Simulation de l’emboutissage à froid par une méthode asymptotique numérique

La réalisation par emboutissage, des pièces à parois minces, est couramment effectuée dans différents secteurs industriels, notamment en construction automobile. L’emboutissage est un procédé de mise en forme qui consiste à transforrner une tôle fine plane en une forme non développable, au moyen de presses mécaniques ou hydrauliques. Ces dernières années, pour satisfaire les besoins des industriels, en terme de qualité et de compétitivité, de nombreux travaux ont été consacrés à la simulation numérique de ce procédé afin d’optimiser et d’assurer la faisabilité des produits.

La résolution numérique d’un problème de mise en forme consiste à déterminer les différentes configurations de la structure au cours de ses déformations, en tenant compte des conditions évolutives de contact ICNRS/I990]. Les méthodes de résolution les plus connues actuellement et les plus largement implémentées dans les codes de calcul par éléments finis sont les méthodes itératives basées sur le processus de prédiction-correction. Ces méthodes procèdent en deux étapes ; la première consiste à linéariser le problème non linéaire de départ et donc à prédire une nouvelle solution, tandis que la deuxième étape consiste à corriger le résidu d’équilibre global de la structure par itérations successives. Une bibliographie importante sur ces méthodes est disponible dans tous les livres d’éléments finis traitant les problèmes non linéaires lZienkiewicz et Taylor/9l1 [Crisfield/91] [Bathe/96];

Les logiciels actuels de simulation numérique utilisent le plus souvent des algorithmes de résolution de tlpe Newton-Raphson pour résoudre les problèmes nonlinéaires. Les algorithmes implémentés dans ces logiciels de simulation sont d’autant moins performants lorsque les non-linéarités s’accumulent. C’est notamment le cas de I’emboutissage pour lequel sont réunies à la fois les non-linéarités physiques (plasticité, éventuellement I’endommagement), des non-linéarités géométriques (grands déplacements, grandes rotations et grandes déformations) auxquelles il faut ajouter les non-linéarités de contact et de frottement. Pour ces raisons, la simulation numérique des procédés de mise en forme par éléments finis a pour principal inconvénient le coût de calcul élevé [Bussy et Vauchez/891.

Ces dernières années, plusieurs travaux ont été consacrés à I’amélioration de la convergence des méthodes de résolution et à I’adaptation du pas de calcul [Crisfreld//83] [Crisfield//Sl] [Ramm/8l]. L’équipe de Ladevèze travaille sur la résolution des problèmes non linéaires en utilisant des méthodes de calcul non incrémentales [Ladevèze/85] lLadevèzel91] : il s’agit d’une méthode itérative qui à chaque itération , propose une approximation des variables en tout point de la structure et sur la totalité de I’incrément.

En parallèle à ces méthodes, nous avons celles de perturbation qui existent depuis longtemps [Signorinii30]. Ces demières n’avaient pas trouvé une adhésion unanime de la part des numériciens car elles sont basées sur des développements analytiques de la solution et leurs applications étaient limitées aux problèmes à géométrie simple. Il a fallu attendre 1968 pour que Thompson et Walker [Thompson et Walker/68] présentent une première association des méthodes de perturbation et des méthodes d’éléments finis mais les conclusions quant à I’efficacité de ces méthodes n’étaient pas probantes. En 1990, dans un article consacré aux problèmes de bifurcations perturbées, Damil et Potier-Ferry ont repris ces méthodes et, grâce à un choix judicieux de la formulation de base (quadratique), ils ont pu obtenir des développements jusqu’à des ordres élevés, ce qui a permis d’améliorer la solution asymptotique en exigeant un temps raisonnable de calcul du second membre [Damil et Potier-Ferryl90l .

La méthode asymptotique numérique (M.A.N.) a été fiabilisée quelques années plus tard par B. Cochelin et ses collaborateurs (1994) en présentant un algorithme permettant de suivre complètement les branches de solution en appliquant la M.A.N. pas à pas dans une procédure de continuation. Cette technique de continuation a étê perfectionnée plus tard par Elhage Hussein et at lBlhage-hussein et atl}}l qui a proposé une technique de continuation basée sur les approximants de Padé.

La M.A.N consiste à chercher la solution d’un problème non linéaire sous forme de série entière. Elle permet de transformer le problème de départ en une succession de problèmes linéaires admettant le même opérateur de rigidité tangente. A chaque ordre, les termes non linéaires sont reportés sur un second membre obtenu de façon optimale.

La M.A.N. est alors appliquée aux problèmes présentant des non-linéarités telles que les coques élastiques en rotations modérées, ou aux indicateurs de bifurcations pour les problèmes à géométrie non linéaire pour ne citer que quelques exemples. A partir de cette avancée considérable, la M.A.N. s’est avérée être une solution alternative aux méthodes itératives classiques. De plus, pour une classe de problèmes, il est démontré que cette méthode est rapide (moins de matrices de rigidité à décomposer), fiable (automatique avec des pas adaptatifs) et facile à utiliser. On peut citer à titre d’exemples les problèmes de coques en grandes rotations [Ammar/96] [Zahrouni et all99l,la mécanique des fluides [Tri et atl96l lCadou/9l1, la viscoplasticité en grandes déformations [Brunelot/99),la plasticité lBralkatlgTl [Zahrouni et al 198f, le problème de contact [Elhage-Hussein/98] et le traitement des problèmes de dynamique [cohelin et compain/99] .

