STABILISATION NON LINEAIRE DE SYSTEMES ELASTODYNAMIQUES COUPLES

STABILISATION NON LINEAIRE DE SYSTEMES ELASTODYNAMIQUES COUPLES

Problèmatique

 Soit H un espace de Hilbert et A un opérateur sur H. On considère l’équation d’évolution    du dt + Au = 0 dans H, t ≥ 0, u(0) = u0. (1.1) avec u0 une donnée initiale. On suppose que A vérifie les conditions d’existence et d’unicité de solution de (1.1). Pour la solution u, on associe une énergie E(u, t) = E(t) = 1 2 kuk 2 H. Cette énergie peut ˆetre constante mais pour la plupart des systèmes, elle est décroissante. Dans ce cas , on cherche à stabiliser le système en y rajoutant un feedback (ou rétroaction) qui fait revenir des sorties dans le système comme variables. L’objectif étant d’amortir rapidement le système, quelque soit son état d’origine Soit Ω un ouvert borné de R n , de frontière ∂Ω régulière, un corps élastique, homogène et isotrope occupant Ω. Soit u(x, t) = 10 (u1(x, t), ….., un(x, t)) le vecteur déplacement. On considère l’opérateur de Lamé ∆eu = µ∆u + (λ + µ)∇div u o`u 0 désigne la dérivée par rapport au temps. Les coefficients de Lamé λ et µ vérifient µ > 0 et nλ + (n + 1)µ > 0, ∆, ∇ et div représentent les opérateurs suivants laplacien, gradient et la divergence. On considère l’équation élastodynamique (sans force extérieure) u 00(x, t) − ∆eu(x, t) = 0 (1.2) Dans cette thèse, on étudie la stabilisation de systèmes obtenus par couplage de (1.2) avec une équation de la chaleur puis avec une équation des ondes, avec des feedbacks qui seront pour la plupart non linéaires. 

Couplage avec équation de la chaleur 

Soit le système    u 00 − ∆eu + α∇θ = 0 dans = Ω × R +, θ 0 − ∆θ + βdiv u 0 = 0 dans Ω × R +, u(·, 0) = u0, u0 (·, 0) = u1 θ(·, 0) = θ0 dans Ω, (1.3) α et β étant strictement positifs. L’énergie associée à (1.3) peut ˆetre définie par E(t) = 1 2 Z Ω n |u 0 (x, t)| 2 + µ|∇u(x, t)| 2 + (λ + µ)|div u(x, t)| 2 o dx. 11 La notation utilisée est la suivante : |∇u(x, t)| 2 = Xn i,j=1 | ∂ui ∂xj | 2 . Avec les conditions aux limites u = 0, θ = 0 sur ∂Ω × R +, (1.4) on a E 0 (t) = − α β Z Ω |∇θ(x, t)| 2 dx. L’énergie est décroissante et en plus elle tend vers 0 ([12]). Cependant, la convergence uniforme vers 0 dépend de la nature de Ω ([20]). Pour assurer la convergence uniforme, Liu ([21]) a introduit un feedback linéaire prenant en compte la composante élastique u et agissant sur une partie de la frontière. Précisément, il remplace (1.4) par u = 0, sur ∂Ω1 × R + µ ∂u ∂ν + (λ + µ)div uν + a(m · ν)u + m · νu0 = 0 sur ∂Ω2 × R +, θ = 0 sur ∂Ω × R +, (1.5) avec m(x) = x − x0; x ∈ R n (x0 ∈ R n fixé), ∂Ω1 = {x ∈ ∂Ω : m(x) · ν(x) ≤ 0}, (1.6) ∂Ω2 = {x ∈ ∂Ω : m(x) · ν(x) > 0}, (1.7) et a une fonction régulière. Par ces conditions aux limites, Liu a établi une décroissance exponentielle de l’énergie , c’est à dire l’existence de deux constantes positives K et w telles que E(t) ≤ KE(0)e −wt . Il est à noter que, avec les conditions (1.4), il a un terme additionnel 1 2 Z ∂Ω2 am · ν|u| 2 dσdt 12 dans l’expression de l’énergie. Dans ([20]), les auteurs LEBEAU G. ; ZUAZUA E., ont étudié le cas de feedback frontière non linéaire u = 0, sur ∂Ω1 × R + µ ∂u ∂ν + (λ + µ)div uν + a(m · ν)u + m · νg(u 0 ) = 0 sur ∂Ω2 × R +, θ = 0 sur ∂Ω × R +,(1.8) et ont établi des décroissances exponentielles et polynomiales pour certaines non linéarités de g et avec des hypothèses sur la fonction a. Leur technique combine les multiplicateurs et la méthode de Lyaponov. Dans ([13]), les auteurs HEMINNA A.,NICAISE S.,SENE A., ont obtenu les mˆemes types de résultats avec le cas anisotropique. D’autres travaux plus récents ont eu lieu pour le mˆeme type de système mais de type III, c’est à dire avec l’introduction du flux de chaleur q, en plus de u et de θ ( [26],[36]…) Dans cette thèse, nous nous intéressons d’abord au cas de feedbacks non linéaires front`ıeres et internes ( avec une classe de non linéarité plus large). Ensuite, toujours avec le couplage avec équation de la chaleur, nous allons étudier le cas d’un feedback frontière linéaire avec mémoire. Concernant ces types de feedbacks, des modèles existent dans la littérature. On peut citer entre autre [2, 27, 31] . Dans [2, 27], les auteurs ont étudié la condition aux limites u = 0 sur ∂Ω × R + et, u(t)+Z t 0 k(t−s)[µ ∂u(s) ∂ν u(s)+(λ+µ)div u(s)ν]ds+au0 (t) = 0 sur∂Ω2×R +. Nous nous sommes intéressés à des feedbacks du type µ ∂u ∂ν +(λ+µ)div (u)ν+am·νu+ Z t 0 k(t−s)u 0 ds+m·νu0 = 0 sur ∂Ω2×R + 13 Les résultats de cette partie sont à paraˆıtre dans ([4]). 

