Simulation numérique des écoulements aux échelles microscopique et mésoscopique dans le procédé RTM

 Validation du couplage Stokes-Darcy

Comme indiqué en 2.2.3, le couplage Stokes-Darcy se fait en résolvant, sur tout le domaine, l’équation de Brinkman. En faisant varier la valeur de la perméabilité, nous nous retrouvons soit avec un milieu poreux soit avec une zone qui peut être considérée comme uide. Dans un premier temps, nous validons le solveur de Brinkman sur un domaine poreux seulement. Ensuite, étant donné que la zone uide lors du couplage est approximée par une zone de perméabilité très élevée, nous vérions la validité de notre approche en comparant le calcul d’un écoulement à perméabilité élevée avec une solution analytique de Stokes. Enn, nous validons le couplage en comparant la solution pour un écoulement dans un domaine contenant une zone uide et une zone poreuse, avec une solution analytique. 2.4.1 Validation du solveur de Brinkman. Pour valider le solveur de Brinkman, nous nous plaçons dans un domaine cubique de hauteur H et de longueur L et nous résolvons l’équation de Brinkman seule. Un gradient de pression est imposé entre les faces de normales x. Une condition de contact collant est imposée entre les faces de normales z et les faces de normales y sont des plans de symétrie (vitesse normale nulle). Pour une telle conguration, la solution analytique de l’équation de Brinkman est la suivante [Lec99] : vx(z) = −K ∆p L  1 − cosh  H √−z K  cosh  √ H K    (2.61) Il faut remarquer que, pour de faibles valeurs de la perméabilité, il apparaît une couche limite dont l’épaisseur diminue avec la perméabilité et qui rend la solution analytique de plus en plus raide. Cela nécessite un ranement de maillage au niveau de ces couches limites (gure 2.51). Cela peut également gêner le calcul numérique par l’apparition d’instabilités au niveau des couches limites, si celles-ci n’ont pas un maillage susamment n. La présence de ces couches limites montre bien que l’équation de Brinkman a plutôt été développée pour les milieux de perméabilité élevée, an de prendre en compte les phénomènes visqueux qui se produisent à l’interface. Lorsque la perméabilité devient très faible, l’épaisseur de la couche limite devient tellement faible qu’elle peut être négligée et l’équation de Brinkman peut tout simplement être remplacée par l’équation de Darcy. Nous rappelons toutefois que nous utilisons l’équation de Brinkman an de conserver naturellement la continuité des contraintes à l’interface uide-poreux et de faciliter le couplage numérique des deux équations. Lorsque la perméabilité devient très faible, le système est plus raide. Un moyen de pousser plus loin la convergence de la solution numérique est de jouer avec les paramètres en écrivant : −∇p˜+ ~v + K∆~v = 0 (2.62) où p˜ = K µ p. Pour les résultats de validation, nous allons nous placer dans la conguration suivante. Le domaine a les dimensions L = H = 2 mm. La viscosité de la résine est de 1 Pa ·s. 66 2.4 Validation du couplage Stokes-Darcy Figure 2.51  Écoulement de Brinkman pour k = 0.1 et un maillage avec h = 0.1 dans le domaine et h = 0.03 au niveau des frontières, constante sur une épaisseur de e = 0.1 et variant linéairement sur la même épaisseur pour atteindre la taille de maille globale. Le domaine de calcul est un cube de côtés H = L = 2. La pression d’injection est choisie à 1 bar, soit 105 Pa. Une perméabilité plus faible que 10−8 m2 est dicile à atteindre car la couche limite est dicile à capturer, ce qui nécessite un maillage très n. Nous montrons, gure 2.52, le prol de vitesse calculé numériquement et la solution analytique de l’équation de Brinkman. Nous montrons ainsi la validité du solveur de Brinkman, pour retrouver une solution d’un écoulement de Brinkman. Étant donné que nous voulons l’utiliser pour un couplage avec le solveur de Stokes, nous montrons dans la suite qu’il est possible d’utiliser le solveur de Brinkman pour retrouver une équation de Stokes, puis pour retrouver la solution d’un écoulement dans un domaine contenant à la fois un milieu poreux et un milieu purement uide.

