Solution du problème de maintien à poste sur une semaine avec une méthode de décomposition en trois étapes

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INTRODUCTION

Le problème de maintien à poste 1.1 défini page 41 est un problème de contrôle optimal à consommation minimale avec contraintes sur le contrôle et sur l’état. Bien qu’elles soient en général diﬃciles à prendre en compte pour la résolution d’un problème de contrôle optimal, les contraintes sur l’état du problème 1.1 peuvent être traitées avec des méthodes présentées dans le chapitre précédent. En revanche, les contraintes opérationnelles sur le contrôle du problème de maintien à poste sont des contraintes implicites, puisqu’elles s’appliquent sur les instants de milieu des poussées et les demi-largeurs de ces dernières, qui sont des paramètres du profil de contrôle. Ces contraintes, appelées par la suite contraintes opérationnelles, ne peuvent pas être facilement traitées par des méthodes indirectes.

Les méthodes directes appliquées sur le problème complet se révèlent elles-aussi infruc-tueuses. En eﬀet, considérer les contraintes opérationnelles nécessite de supposer connu le nombre optimal de poussées par propulseurs. Or ce nombre optimal de poussée n’est pas connu a priori, et son calcul requiert la résolution d’un problème d’optimisation non linéaire et non convexe en nombres entiers, les variables entières étant le nombre de poussées par propulseur, pour lequel il n’existe pas de méthodes générales de résolution. Nous proposons donc une approche nouvelle qui repose sur une résolution du problème de contrôle optimal en trois étapes.

La première étape consiste en la formulation et la résolution par le Principe du Maximum d’un problème de maintien à poste simplifié pour lequel les contraintes opérationnelles ont été enlevées. Cette étape nécessite la résolution d’un problème aux deux bouts par une méthode de tir par exemple et pour lequel l’initialisation peut-être particulièrement sensible et diﬃcile. Pour contourner cette diﬃculté, une solution approchée est obtenue par une méthode de collocation directe et sert d’initialisation au problème aux deux bouts issu de l’application du Principe du Maximum. Comme les contraintes opérationnelles n’ont pas été considérées pour ce problème, le signal de commande obtenu ne satisfait généralement pas les contraintes opérationnelles. En pratique, dans le cas d’un problème de maintien

poste pour un satellite géostationnaire, le profil de contrôle optimal ne vérifie pas les contraintes opérationnelles puisque les deux propulseurs Nord et les deux propulseurs Sud

solution du problème de maintien à poste sans les contraintes opérationnelle

ont tendance à pousser ensemble respectivement. Lors de la résolution de cette première étape, le caractère tout ou rien du profil de contrôle est approché par une fonction sigmoïde continue qu’il est nécessaire de transformer en un signal tout ou rien pour obtenir des créneaux de poussée.

Le profil de contrôle issu de la première étape ne respectant pas les contraintes opération-nelles, une deuxième étape est nécessaire. Tout d’abord, le profil de contrôle continu obtenu la fin de la première étape est transformé en un profil tout ou rien à partir de valeurs seuils choisies. Deux problèmes d’optimisation sont ensuite construits dont le but est d’optimiser sous les contraintes opérationnelles les instants de milieu de poussée et les demi-largeurs de ces dernières afin d’obtenir des profils de contrôles dits équivalents à ceux obtenus à la première étape). Ces deux schémas d’équivalence correspondent respectivement à une équivalence en consommation et à une équivalence en eﬀet, mais ne sont pas nécessairement plus eﬃcaces en termes de consommation.

En eﬀet, les instants de milieu de poussées et leurs demi-largeurs obtenues à la fin de la deuxième étape sont très sensibles à la valeur seuil choisie pour transformer le profil continu de la première étape en un profil tout ou rien. C’est pourquoi, une troisième étape d’optimisation est nécessaire afin d’aﬃner ce choix et améliorer la consommation. Le profil de contrôle issu de la solution de la deuxième étape définit une succession d’arc libres et d’arcs de poussée pour chacun des propulseurs du satellite. Ainsi, le passage d’un arc au suivant peut être interprété comme une commutation entre deux sous-systèmes du système global. De la même façon, les instants d’allumage et d’extinction des propulseurs peuvent être considérés comme les instants de commutation entre les diﬀérents sous-systèmes. Pour la troisième étape, nous proposons alors d’utiliser une technique d’optimisation s’appuyant sur la théorie des systèmes à commutation pour déterminer les instants optimaux de début et de fin de poussée satisfaisant les contraintes opérationnelles.