 Couplage avec équation hyperbolique 

Dans les réferences ([9]) et ([10]) les auteurs se sont intéressés aux systèmes    u 00 − ∆eu + β∇θ = 0 dans Ω × R +, θ 00 − α∆ + βdiv u + γθ + rθ0 = 0 dans Ω × R +, u(·, 0) = u0, u0 (·, 0) = u1 θ(·, 0) = θ0 dans Ω, (1.9) (r une constante positive) avec les conditions aux limites u = 0, sur ∂Ω × R +, Bθ = 0 sur ∂Ω × R +, (1.10) o`u Bθ = θ ou ∂θ ∂ν . Ils ont pu établir, pour de faibles valeurs de β, la convergence uniforme vers 0 de l’énergie associée . Nous nous sommes intéressés au cas de conditions aux limites u = 0, sur ∂Ω1 × R + µ ∂u ∂ν + (λ + µ)div u.ν + bθν + g(u 0 ) = 0 sur ∂Ω2 × R +, θ = 0 sur ∂Ω × R + (1.11) avec g une fonction non linéaire. 1.2 Organisation du manuscrit et résultats La suite du mémoire comporte quatre chapitres. Dans le Chapitre 2, nous donnons d’abord des généralités sur les équations d’évolution dans les espaces de Hilbert, les techniques 14 de semi groupes. Ensuite nous rappelons une méthode due à ([30]) qui permet l’étude des feedbacks non linéaires par des techniques de linéarisation. Au Chapitre 3, nous avons étudié le comportement asymptotique de la solution du système    u 00 − µ∆u − (λ + µ)∇div u + α∇θ + f(u 0 ) = 0 dans Ω × R +, θ 0 − ∆θ + βdivu0 = 0 dans Ω × R +, θ = 0 sur ∂Ω × R +, u = 0 sur ∂Ω1 × R +, µ ∂u ∂ν + (λ + µ)div uν + a(m · ν)u + m · νg(u 0 ) = 0 sur ∂Ω2 × R +, u(·, 0) = u0, u0 (·, 0) = u1 θ(·, 0) = θ0 dans Ω, et établi, avec des hypothèses géométriques classiques, des types de décroissance pour des fonctions f et g vérifiant |f(x)| ≤  C[1 + |x| n+2 n−2 ] si n ≥ 3, C[1 + |x| σ 0 ] si n ≤ 2, (1.12) , |g(x)| ≤  C[1 + |x| n n−2 ] si n ≥ 3, C[1 + |x| σ ] si n ≤ 2. (1.13) et les inégalités g(x) · x ≥ l|x| 2 ∀x ∈ R n |x| ≥ 1, |x| 2 + |g(x)| 2 ≤ G(g(x) · x) ∀x ∈ R n |x| ≤ 1, |x| 2 + |f(x)| 2 ≤ G(f(x) · x) ∀x ∈ R n |x| ≤ 1, o`u l est une constante positive et G une fonction concave définie sur R+ telle que G(0) = 0. ( Voir Théorème 3.3.1). 15 Remarquons que cette classe de non linéarité est plus large que celle de ([20]). Aussi dans le cas o`u f = 0, et g 6= 0, on peut retrouver le Théorème 2.2 de ([20]). Les résultats de ce chapitre sont publiés dans ([3]) Le Chapitre 4 est consacré à l’étude du mˆeme système mais avec un feedback de type mémoire, c’est à dire avec des conditions aux limites du type    u = 0 sur ∂Ω1 × R +, µ ∂u ∂ν + (λ + µ)div (u)ν + am · νu + R t 0 k(t − s)u 0ds + m · νu0 = 0 sur ∂Ω2 × R +, u(·, 0) = u0, u0 (·, 0) = u1, θ(·, 0) = θ0 dans Ω. (1.14) avec k un noyau vérifiant des propriétés classiques. Pour ce type de feedback, nous avons pu établir une décroissance exponentielle de l’énergie associée. En fin, au Chapitre 5, nous considérons au cas de couplage avec une équation des ondes suivante    u 00 − µ∆u − (λ + µ)∇divu − b∇θ = 0 dans Ω × R +, θ 00 − ∆θ + γθ + θ 0 + b divu = 0 dans Ω × R +, ∂θ ∂ν = 0 sur ∂Ω × R +, u = 0 sur ∂Ω1 × R +, µ ∂u ∂ν + (λ + µ)divu.ν + bθν + g(u 0 ) = 0 sur ∂Ω2 × R +, u(., 0) = u0, u0 (., 0) = u1, θ(., 0) = θ0, θ0 (., 0) = θ1 dans Ω. (1.15) Pour ce système, nous avons pu montrer, par des inégalités intégrales appropriées, une décroissance exponentielle de l’énergie pour de 16 faible valeur du paramètre de couplage b.