Méthodes numériques et immersion de domaines

Vitesse (m/s) z (mm) Analytique Numerique Figure 2.52  Prol de vitesse analytique et numérique pour l’équation de Brinkman pour une perméabilité de 10−8 m2 . 2.4.2 Validation du couplage Stokes-Brinkman An de prendre en compte à la fois le milieu Stokes et le milieu poreux, tout en conservant la même équation, nous allons jouer sur le coecient de perméabilité. En eet, pour les zones de uide libre, nous souhaitons retrouver un écoulement de Stokes à partir de l’équation de Brinkman. Pour cela, il faut que le terme en vitesse s’annule, donc que le coecient µ K soit nul. Ce n’est possible que pour K tendant vers l’inni. Le problème qui se pose au niveau numérique est d’utiliser un coecient qui puisse avoir une valeur très grande an de le faire tendre vers l’inni, sur certains n÷uds du maillage et des valeurs très faibles. Typiquement une perméabilité de l’ordre de 10−15 est courante pour des renforts à taux de bres élevés, en d’autres n÷uds du maillage. Cela conduirait à un conditionnement de matrice qui rendrait dicile, voire impossible, la résolution du système linéaire. 

Utilisation du solveur de Brinkman pour un écoulement de Poiseuille

Nous faisons varier le coecient de perméabilité dans un milieu homogène pour déterminer la valeur de K à partir de laquelle nous retrouvons un écoulement de Stokes avec une précision acceptable. Nous dénissons un domaine cubique de côté 2. Nous imposons une diérence de pression entre les faces en x = 0 et x = 2. Sur les autres faces, nous laissons libre la composante x de la vitesse et nous imposons les autres composantes à la valeur nulle. Cela nous permet d’obtenir un écoulement de type Poiseuille, donné gure 2.53. Nous résolvons les équations de Brinkman, en faisant varier la valeur de la perméabilité, an de s’approcher de la solution analytique d’un écoulement de Poiseuille. Le prol de vitesse est tracé gure 2.54, le long d’une ligne verticale sur le domaine présenté gure 2.53. 2.4 Validation du couplage Stokes-Darcy Figure 2.53  Poiseuille obtenu sur le domaine 3D de validation du solveur de Brinkman. Les faces d’entrée et de sortie ont pour normale x. Les faces de normale z sont à vitesse nulle imposée. Les faces de normale y sont des plans de symétrie. Le domaine est un cube de côté 2. La taille de maille est de h = 0.1. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0 0.5 

Vitesse z Stokes

K=1 K=10 K=100 K=1e3 K=1e4 K=1e5 K=1e6 Figure 2.54  Comparaison des prols de vitesse, pour diérentes valeurs de la perméabilité, obtenus en utilisant la loi de Brinkman. La ligne nommée Stokes correspond au champ de vitesse obtenu en utilisant les équations de Stokes. Plus la valeur de K augmente, plus l’écoulement obtenu par Brinkman s’approche d’un écoulement de Poiseuille. Avec les paramètres choisis, la valeur maximale de la vitesse de Stokes est de 0.25. Nous voyons, gure 2.54, que nous obtenons un champ de vitesse relativement proche d’un écoulement de Poiseuille pour un coecient de perméabilité de 100. Pour cette perméabilité, nous obtenons un écart de 0.3% avec la solution analytique. Pour une perméabilité de 1000, l’écart relatif passe à 0.05%, puis à 0.004% pour une perméabilité de 10000. Nous pouvons ainsi donner à la perméabilité une valeur de 100 dans la zone de uide de Stokes. Cela permet de modéliser un écoulement de type Stokes en utilisant un solveur de Brinkman, avec une très bonne précision. Nous présentons, gure 2.55, la norme L2 de l’erreur en fonction de la valeur du coecient de perméabilité. Nous voyons qu’au dessus de K = 104 , la précision correspond à la précision d’un calcul de Stokes. Nous rappelons que le maillage est relativement grossier pour ces simulations. Nous pouvons donc conclure qu’une valeur de perméabilité comprise entre 100 et 10000 permet de représenter un écoulement régi par les équations de Stokes. 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 100000 1e+06 Erreur L2 sur la vitesse K Brinkman Stokes Figure 2.55  Norme L2 de l’erreur sur la vitesse, en fonction de la valeur de la perméabilité, pour une solution numérique d’un écoulement de Brinkman. La ligne en pointillé correspond à l’erreur obtenue pour un écoulement de Stokes. 2.4.2.2 Couplage Nous étudions maintenant le couplage Stokes-Darcy tel qu’il est présenté par Tan et Pillai [TP09] et Chen et Zhu[CZ08]. Le domaine est représenté schématiquement gure 2.56. Un gradient de pression est imposé entre les faces d’entrée et de sortie. La face supérieure et la face inférieure sont des parois. On impose donc que le uide ait une vitesse nulle. Étant donné que les simulations ont été faites en 3D, les deux autres faces sont des plans de symétrie. Nous pouvons comparer le champ de vitesse obtenu à son expression analytique [CZ08] : vxs = − ∆p L H2 2η  1 − y H   y H − t1  HB ≤ y ≤ H vxb = − ∆p L H2 2η  t2 sinh αy H  + 2K H2 h 1 − cosh αy H i 0 ≤ y ≤ HB (2.63) où vxs et vxb sont respectivement la vitesse dans le domaine uide et la vitesse dans le 70 2.5 Conclusion Figure 2.56  Représentation du domaine de calcul pour le couplage Stokes-Darcy grâce à la loi de Brinkman. Le domaine supérieur est un uide pur. Le domaine inférieur est un domaine poreux. Les parois supérieures et inférieures ont des conditions de non-glissement. domaine poreux et où t1 et t2 sont donnés par les expressions suivantes : t1 = − 2Kα H2 cosh(βα) − 1 sinh(βα) + α(1 − β) cosh(βα) − (1 − β) sinh(βα) sinh(βα) + α(1 − β) cosh(βα) + β t2 = − 2K H2 α(1 − β) sinh(βα) + cosh(βα) − 1 sinh(βα) + α(1 − β) cosh(βα) + (1 − β) 2 sinh(βα) + α(1 − β) cosh(βα) et avec α = H/√ K et β = HB/H. La gure 2.57 montre les prols de vitesse pour le couplage Stokes-Brinkman. Les paramètres sont les suivants : une diérence de pression imposée de 2, une viscosité de 1 et une perméabilité de 10−3 pour le milieu poreux et de 100 pour la partie uide pur. Nous avons fait varier l’épaisseur de la zone de transition de la perméabilité de 2h, 4h et 10h avec une taille de maille au niveau de l’interface de h = 0.005 et une taille de maille de fond de h = 0.1. Cette première étude du couplage StokesBrinkman nous montre la validité de notre méthode. Il serait bien entendu nécessaire pour une étude ultérieure, de pousser plus loin la validation, en étudiant l’eet de la taille de maille dans la zone de transition, ainsi que d’étudier la norme de l’erreur en fonction de la taille de maille, pour donner une meilleure estimation de la précision du solveur. Cependant, de ces premiers résultats, nous pouvons déduire que l’épaisseur de la zone de mélange pour la perméabilité doit être la plus ne possible et que le maillage doit également être rané dans cette zone. 2.5 Conclusion Dans ce chapitre, nous avons présenté les diérentes méthodes numériques utilisées pour la résolution des écoulements. Dans un premier temps, nous avons présenté la méthode d’immersion de domaines. Elle consiste à représenter les interfaces dans le domaine de calcul eulérien en utilisant des fonctions distance qui nous permettent de calculer un champ pour les grandeurs physiques, comme la viscosité, dans le domaine de calcul global. Les zones solides sont prises en compte comme étant des uides susamment visqueux pour qu’ils ne soient pas déformables. Nous avons présenté la méthode d’adaptation de maillages utilisée pour obtenir une meilleure représentation de l’interface. Cette méthode nous permet de dénir une métrique 