Les solutions de la méthode de décomposition proposée sont analysées dans deux cadres de travail diﬀérents mais relativement proches. Tout d’abord, un problème de rendez-vous avec un point se déplaçant sur une orbite géostationnaire est envisagé avec un modèle képlérien. La méthode de décomposition en trois étapes de ce chapitre est ensuite au problème de maintien à poste complet.

La première étape proposée consiste en la résolution du problème de contrôle optimal simplifié associé au problème de maintien à poste pour lequel les contraintes opérationnelles ont été retirées. Ce problème de contrôle optimal est d’abord résolu par une méthode de collocation directe dont le but est d’initialiser le problème aux deux bouts issu de l’application du Principe du Maximum.

REFORMULATION DU PROBLÈME

Pour mémoire, les contraintes opérationnelles sont les suivantes la poussée est idéalement soit nulle soit non nulle et constante (il s’agit d’un profil on-oﬀ), deux propulseurs ne peuvent pas être actifs simultanément, une poussée doit avoir une durée minimale de Tl = 5 minutes, l’intervalle de temps minimal entre deux poussées d’un même propulseur est de Td = 20 minutes, l’intervalle de temps entre deux poussées de deux propulseurs diﬀérents est de Ts = 5 minutes.

Si les contraintes opérationnelles (i) à (v) liées aux propulseurs sont retirées du problème de maintien à poste 1.1 à résoudre, le contrôle peut être écrit sous la forme de fonctions continues t 7→F (t) ∈ R4, puisque le paramétrage des profils de poussée présenté en partie 1.4.2.2 a été eﬀectué dans le but d’exprimer les contraintes opérationnelles de façon plus simple et que ces dernières sont retirées du problème d’optimisation pour la première étape.

L’espace admissible au temps final doit également être déterminé. Trois cas de figure ont été choisis :

la position finale peut être laissée libre, le satellite peut être contraint de revenir au centre de la fenêtre de maintien à poste, et la trajectoire doit vérifier : x(tf ) = 0, le satellite peut être contraint de revenir au point initial et la trajectoire doit vérifier une contrainte d’état final : x(tf ) = x0. Si la première contrainte finale correspond à proprement parler à un problème de maintien à poste puisque seule la restriction de la fenêtre doit être vérifiée, les deux autres ne sont pas moins intéressantes. En eﬀet, ces contraintes s’apparentent davantage à un problème de rendez-vous, et un problème de maintien à poste peut s’interpréter comme un problème d’opérations de proximité pour un satellite chasseur autour d’une cible fictive.

– le point de maintien à poste. Ainsi, la deuxième contrainte est interprétable comme un rendez-vous avec le centre de la fenêtre tandis que la troisième est un rendez-vous avec le point initial. En pratique, seules les deux premières contraintes seront considérées par la suite.

Avec ces remarques, deux problèmes peuvent être définis. Le premier est le problème de maintien à poste à position finale libre (problème 3.1) et le deuxième est le problème de maintien à poste à état final forcé à 0 (problème 3.2). Si la position finale doit être forcée à une valeur diﬀérente de 0, un changement de variables spatial permet de se ramener au cas où la position finale est forcée à 0.