Problèmes d’évolution

Soit H un espace de Hilbert, h,i le produit scalaire et k.k la norme associée. 

Opérateurs maximaux monotones

 Définition 2.1.1 Un opérateur non borné dans H est la donnée d’un couple (D(A), A) o`u D(A) est un sous espace vectoriel de H et A une application linéaire de D(A) dans H . Le sous espace D(A) est appelé domaine de A. Dans la suite, on écrira A pour désigner (D(A), A) Définition 2.1.2 (i) On dit que A est monotone si pour tout x ∈ D(A), hAx, xi ≥ 0. (ii) On dit que A est maximal si Im(I + A) = H. Le point (ii) peut se reécrire de la manière suivante . ∀y ∈ H, ∃x ∈ D(A), tel que x + Ax = y. 18 Définition 2.1.3 On dit qu’un opérateur non borné A est fermé si {(x, Ax) ∈ H × H, x ∈ D(A)} est fermé dans H × H. C’est à dire que si une suite xn de D(A) vérifie xn → x dans H et Axn → y dans H alors, x ∈ D(A) et y = Ax. Proposition 2.1.1 Si A est maximal monotone alors : (i) D(A)est dense dans H. (ii) A est fermé. iii) Pour tout λ > 0, I + λA est bijectif de D(A) sur H et (I + λA) −1 est continu sur H et on a ||(I + λA) −1 ||L(H) ≤ 1. 

