchée La méthode incrémentale d’Euler se base dans un développement en séries de Taylor au premier ordre de l’équation (4.1) autour de ut, elle consiste à déterminer l’itéré ut+1 par annulation de l’approximation :  » r(ut+1) ≈ r(ut)+ # ∂r ∂u (ut) [ut+1 −ut] = 0 .

Stratégie multiéchelle pour l’analyse du couplage flambage-délaminage de composites stratifiés

Méthodes de résolution de problèmes non linéaires 65 La solution approchée du déplacement à l’instant tt+1 est alors donnée par :  ut+1 ≈ut− où, r(ut) est approché par −∆fext t   ∂fint ∂u (ut)  −1 r(ut) . . Inévitablement, la solution approchée s’éloigne de la solution exacte si l’on ne choisit pas des incréments de temps suffisamment petits (voir Fig. 4.1). f fext t+1 fext t ut ut+1 u Fig. 4.1: Itérations de la méthode d’Euler (cas unidimensionnel). 

Méthodes incrémentales-itératives

Ces méthodes procèdent en deux étapes; la première consiste à linéariser le pro blème non linéaire et donc à prédire une solution tangente de départ pour un incré ment de chargement donné (méthode d’Euler), tandis que la deuxième étape consiste à corriger le résidu d’équilibre par itérations successives (méthode de Newton). La Fig. 4.2 montre la combinaison d’un algorithme incrémental et d’une méthode de Newton de direction constante. 

Méthodes de Newton

La méthode de Newton ou de Newton-Raphson est une méthode numérique itérative de résolution d’équations non linéaires du type r(u) = 0. Il existe plusieurs algorithmes itératifs de ce type, chacun procédant à la construction d’une suite ui t → ut telle que r(ut) = 0 à une tolérance près1