La machine à emboutir est constituée de trois éléments principaux : un poinçon, une matrice et un serre-flan. Le poinçon délimite le contour intérieur et applique la force nécessaire à la mise en forme de la tôle: force d’emboutissage. Quant à la matrice, elle délimite le contour extérieur de la pièce. Le serre-flan permet, en pressant la tôle contre la matrice, de contrôler l’écoulement du métal le long du poinçon et d’éviter le phénomène du plissement .

La méthode de formage dans ce procédé dépend du mode d’action du serre-flan. C’est un formage par expansion si la partie de la tôle située entre la matrice et le serre-flan est bloquée. Il est appelé formage par rétreint lorsque cette partie du métal a la liberté de glisser et de s’écouler pour alimenter la hauteur de la pièce. Pour contrôler le glissement de la tôle, une méthode souvent utilisée dans I’industrie, consiste à freiner latéralement la tôle à I’aide des joncs de retenue qui l’obligent à se plier et se déplier.

Intérêt d’une simulation numérique du procédé 

Les facteurs principaux dont dépend la réussite de I’opération d’emboutissage sont : le matériau de |a tôle, les paramètres de I’outillage et les conditions opératoires. Les deux premiers facteurs constituent des thèmes de recherche majeurs en emboutissage. Les propriétés mécaniques des matériaux qui influent directement sur la réussite de l’opération de l’emboutissage sont:
– La limite d’élasticité ( Re )
– La résistance à la ruPture ( Rm )
– L’allongement à la ruPture (A)
– Le coefficient d’écrouissage (n)
– Le coefficient d’anisotroPie (r) .

qui peuvent être déterminées au moyen d’un simple essai de traction.

D’autres propriétés sont souvent prises en compte pour juger I’emboutissabilité d’une tôle par exemple:
– la courbe limite de formage ( CLF) ou FDL (Forming Limit Diagram),
– le rapport limite I’emboutissage, LDR ( Limiting Drawing Ratio ),
– la profondeur maximale de Godet,
– le profondeur limite de pièce hémisphérique LDH (Limiting Dome Heith).

Il est très important à ce niveau de tenir compte du fait que ces propriétés ne sont pas constantes au cours de I’opération de la mise en forme. Ces propriétés varient en fonction des chemins de déformation, la complexité de la forme des pièces, la vitesse de déformation et de l’ augmentation de température. Après avoir déterminé le comportement du matériau, il faut caractériser I’outillage du procédé en définissant les propriétés suivantes :
– la forme et l’état de surface de I’outillage,
– les profils des outils,
– le jeu entre le poinçon et la matrice,
– la forme et la position de jonc du retenue,
– la cadence de la production,
– la pression de serre flan
– la lubrification (dans certain cas ).

De nombreux travaux ont été consacrés à l’étude des outils de I’emboutissage pour améliorer la qualité des produits et réduire les coûts de fabrication. Les outils sont réalisés en fonte pour des grandes séries ( plus de 1000000 de pièces) et en béton de résine pour les pièces prototypes ( de l’ordre de 100 pièces). Les défauts des pièces embouties peuvent apparaître pendant ou après I’opération de I’emboutissage, ils se produisent sous les formes suivantes:
– striction /rupture
– plis
– défaut dimensionnels ( retour élastique, amincissement inacceptable)
– défauts surfaciques (rayures, peau d’orange) .

Tous cela montre bien que I’emboutissage, comme procédé de mise en forme, est un procédé complexe et difficile à maîtriser. Pour cela, des essais aux laboratoires et aux ateliers sont souvent nécessaires pour déterminer une combinaison adéquate de ces paramètres et obtenir un emboutissage réussi. Or ces essais sont généralement nombreux lents et coûteux [El Mouatassim et Jameuxlg|] fPicart et al/99]. Ces dernières années des nombreux outils de calcul, de simulation et de CAO ont été développés afin de prévoir I’emboutissabilité des tôles, de réduire les coûts et les délais de production des pièces et d’améliorer la qualité des produits. Ces outils de calcul et de simulation, qui sont une suite logique des progrès scientifiques en calcul des structures, sont devenus possibles grâce à l’évolution de cette branche de la mécanique et des moyens informatiques à bas prix et aux développement des algorithmes bien adaptés. Ces algorithmes sont devenus capables de prendre en compte les grandes déformations, les grandes vitesses de déformation et les lois de comportement des matériaux ainsi que le traitement des conditions de contact entre les outils et la tôle [Afzali et Bouhelier94].