Semi groupes 

 Définition 2.1.4 On appelle semi groupe de contraction sur H une famille d’opérateurs linéaires continues (S(t))t≥0 dans H vérifiant : 1. ||S(t)|| ≤ 1, 2. S(t + s) = S(t)S(s) = S(t)oS(s) ∀t, s ≥ 0, 3. S(0) = I, 4. lim t→0+ S(t)u = u ∀u ∈ H. Définition 2.1.5 Si (S(t))t≥0 est un semi groupe de contraction dans u ∈ H, l’opérateur non borné (D(A), A) défini par : D(A) =  u ∈ H : lim h→0+ S(h)u − u h existe dans H  et  Au = lim h→0+ S(h)u − u h ∀u ∈ D(A)  . est appelé générateur infinitésimal du semi groupe (S(t))t≥0. Proposition 2.1.2 Soit (D(A), A) un opérateur non borné dans un espace de Hilbert H. Les propriétés suivantes sont équivalentes 1. (D(A), A) est maximal monotone. 19 2. (D(A), −A) est le générateur infinitésimal d’un semi groupe de contraction. Proposition 2.1.3 Soit S(t)t≥0 un semi groupe sur H de générateur A. Alors : (i) D(A) est dense dans H, (ii) A est fermé (iii) ∀x ∈ D(A), S(.)x ∈ C([0, +∞[, D(A)) ∩ C1 ([0, +∞[, H) et on a d dtS(t)x = AS(t)x = S(t)Ax, ∀t ≥ 0. 2.1.3 Equation abstraite On considère maintenant le problème d’évolution    du dt + Au = 0 dans H, t ≥ 0, u(0) = u0. (2.1) Définition 2.1.6 Soit u0 ∈ D(A). Une solution classique de (2.1) est une fonction u ∈ C([0, +∞[, H) vérifiant 1) u(0) = u0, 2) u(t) ∈ D(A) ∀t > 0, 3) u différentiable dans H, 4) du(t) dt + Au(t) = 0 ∀t > 0. Théorème 2.1.1 Soit A un opérateur maximal monotone sur H. Alors pour tout u0 ∈ D(A), il existe une unique fonction u ∈ C1 ([0, +∞[, H) T C([0, +∞[, D(A)) solution de (2.1). Remarque 2.1.1 Si (S(t))t≥0 est un semi groupe de contraction et u ∈ H, S(.)u ∈ C([0, +∞[, H). La solution classique ( ou forte) de (2.1) s’écrit alors u(t) = S(t)u0. Si la donnée initiale est dans H mais pas dans D(A) nous allons définir une notion de solution (faible) 20 Proposition 2.1.4 Soit (D(A), A) un opérateur maximal monotone dans H, (S(t))t≥0 le semi groupe généré par −A. Pour u0 ∈ H, on pose u(t) = S(t)u0. Alors il existe un espace de Banach Y et un opérateur non borné (D(B), B) dans Y tel que : H est un sous espace dense de Y D(B) = H et By = Ay pour tout y ∈ D(A) (D(B), B) est maximal monotone dans Y , Si (R(t))t≥0 est le semi groupe généré par (D(B), B) dans Y , alors S(t)u0 = R(t)u0, u est différentiable dans Y et du(t) dt +Bu(t) = 0 dans Y . Définition 2.1.7 Pour u0 ∈ H, la fonction u(t) = S(t)u0 est appelée solution faible de (2.1). Pour le cas des équations linéaires non homogènes du type    du dt + Au = f(t) dans t ≥ 0 u(0) = u0, (2.2) nous avons le résultat suivant : Proposition 2.1.5 Si u0 ∈ D(A), f ∈ C([0, +∞[, D(A)), alors (2.2) admet une solution u ∈ C([0, +∞[, D(A)) T C 1 ([0, +∞[, H) et u(t) = S(t)u0 + Z t 0 S(t − s)f(s)ds. Si u0 ∈ D(A) et f ∈ L 1 (0, +∞; D(A)) alors (2.2) admet une solution unique u ∈ C(0, +∞, D(A)) T C 1 (0, +∞, H) et ||u(t)||D(A) ≤ ||u0||D(A) + Z T 0 ||f(s)||D(A)ds ||du(t) dt ||H ≤ ||u0||D(A) + Z t 0 ||f(s)||D(A)ds 21 Considérons maintenant le cas semi linéaire ( du dt + Au = F(u) , t ≥ 0 u(0) = u0. (2.3) Proposition 2.1.6 On suppose que A est maximal monotone et qu’il existe une constante L telle que kF(u) − F(v)k ≤ Lku − vk. Alors, si u0 ∈ H (2.3) admet une solution u ∈ C([0, +∞[, H) vérifiant u(t) = S(t)u0 + Z t 0 S(t − s)F(u(s))ds. 2.2 Contrôlabilité exacte Dans ce paragraphe, on rappelle brièvement quelques techniques de stabilisation avec