Table des matières

Remerciements vii
Nomenclature
Introduction
1 Maintien à poste d’un satellite géostationnaire
1.1 Introduction
1.2 Mécanique orbitale
1.2.1 Le mouvement képlérien
1.2.1.1 Équation du mouvement képlérien
1.2.1.2 Trajectoire képlérienne
1.2.1.3 L’orbite géostationnaire
1.2.2 Perturbations orbitales
1.3 Représentation d’état du mouvement
1.3.1 Représentation d’état cartésienne
1.3.2 Représentation d’état en éléments orbitaux
1.3.2.1 Éléments orbitaux classiques
1.3.2.2 Éléments orbitaux équinoxiaux
1.3.3 Position géographique
1.3.3.1 Expression du rayon r
1.3.3.2 Expression de la longitude
1.3.3.3 Expression de la latitude ‘
1.3.3.4 Expression du vecteur position
1.3.4 Équations d’évolution régissant le système
1.4 Problème de maintien à poste sous forme de contrôle optimal
1.4.1 Contraintes sur le problème de maintien à poste
1.4.1.1 Expression des contraintes de maintien à poste en termes
de paramètres géographiques relatifs
1.4.1.2 Expression des contraintes de maintien à poste en termes
d’éléments orbitaux relatifs
1.4.2 Modélisation du système propulsif
1.4.2.1 Moteurs à propulsion électrique
1.4.2.2 Contraintes liées à l’utilisation de la poussée faible
Description des contraintes
Expression mathématique de ces contraintes
1.4.3 Expression sous forme de contrôle optimal
1.4.3.1 Fonctionnelle de coût à minimiser
1.4.3.2 Problème de maintien à poste optimal à consommation
minimale
1.5 Contrôle optimal avec contraintes sur l’état
1.5.1 Problème de contrôle optimal de Bolza
1.5.1.1 Méthodes de résolution d’un problème de contrôle optimal
1.5.2 Méthodes directes et contraintes sur l’état
1.5.3 Méthodes indirectes et contraintes sur l’état
1.5.3.1 Les méthodes indirectes
1.5.3.2 Prise en compte des contraintes sur l’état via une méthode
de pénalisation
1.5.3.3 Extension du PMP pour les contraintes sur l’état
Définitions
Conditions nécessaires d’optimalité
Extensions particulières dans le cas où le contrôle est scalaire
1.6 Conclusion
2 Solutions optimales analytiques pour le maintien à poste hors-plan à poussée
faible
2.1 Introduction
2.2 Description du problème
2.2.1 Équations d’évolution et trajectoire
2.2.2 Problèmes à résoudre
2.3 Solutions analytiques du problème de résonance hors-plan
2.3.1 Conditions nécessaires d’optimalité
2.3.2 Trajectoire optimale
2.3.3 Conditions de transversalité
2.3.4 Étude des différents cas possibles
2.3.4.1 Calcul des angles et
Cas 1 à 4 et 9 à 12
Cas 5 à 8 et 13 à 16
2.3.4.2 Valeurs initiales du vecteur adjoint
2.3.5 Conclusion
2.4 Solution analytique du problème de maintien à poste hors-plan
2.4.1 Description du problème
2.4.2 Trajectoire avant le point de contact
2.4.2.1 Trajectoire A − B − D
2.4.2.2 Trajectoire A − C − D
2.4.2.3 Comparaison des trajectoires A − B − D et A − C − D . .
2.4.3 Étude du point de contact et du vecteur adjoint
2.4.3.1 Condition de saut
2.4.3.2 Valeur initiale du vecteur adjoint
2.4.3.3 Saut au point de contact
2.4.3.4 Conclusion
2.5 Conclusion
3 Solution du problème de maintien à poste sur une semaine avec une
méthode de décomposition en trois étapes
3.1 Introduction
3.2 Étape 1 : solution du problème de maintien à poste sans les contraintes
opérationnelles
3.2.1 Reformulation du problème
3.2.2 Initialisation du problème aux deux bouts par une méthode directe
3.2.3 Résolution du problème simplifié par une méthode indirecte .
3.2.3.1 Méthode de pénalisation
3.2.3.2 Loi de commutation
3.2.3.3 Problème aux deux bouts
3.3 Étape 2 : Imposer les contraintes opérationnelles
