Stratégie PBAMR et décomposition de domaine

Partition de la complétion à la volée

Nous proposons de partitionner la procédure d’adaptation qui s’est avérée être pénalisante pour la réduction de modèle, notamment dans la stratégie PBAMR. Dans l’approche développée par [Kerfriden et al., 2012] (voir sous-section 2.4.4), certains sous-domaines sont traités sans réduction de modèle. Ce sont les sous-domaines qui contiennent de fortes nonlinéarités locales et dont la base réduite n’est pas suffisamment complète a priori. Dans le cadre d’une base réduite constituée par POD, un critère de validation croisée est proposé et permet de définir, pour une dimension donnée de la base POD, le traitement réduit ou complet d’un sous-domaine. Il n’y a donc pas de procédure d’adaptation en phase online dans cette approche.
Lorsqu’une procédure d’adaptation est pertinente pour un problème donné (ici le postflambement), sa partition peut pourtant se réaliser. L’objectif est d’obtenir une procédure indépendante par sous-domaine et pour l’interface de manière à différencier la gestion de l’incomplétude des bases réduites locales et d’interface.
Dans le cas général, la procédure d’adaptation à la volée repose sur la résolution d’une itération de Newton complète. La partition est alors directe, puisqu’il s’agit d’une itération de NKS présentée en sous-section 2.3.4. Le système tangent complet peut aussi être initialisé par la solution de l’itération réduite δqC, comme dans l’équation (3.2). Le problème tangent partitionné et initialisé s’écrit alors pour tout sous-domaine s.
L’initialisation du problème d’interface par la solution du problème réduit peut être vue comme un problème grossier (voir sous-section 2.3.3). Un algorithme de Krylov-augmenté peut donc permettre de résoudre efficacement le problème d’interface issu de la procédure d’adaptation de la base réduite. Le cadre de la réduction de modèle offre ainsi un problème grossier pertinent qui peut être enrichi par des considérations présentées en sous-section 2.3.3. Cela va dans le sens d’une résolution itérative efficace du problème d’interface pour la complétion de la base réduite. Un préconditionnement de type Neumann dans le cadre de la décomposition de domaine primale est en outre possible (voir sous-section 2.3.3). Dans le cas d’un opérateur tangent symétrique défini positif, la partition du problème projeté dans Im(C)⊥KT (introduit en sous-section 2.2.1.2) n’est pas envisageable. En effet, le projecteur P (2.14) n’est pas indépendant par sous-domaine ce qui rend sa construction inefficiente. En revanche, l’algorithme de Krylov-augmenté pour la résolution du problème d’interface peut prendre la forme d’un gradient conjugué projeté (4.25). Un projecteur Pb réalise alors la projection dans Im(Cb ) ⊥ST Un point important de la partition de la procédure d’adaptation concerne la différenciation par sous domaine et pour l’interface. L’étape de localisation (4.24), comme la localisation de la méthode NKS, respecte bien l’indépendance entre les sous-domaines mais dépend de l’incrément des degrés de liberté d’interface. Toutefois, la complétion de la base réduite d’interface n’est pas nécessaire à la complétion des bases réduites locales (il s’agit du cas où δqK (s) = 0).
Le critère de complétion utilisé pour la stratégie PBAMR (voir Chapitre 3) est basé sur une mesure de l’erreur globale. Cette erreur est mesurée en décomposition de domaine par le résidu condensé normalisé (voir la convergence des méthodes NKS sous-section 2.3.4). Le critère de complétion associé est donc le suivant.