feedbacks nonlinéaires. Pour plus de détails, voir [14],[30]. Soient H, V deux espaces de Hilbert séparables munis des produits scalaires (., .)H, (., .)V et tels que V soit dense dans H avec injection continue. On identifie H avec son dual H0 et on a le diagramme suivant : V ,→ H = H0 ,→ V0 . Considérons un opérateur linéaire non borné A1 de V dans V 0 et une forme (non linéaire) B de V dans V 0 . On définit deux opérateurs (non linéaires) A+ et A− de la manière suivante : D(A ±) = {v ∈ V|(±A1 + B)v ∈ H}, (2.4) A ±v = (±A1 + B)v, ∀v ∈ D(A ±). (2.5) 22 On fera les hypothèses suivantes : A + est maximal monotone, (2.6) A − est maximal monotone, (2.7) D(A +) est dense H, (2.8) D(A −) est dense H, (2.9) hA1u, ui = 0, ∀u ∈ V, (2.10) hBu, ui ≥ 0, ∀u ∈ V, (2.11) o`u h., .i désigne le crochet de dualité entre V 0 et V. En utilisant les semi groupes non linéaires [39], on montre que l’équation d’évolution    du dt + A1u + Bu = 0 dans H, t ≥ 0, u(0) = u0, (2.12) a une solution unique (faible) u ∈ C(R+, H) pour tout u0 ∈ H. Si de plus u0 ∈ D(A), le problème (2.12) admet une unique solution (forte) u ∈ W1,∞(R+, H) ∩ L ∞(R+, D(A)) et telle que u(t) ∈ D(A), pour tout t ≥ 0. L’énergie du système, définie par E(t) = 1 2 ||u(t)||2 H, (2.13) est décroissante et pour tout u0 ∈ D(A), on a E(S) − E(T) = Z T S hBu(t), u(t)i dt, (2.14) pour tout S, T tels que 0 ≤ S < T < ∞. Ce résultat est encore valable pour A− (avec la mˆeme expression pour l’énergie et la mˆeme identité (2.14) pour u0 ∈ D(A−)). On introduit la notion (inégalité intégrale) suivante : Définition 2.2.1 On dit que le couple (A1, B) vérifie l’estimation de stabilité s’il existe T > 0 et deux constantes positives C1, C2 (qui 23 dépendent de T) avec C1 < T telles que Z T 0 E(t) dt ≤ C1E(0) + C2 Z T 0 hBu(t), u(t)i dt, (2.15) pour toute solution u de (2.12). Cette définition est équivalente à la suivante : Lemme 2.2.1 Le couple (A1, B) vérifie l’estimation de stabilité si et seulement si il existe T > 0 et une constante positive C (qui dépend de T) telle que E(T) ≤ C Z T 0 hBu(t), u(t)i dt, (2.16) pour toute solution u de (2.12). Preuve : Supposons que le couple (A1, B) vérifie l’estimation de stabilité Comme E(t) est décroissante, l’estimation (2.15) implique TE(T) ≤ Z T 0 E(t) dt ≤ C1E(0) + C2 Z T 0 hBu(t), u(t)i dt. Par l’identité (2.14) on a TE(T) ≤ C1E(T) + (C1 + C2) Z T 0 hBu(t), u(t)i dt. Ce qui donne (2.16) en faisant le choix C = C1+C2 T −C1 . Réciproquement, si (2.15) est vérifiée, avec la monotonie de E on peut écrire Z T 0 E(t) dt ≤ TE(0). De mˆeme, avec l’identité (2.14) on a Z T 0 E(t) dt ≤ T 2 E(0) + T 2 (E(T) + Z T 0 hBu(t), u(t)i dt). 24 En utilisant (2.16) on obtient Z T 0 E(t) dt ≤ T 2 E(0) + T 2 (1 + C) Z T 0 hBu(t), u(t)i dt), qui n’est rien d’autre que (2.15). On a le théorème suivant, qui donne la décroissance de l’énergie de (2.12) : Théorème 2.2.1 Le couple (A1, B) satisfait l’estimation de stabilité si et seulement si il existe deux constantes positives M et ω telles que E(t) ≤ Me−ωtE(0), (2.17) pour toute solution u de (2.12). Preuve du Théorème 2.2.1 : Supposons que l’estimation de stabilité est vraie, c’est à dire de manière équivalente (par le lemme 2.2.1), que (2.16) est vérifié. L’identité (2.14) implique E(T) ≤ C(E(0) − E(T)). Cette estimation est équivalente à E(T) ≤ γE(0), avec γ = C 1+C tel