Vitesse y Analytique

2h 4h 10h Figure 2.57  Prol de vitesse obtenu pour le couplage Stokes-Brinkman pour diérentes épaisseur de mélange de la perméabilité. en chaque n÷ud du domaine, en utilisant la fonction distance à l’objet sur lequel nous souhaitons adapter le maillage. L’utilisation du gradient de cette distance nous permet de dénir des directions particulières, sur lesquelles le maillage est plus n. Nous obtenons, grâce à cette méthode, un maillage anisotrope. Ainsi, la discrétisation est aussi précise qu’avec un maillage isotrope adapté et le nombre de n÷uds est beaucoup plus faible. Enn, nous avons présenté la technique d’immersion de maillage, qui est un cas particulier de la méthode d’immersion de domaines pour lequel, au lieu d’utiliser une fonction analytique pour l’interface entre les domaines, nous utilisons un maillage. La combinaison de ces méthodes nous permet de simuler les écoulements dans des géométries complexes, comme c’est le cas lorsque nous simulons l’imprégnation d’un renfort. Dans un second temps, nous présentons la méthode des éléments nis mixtes utilisée pour calculer les écoulements. La prise en compte des diérentes phases se fait en utilisant des champs variables dans l’espace, pour les grandeurs physiques des uides. Le choix du MINI-élément implique que les paramètres de stabilisation soient automatiquement calculés en fonction des paramètres à résoudre et du maillage. Ainsi, l’utilisation de cette méthode dans le cadre de la méthode d’immersion de domaines a nécessité quelques adaptations au niveau de la stabilisation de la formulation. Ces adaptations ont principalement consisté à modier le paramètre de viscosité pour la fonction bulle. Deux choix de champs de viscosité utilisés dans le terme de bulle de la formulation sont donc présentés et nous montrons la validité de ces modications dans la résolution d’un écoulement dans le cadre de la méthode d’immersion de domaines. Nous présentons ensuite la formulation éléments nis mixte utilisée pour la résolution de l’équation de Brinkma.