Considérations pour le post-flambement local

À ce stade, la partition de la réduction de modèle et de la procédure d’adaptivité sont présentées dans un cadre général. Une bonne efficacité de la stratégie repose toutefois sur une adéquation avec le problème étudié, en l’occurrence celui du post-flambement local des structures raidies. Trois aspects sont abordés dans cette section. Les deux premiers concernent la constitution des bases réduites initiales. Le dernier introduit la localisation non-linéaire réduite pour différencier le traitement des non-linéarités locales de la résolution de l’équilibre

Choix des bases réduites 

Nous nous plaçons, dans un premier temps, dans le cas d’un flambement localisé au sens de la décomposition de domaine. Un découpage le long des raidisseurs et un flambement local de la peau correspondent à cette hypothèse. À ce propos, [Cresta, 2008] a montré que les méthodes de décomposition de domaine en post-flambement local sont plus performantes lorsque les non linéarités sont concentrées à l’intérieur des sous-domaines (voir sous-section 2.3.4).
Dans ce cadre et conformément à la stratégie PBAMR, nous proposons de constituer la base réduite initiale de chaque sous-domaine à partir du mode de déplacement fondamental et d’un mode de flambement. Le calcul du champ de déplacement fondamental de l’ensemble de la structure, q 0 , peut être réalisé par décomposition de domaine comme dans le cas de la constitution des snapshots POD par [Kerfriden et al., 2012]. Les champs par sous-domaine q (s) 0,i et à l’interface q 0,b sont ainsi obtenus directement, et en mettant à profit les possibilités de calcul parallèle.
Quant au mode de flambement, il peut se calculer indépendamment par sous-domaine sous l’hypothèse d’un flambement à interfaces fixes. Les modes de flambement à interfaces fixes sont issus d’une analyse de flambement telle que les d.d.l. d’interface sont considérés encastrés. La base réduite initiale pour chaque sous-domaine s s’écrit donc.

Prise en compte des mouvements de corps rigides locaux 

Lorsqu’un sous-domaine subit un déplacement de corps rigide, les modes de déplacement dus à des déformations qui constituent la base réduite locale ne permettent plus de représenter l’état d’équilibre alors même que le mode de déformation reste inchangé. Ce cas de figure est tout à fait à même de se produire en présence de non-linéarité locale, comme schématisé en Figure 4.2. Afin de conserver la pertinence d’une base réduite, il suffit de lui ajouter les modes rigides du sous domaine, correspondant aux champs de déplacements suivants : – 3 champs de déplacement de translation des points M du sous-domaine s.

Localisation non-linéaire réduite 

Ayant fait ses preuves pour le calcul du post-flambement local par décomposition de domaine, la localisation non-linéaire est introduite dans la stratégie proposée (voir Algorithme 3). Des itérations sur le problème de localisation réduit par projection (4.9) sont ainsi réalisées. Le problème de complétion de la base réduite locale (4.24) peut donc constituer une itération de la localisation non-linéaire si le critère de complétion locale est vérifié.
Deux implémentations de l’adaptivité au niveau local sont envisagées :
– adaptivité locale simple : lorsque le critère de complétion est vérifié avant l’étape de localisation, la première itération est enrichie du calcul d’un vecteur additionnel pour la complétion de la base réduite (4.24). Les itérations suivantes sont réalisées sur le problème local réduit avec la base réduite complétée. La convergence au sens du problème réduit défini alors le critère d’arrêt local :

Algorithme général d’une stratégie de résolution pour le post-flambement local : PBAMR-DD

L’Algorithme 5 présente l’implémentation qui a été retenue pour la validation de la stratégie de combinaison. ligne 1, la fonction RBInit initialise les bases réduites locales selon le principe du flambement localisé au sens du découpage en sous-domaine. La version RBInit-nonlocal peut permettre d’initialiser les bases réduites locales pour du flambement à interfaces non fixes.
Pour chaque incrément, les itérations globales sont réalisées tant que le critère de convergence de l’erreur globale n’est pas vérifié ligne 2. Le critère de complétion global est évalué ligne 3. La résolution du problème condensé à l’interface est conditionnée par le critère de complétion d’interface ligne 4. Aprés résolution, réduite ou enrichie de la complétion de la base réduite d’interface, l’étape de localisation non-linéaire par sous-domaine ligne 5 est choisie du type adaptivité locale simple. Selon la vérification du critère de complétion local ligne 6, une itération enrichie de la complétion de la base réduite locale est résolue. ligne 7, les itérations de localisation non-linéaire réduite sont ensuite réalisées jusqu’à convergence dans le sous-espace réduit.