Simulation numérique d’une source de chaleur mobile par la méthode Element-Free Galerkin

Nombreuses sont les applications dans lesquelles on retrouve des sources de chaleur mobiles. Le soudage est probablement la plus populaire de ces applications, mais le placage laser, certains procédés de fabrication additive et le traitement thermique laser en sont d’autres exemples. Pour simuler ces procédés, les ingénieurs ont la plupart du temps recours à la méthode des éléments finis (MÉF), cette méthode qui permet de résoudre des équations différentielles régissant des phénomènes physiques. Apparue au milieu du XX e siècle, le principe de la MÉF repose sur la discrétisation du domaine de calcul avec des nœuds, puis ces derniers sont reliés de manière à former des « éléments ». C’est cette combinaison de nœuds et d’éléments qui crée le « maillage ». Bien que la MÉF ait fait ses preuves pour une multitude d’applications, plusieurs inconvéniants découlent de l’utilisation d’un maillage. Entre autres, ce dernier gère difficilement les discontinuités, c’est-à-dire que les éléments doivent toujours demeurer entiers ou être retirés complètement. De plus, les éléments ne doivent pas subir de trop grandes distorsions, sans quoi les résultats en seraient affectés négativement. Il est donc parfois nécessaire de remailler tout le domaine, en cours de calcul, pour conserver la « qualité » des éléments. Finalement, la création et la gestion du maillage peuvent s’avérer des tâches fastidieuses en soi.

Ce sont ces désavantages qui ont, en majeure partie, motivé l’intérêt pour le développement de méthodes qui ne se basent pas sur un maillage comme tel. Depuis les dernières décennies, une multitude de méthodes ont émergé, comme la méthode Element-Free Galerkin (EFG). Cette dernière ne repose pas sur l’utilisation d’éléments, c’est-à-dire que les nœuds utilisés pour la discrétisation du domaine ne sont pas liés « rigidement » entre eux, mais possèdent plutôt une pondération les uns par rapport aux autres en fonction de la distance qui les séparent. Cette pondération est définie par une « fonction de pondération », sur l’ensemble d’un « domaine de support ». La méthode a déjà été appliquée aux problèmes de transfert de chaleur à plusieurs reprises.

Toutefois, la méthode EFG dépend de plusieurs paramètres, tels que la taille et la forme des domaines de support, les fonctions de pondération et la quantité de points de quadrature. L’influence de ces paramètres n’est pas bien documentée, surtout pour les problèmes tridimensionnels avec une distribution de nœuds irrégulière. Comme la précision des résultats dépend de ces paramètres, il y a un grand intérêt à bien connaître leur impact.

Source de chaleur mobile

Les sources de chaleur mobiles sont présentes dans une multitude d’applications. Les plus populaires d’entres elles sont sans doute les nombreux procédés de soudage, tels que le SMAW, le GTAW, le MIG, le soudage par friction malaxage (FSW) et le TIG, pour ne nommer que ceux-là. D’autres procédés faisant intervenir ces sources sont le procédé de placage par laser et le traitement thermique laser, dans lequel une source laser est utilisée pour effectuer une trempe locale en surface. Pour toutes ces applications, il est essentiel de connaître le cycle thermique du substrat pour être en mesure de bien contrôler le procédé. En particulier pour le soudage, la distribution de température permet, entre autres, de prédire la microstructure et les contraintes résiduelles, qui sont des indicateurs de qualité du joint soudé.

Les premiers travaux notables sur le sujet sont attribuables à Rosenthal (1941; 1946), qui a introduit le concept d’état « quasi-stationnaire ». Cet état est atteint lorsque (i) la source se déplace à une vitesse 𝑣 constante, (ii) l’intensité 𝑞 de la source demeure constante et (iii) le médium est suffisamment long et large. Dans ce cas bien précis, la distribution de température autour de la source demeurera constante au fil du temps, malgré le fait que cette dernière soit en mouvement. C’est à-dire qu’un observateur se déplaçant avec la source ne serait pas en mesure de discerner de changement dans la distribution de température autour de la source.

Méthodes des éléments finis et travaux antérieurs

Bien entendu, pour utiliser les modèles de source présentés ci-haut, une approche numérique est nécessaire. Les premiers travaux, notamment ceux de Westby (1968) et de Paley & Hibbert (1975) pour déterminer la distribution de température lors du soudage, étaient basés sur la méthode des différences finies (MDF). Cependant, cette méthode est très limitée : il est assez fastidieux de traiter de géométries complexes, particulièrement en 3D, avec la MDF. Rapidement, l’intérêt s’est plutôt tourné vers la méthode des éléments finis (MÉF). Cette dernière permet de facilement traiter de cas tridimensionnels avec des géométries plus complexes, un luxe qui n’était pas possible avec la MDF. Avec les ressources informatiques de plus en plus disponibles, des analyses plus complètes ont été rendues possibles : conditions limites (convection et rayonnement), propriétés thermiques dépendantes de la température, trajectoires de soudure complexes, etc.

De manière générale, la MÉF est une méthode qui permet de résoudre de manière discrète la formulation faible d’équations différentielles. Pour ce faire, le domaine de calcul est discrétisé avec des nœuds et ces derniers sont reliés de manière à former des éléments. Apparue dans les années 60, la méthode est maintenant très robuste et efficace, la rendant la méthode la plus couramment utilisée pour les simulations numériques. Les cas dans lesquels elle a été appliquée aux problèmes de source de chaleur mobile sont nombreux, principalement pour le soudage à l’arc. Un des premiers est l’analyse thermomécanique non linéaire d’un cas 2D transitoire de Argyris, Szimmat & William (1982) pour prédire les contraintes résiduelles dans un problème de soudage axisymétrique. Un autre cas pionnier est l’étude thermomécanique de Friedman (1975) dans laquelle il était question d’un cas 2D, mais en état quasi-stationnaire. Une autre étude 2D intéressante est celle d’Argyris, Szimmat & William (1983), dans laquelle les résultats numériques et expérimentaux ont été comparés et il a été montré que la simulation numérique du procédé permet de prédire de manière acceptable le taux de refroidissement lors du procédé .

À cette époque, le facteur limitant était la puissance de calcul, c’est pourquoi les études étaient principalement bidimensionnelles. Même pour ces cas 2D, le temps de calcul était un enjeu important. C’est pourquoi, dans le but de réduire ce temps, certains auteurs (Hamide, Massoni & Bellet, 2007; Prasad & Narayanan, 1996) ont amené l’idée d’utiliser un maillage adaptatif. C’est-à-dire un maillage qui se raffine à chaque pas de temps de manière à suivre la source de chaleur, où le gradient est le plus prononcé  . Bien que cette méthode permette de sauver du temps de calcul en réduisant le nombre de degrés de liberté, elle implique tout de même de remailler le domaine à plusieurs reprises et de calquer les résultats sur le nouveau maillage. Comme il sera présenté à la section suivante, les méthodes sans maillage sont mieux adaptées à ce raffinement local, dans le sens où elles permettent d’ajouter et de retirer des nœuds plus facilement, puisqu’il n’est pas nécessaire que ces derniers forment des éléments.