que < 1. En appliquant cet argument sur [(m − 1)T, mT], pour m = 1, 2, · · · (ce qui est possible, le système étant invariant par translation), on obtient E(mT) ≤ γE((m − 1)T) ≤ · · · ≤ γ mE(0), m = 1, 2, · · · Par conséquent on a E(mT) ≤ e −ωmT E(0), m = 1, 2, · · · avec ω = 1 T ln 1 γ > 0. Pour un t positif quelconque, il existe m = 1, 2, · · · tel que (m − 1)T < t ≤ mT et avec la décroissance de l’énergie E, on conclut 25 que E(t) ≤ E((m − 1)T) ≤ e −ω(m−1)T E(0) ≤ 1 γ e −ωtE(0). L’implication inverse est basée sur l’identité (2.14). Par le principe de Russell, cette décroissance exponentielle permet de contrôler exactement l’équation d’évolution associée à l’opérateur −A1 avec des contrôles dans L 2 (]0, T[; U), l’espace contrôle U étant un espace de Hilbert donné contenant V avec injection continue. On note par IU l’injection de V dans U et par IU la forme identifiant U à un sous espace de V 0 , c’est à dire hIU u, vi := (IU u, IU v)U , ∀u, v ∈ V. La controlabilité exacte peut ˆetre formulée de la manière suivante : pour tout u0 ∈ H, on cherche un temps T > 0 et un contrôle J ∈ L 2 (]0, T[; U) tels que la solution u de    du dt − A1u = J dans V 0 , t ≥ 0, u(0) = u0, (2.18) vérifie u(T) = 0. (2.19) On a le théorème suivant : Théorème 2.2.2 Si les hyphothèses (2.6) à (2.11) sont vérifiées pour (A1, IU ) et si le couple (A1, IU ) vérifie l’estimation de stabilité, alors pour tout T > 0 suffisamment grand, et tout u0 ∈ H il existe un contrôle J ∈ L 2 (]0, T[; U) tel que la solution u ∈ C([0, T], H) de (2.18) vérifie (2.19). Preuve du Théorème 2.2.2 : On applique le principe de Liu[21] en résolvant le problème inverse (on remplace l’hypothèse “(A1, IU ) vérifie 2.15” par “(−A1, IU ) vérifie 2.15”). Pour p0 ∈ H, on cherche 26 K ∈ L 2 (]0, T[; U) tel que la solution p ∈ C([0, T], H) de    dp dt + A1p = K dans V 0 , t ≥ 0, p(T) = p0, (2.20) satisfasse p(0) = 0. (2.21) On choisit d’abord h0 dans H et on considère h ∈ C([0, T], H) l’unique solution de    dh dt + A1h − IU f = 0 dans H, t ≥ 0, h(T) = h0. (2.22) En appliquant le Théorème 2.2.1, on obtient E(h(t)) ≤ Me−ω(T −t) E(h0). (2.23) Ensuite on considère la fonction q ∈ C([0, T], H) solution unique de    dg dt + A1q + IU g = 0 dans H, t ≥ 0, q(0) = h(0). (2.24) On pose maintenant p = q−fh. Alors p vérifie l’équation (2.20) avec K = −IU q − IU fh. (2.25) Soit l’application Λ de H vers H définie par Λ(h0) = q(T). Avec l’estimation (2.23), on a kΛkL(H,H) = √ d (o`u d := Me−ωT ) et donc, pour tout T > 0 tel que d < 1, l’application Λ−I est inversible. Dès lors, pour tout p0 ∈ H, il existe une donnée initiale unique h0 ∈ H telle que p0 = p(T) = q(T) − h(T) = (Λ − I)fh0. (2.26) 27 On termine la preuve en montrant que K ∈ L 2 (]0, T[; U). Pour cela, on remarque qu’avec l’identité (2.14) on a E(h(T)) − E(h(0)) = Z T 0 kIU h(t)k 2 U dt, E(q(0)) − E(q(T)) = Z T 0 kIU q(t)k 2 U dt. En sommant ces deux identités et en considérant la condition initiale du problème (2.24) et la condition finale de (2.22), on obtient Z T 0 (kIU h(t)k 2 U + kIU q(t)k 2 U ) dt = E(h(T)) − E(q(T)) ≤ 1 2 kh0k 2 H. En utilisant (2.26) et le fait que (I − Λ)−1 soit borné, on arrive à l’estimation Z T 0 (kIU h(t)k 2 U + kIU q(t)k 2 U ) dt ≤ 1 2 k(I − Λ)−1 p0k 2 H ≤ 1 2(1 − √ d) 2 kp0k 2 H. (2.27) Ce qui prouve que K défini par (2.25) est dans L 2 (]0, T[; U).