Statistique mathématique

Rappels de probabilités

On commence par des rappels des résultats probabilistes essentiels à la compréhension des méthodes développées dans les chapitres suivants.

Rappels sur la théorie de la mesure

Mesures Une mesure est une fonction positive de l’ensemble (tribu) des événements A d’un espace mesurable (Ω,A). •Tribus Dans toute la suite nous adoptons les notations standards : – Ω est un ensemble (ﬁni ou inﬁni). – P(Ω) est l’ensemble de tous les sous-ensembles (parties) de Ω.
Rappel 1 (Dénombrabilité) Soit E un ensemble. E est dit dénombrable s’il existe une bijection entre E et N ou un sous-ensemble de N. Par exemple, un ensemble ﬁni, Z, D, Z×Z, Q sont dénombrables. En revanche, R n’est pas dénombrable.
Déﬁnition 1.1.1 Soit une famille F de parties de Ω (donc F ⊂ P(Ω)). On dit que F est une algèbre si : – Ω ∈F ; – lorsque A∈F alors le complémentaire Ac = A = (Ω\A) appartient à F; – pour tout n∈ N∗, lorsque (A1,··· ,An) ∈Fn alors la réunion A1∪···∪An ∈ F. 7
8 CHAPITRE 1. RAPPELS DE PROBABILITÉS
Déﬁnition 1.1.2 Soit une famille A de parties de Ω (donc A ⊂ P(Ω)). On dit que A est une tribu (ou σ-algèbre) sur Ω si : – Ω ∈A; – lorsque A ∈A alors Ac ∈A; – pour I ⊂ N, lorsque (Ai)i∈I ∈AI alorsSi∈I Ai ∈A. Tout sous ensemble A de Ω élément de la tribu A est appelé un événement. Propriété 1 Avec les notations précédentes : 1. ∅∈A; 2. si A et B sont dans la tribu A, alors A∩B est dans A; 3. si A1 et A2 sont deux tribus sur Ω, alors A1∩A2 est une tribu sur Ω . Plus généralement, pour I ⊂ N, si (Ai)i∈I ensemble de tribus sur Ω, alorsTi∈I Ai est une tribu sur Ω; 4. si A1 et A2 sont deux tribus sur Ω, alors A1 ∪A2 n’est pas forcément une tribu sur Ω. Déﬁnition 1.1.3 Si E est une famille de parties de Ω (donc E ⊂P(Ω)), alors on appelle tribu engendrée par E, notée σ(E), la tribu engendrée par l’intersection de toutes les tribus contenant E (on peut faire la même chose avec des algèbres). La tribu engendrée est la “plus petite” tribu (au sens de l’inclusion) contenant la famille E. Rappel 2 (Topologie) – Un ensemble ouvert U dans un espace métrique X (muni d’une distance d) est tel que pour tout x ∈ U, il existe r > 0 tel que B(x,r) ⊂ U ou B(x,r) = {y ∈ X; d(x,y) < r}. – On dit qu’un ensemble dans un espace métrique X est fermé si son complémentaire dans X est ouvert. Une tribu naturelle est celle engendrée par les ensembles ouverts (et donc fermés) : Déﬁnition 1.1.4 Soit Ω un espace métrique. On appelle tribu borélienne sur Ω, notée, B(Ω), la tribu engendrée par les ouverts de Ω. Un ensemble de B(Ω) est appelé borélien.
•Espace mesurable Lorsque Ω est un ensemble et A une tribu sur Ω onditque (Ω,A) est un espace mesurable. Quand on s’intéressera aux probabilités, on dira de même que (Ω,A) est un espace probabilisable.