3.3.1 Introduction
3.3.2 Obtention d’un profil de poussée
3.3.3 Schéma d’équivalence en consommation
3.3.4 Schéma d’équivalence en effet
3.4 Étape 3 : Optimisation des instants de commutation
3.4.1 Introduction
3.4.2 Description du système à commutations considéré
3.4.3 Optimisation des instants de commutation
3.4.3.1 Position du problème
3.4.3.2 Résolution en tant que problème d’optimisation de paramètres121
3.4.4 Algorithme de résolution
3.5 Analyse des solutions
3.5.1 Application de la méthode à trois étapes pour un problème de rendezvous
simplifié
3.5.1.1 Étape 1 : problème de rendez-vous simplifié
Initialisation de la solution au moyen d’une méthode directe
Résolution du problème simplifié avec le Principe du Maximum127
3.5.1.2 Étape 2 : schémas d’équivalence pour les contraintes opérationnelles
3.5.1.3 Étape 3 : optimisation des instants de commutation
3.5.2 Application de la méthode à trois étapes pour un problème de maintien
à poste perturbé
3.5.2.1 Étape 1 : problème de maintien à poste sans les contraintes
opérationnelles
Initialisation de la solution au moyen d’une méthode directe
Résolution du problème simplifié avec le Principe du Maximum133
3.5.2.2 Étape 2 : schémas d’équivalence pour les contraintes opérationnelles
3.5.2.3 Étape 3 : optimisation des instants de commutation
3.6 Conclusion
4 Optimisation en nombres entiers pour le problème de maintien
sur un horizon court
4.1 Introduction
4.2 Transformation du problème continu en problème discret
4.2.1 Formalisation binaire des contraintes opérationnelles .
4.2.1.1 Profil de contrôle binaire
4.2.1.2 Transcription des contraintes opérationnelles
Contrainte de disjonction des poussées
Contrainte de durée minimale des poussées
Contraintes intercréneaux entre deux poussées du même propulseur
Contraintes intercréneaux entre deux propulseurs différents
4.2.1.3 Écriture sous forme matricielle
4.2.1.4 Problème de maintien à poste avec les contraintes opérationnelles
discrétisées
4.2.2 Intégration de la dynamique
4.2.2.1 Discrétisation de la matrices de transition
4.2.2.2 Schémas d’intégration numérique
4.2.2.3 Discrétisation des contraintes de maintien à poste
4.2.3 Problèmes d’optimisation en nombres entiers
4.3 Solution numérique d’un problème de maintien à poste képlérien .
4.3.1 Introduction
4.3.2 Expression du problème de maintien à poste
4.3.2.1 Contraintes opérationnelles
4.3.2.2 Contraintes de maintien à poste
4.3.3 Solution numérique
4.4 Solution numérique du problème de maintien à poste complet
4.4.1 Comparaison entre les différentes méthodes d’intégration .
4.4.2 Comparaison avec la méthode de décomposition en trois étapes
4.4.3 Effet des contraintes opérationnelles
4.5 Conclusion
5 Problème de maintien à poste résolu sur un an
5.1 Introduction
5.2 Contrainte de fin d’horizon court
5.2.1 Conditions finales sur les positions et vitesses cartésiennes relatives
5.2.1.1 Trajectoire et contraintes hors-plan
5.2.1.2 Trajectoire et contraintes dans le plan
Interprétation géométrique
5.2.2 Application dans le cas d’un modèle perturbé
5.2.2.1 Contraintes terminales
5.2.2.2 Expression en termes de positions et de vitesses géographiques188
5.2.2.3 Discrétisation des contraintes terminales
5.2.3 Problèmes de maintien à poste à résoudre
5.2.4 Contraintes de maintien à postes quadratiques
5.3 Simulations et analyse paramétrique
5.3.1 Résolution du problème dans le cas nominal choisi
5.3.2 Effet de la méthode d’intégration de la dynamique
5.3.3 Effet de la durée de l’horizon court
