Simulation numérique de la source plasma filaire

Simulation numérique de la source plasma filaire

 Discrétisation temporelle

Une fois déterminé un maillage tel que le pas de maille soit inférieur `a la longueur de Debye (condition 2.50), il convient (c. f. section 2.2.2) de choisir un pas de temps tel que d’une part une particule ne traverse pas plus d’une maille au cours d’un pas de temps (condition (2.51)),

et d’autre part l’inverse de la fréquence plasma soit supérieure au pas de temps (condition (2.49). La premi`ere de ces conditions, conjuguée `a la limitation du pas de maille introduite au paragraphe précédent, impose une forte restriction du pas de temps ∆t.

Cette li mitation du pas de temps est d’autant plus forte que les électrons les plus rapides se trouvent proches du fil, c’est `a dire dans la zone o` u le maillage est le plus raffiné. Pour une tension de décharge Vd, un électron émis ` a la cathode et passant proche du fil sans avoir subi de collision inélastique poss` ede une énergie cinétique voisine de eVd.

Le pas de maille ∆r ` a l’anode étant égal `a 20 µm, le pas de temps est tel que ∆t < ∆r 2eVd me , (5.3) soit ∆t ≤ 10−12 s pour une tension de décharge Vd = 1000 V. L’utilisation d’un pas de temps de l’ordre de la pico-seconde permet par ailleurs de satisfaire sans difficulté `a la condition (2.49), puisque la fréquence plasma fp = 1 2π nee2 ε0m (5.4) est de l’ordre de 107 Hz pour une densité électronique attendue de ne ∼ 1013 m−3.

Une estimation basse du temps d’établissement de la décharge, donc de la durée ` a simuler, peut ˆ etre obtenue en calculant le temps td nécessaire `a un ion généré proche de l’anode pour dériver dans le champ laplacien sans collision jusqu’` a la cathode. Pour une mˆeme tension de décharge Vd = 1000 V et un ion d’hélium He+, une résolution numérique m`ene `a tdHe+ = 1.3 ×10−7 s. (5.5) Le temps nécessaire ` a l’établissement d’une décharge stable étant au minimum de quelques tdHe+, on obtient une durée ` a simuler de l’ordre de la micro seconde.

En reprenant le pas de temps ∆t =1 ps (5.6) imposé par la condition (5.3) pour une tension de décharge Vd de l’ordre du millier de Volts, la simulation d’une micro seconde est équivalente ` a un nombre d’itérations temporelles Nt ∼106. (5.7) En considérant le nombre de superparticules utilisées pour modéliser chacune des po pulations, un tel nombre d’itérations temporelles équivaut `a environ 1011 avancements de particule par esp`ece au cours de la simulation.

Remarque 5.1. On comprend ici l’importance de limiter le nombre de mailles du maillage au minimum permettant une reproduction fid`ele des phénom`enes physiques. En effet, outre le fait qu’une augmentation de la taille du maillage se traduise par un coˆut de calcul correspondant `a la résolution des équations de champ plus important, un maillage plus important induit également une augmentation proportionnelle du nombre de superparticules, et donc du nombre d’avancements de particules nécessaires.

Conditions aux limites

Le jeu de conditions aux limites devant ˆ etre définies en vue de la simulation de la décharge peut ˆetre décomposé en deux catégories : les conditions aux limites pour le champ électrique et les conditions aux limites pour les particules  Conditions aux limites pour le champ électrique Les conditions aux limites pour le champ électrique aux fronti` eres du domaine, présentées figure 5.2(a), sont les suivantes :– condition de Neumann non homog`ene sur l’anode filaire : ∂φ ∂r = σs ε0 sur le segment défini par r = Ra et z ∈ [0,L].

– condition de Dirichlet sur la cathode : φ =0 sur le segment défini par r = Rc et z ∈ [0,L].– condition de Dirichlet sur les plaques de bout : φ =0 sur les segments définis par r ∈ [Rend,Rc] et z = {0,L}. (5.8) (5.9) (5.10)– condition de Dirichlet avec potentiel électrique non nul sur la fronti` ere correspon dant aux per¸cages des plaques de bout :

φ =φ0(r) sur les segments définis par r ∈ [Ra,Rend] et z = {0,L} (5.11) o`u φ0(r) est déterminé en interpolant le potentiel électrostatique obtenu en ré solvant l’équation de Laplace sur un domaine étendu (voir figure 5.2(b)). La dé marche consistant ` a utiliser la solution numérique obtenue sur un domaine plus étendu permet de modéliser les effets de bord au voisinage des plaques de bout