5.3.4 Approximation des contraintes terminales quadratiques
5.3.5 Approximation des contraintes quadratiques de maintien à poste .
5.3.6 Angles de déviation et de déflexion des propulseurs
5.3.7 Cas de panne
5.3.8 Système propulsif idéalisé
5.3.9 Conclusion
5.4 Optimisation à horizon glissant
5.4.1 Présentation de la méthode
5.4.2 Résultats
5.5 Conclusion
Conclusion
A Repères de référence
A.1 Repère inertiel géocentrique
A.2 Repère géocentrique tournant
A.3 Repère orbital local
A.4 Repère équinoxial
B Équations d’évolution
B.1 Équations d’évolution libre
B.1.1 Mouvement képlérien
B.1.1.1 Dynamique képlérienne
B.1.1.2 Dynamique képlérienne relative
B.1.2 Mouvement non képlérien
B.1.2.1 Orbites osculatrices
B.1.2.2 Équations de Lagrange
B.1.3 Équations d’évolution linéarisées
B.1.3.1 Point de linéarisation
B.1.3.2 Dérivée de l’écart du vecteur d’état à l’ordre 1
B.2 Modèle d’évolution forcée
B.2.1 Perturbations dues à la propulsion
B.2.1.1 Introduction
B.2.1.2 Propulsion chimique et propulsion électrique
B.2.2 Équations de Gauss
B.2.2.1 Perturbations de poussée
B.2.2.2 Equations de perturbation de Gauss
B.2.3 Linéarisation de la dynamique contrôlée
B.2.4 Analyse des effets de la propulsion sur les éléments orbitaux relatifs
B.2.4.1 Variation des paramètres orbitaux
B.2.4.2 Corrections à poussée forte
B.2.4.3 Corrections à poussée faible
B.3 Position géographique
B.3.1 Position géographique linéarisée
B.3.2 Dérivée de l’écart en position géographique
B.3.2.1 Notations
B.3.2.2 Calcul formel
B.3.2.3 Calcul explicite
C Calculs et conversions avec les éléments orbitaux classiques
C.1 Intégrales du mouvement képlérien
C.2 Rappels des transformations entre les anomalies
C.3 Calcul des éléments orbitaux à partir de la position et de la vitesse .
C.4 Calcul de la position et de la vitesse à partir des éléments orbitaux .
C.4.1 Expression de la position
C.4.2 Expression de la vitesse
D Conversions avec les éléments orbitaux équinoxiaux
D.1 Définition des éléments orbitaux équinoxiaux à partir des éléments orbitaux
classiques
D.2 Calcul des éléments orbitaux classiques à partir des éléments orbitaux équinoxiaux
D.3 Calcul des éléments orbitaux équinoxiaux à partir de la position et la vitesse
D.4 Calcul de la position et de la vitesse à partir des éléments orbitaux équinoxiaux268
E Méthode approchée de résolution de l’équation de Kepler
E.1 Algorithme de Newton
E.1.1 Équation de Kepler en E
E.1.2 Équation de Kepler en
E.2 Méthode de Hull
E.2.1 Avec les équations (E.1) et (E.2)
E.2.2 Avec l’équation (E.3)
E.2.3 Équation de Kepler en éléments orbitaux équinoxiaux
F Stratégies de maintien à poste existantes
F.1 Corrections à poussée forte
F.1.1 Maintien à poste hors plan
F.1.2 Maintien à poste dans le plan de l’orbite
F.1.2.1 Contrôle de l’excentricité
F.1.2.2 Contrôle de la longitude
F.1.2.3 Contrôle du rayon
F.1.3 Conclusion
F.2 Corrections à poussée faible
F.2.1 Perte d’efficacité
F.2.2 Maintien à poste hors plan
F.2.3 Maintien à poste dans le plan
F.2.4 Couplage des poussées
F.3 Valeurs numériques
G Transformation des fonctions trigonométriquesH Calcul des dérivées du problème à commutation
I Intégration des équations de Hill-Clohessy-Wiltshire
J Transformation entre les positions et vitesse cartésiennes relatives et les
positions et vitesses géographiques relatives
J.1 Position géographique
J.2 Vitesse géographique
J.3 Résumé de la transformation linéarisée
K Discrétisation des contraintes terminales pour la résolution sur un horizon
long
Bibliographie