Signature d’observables en théories alternatives de la gravitation

La Relativité Générale 

La RG fut développée presque intégralement par Albert Einstein. Cette théorie se base sur plusieurs principes dont le principe de covariance généralisée et le principe d’équivalence auxquels il faut ajouter une description de la dynamique du champ gravitationnel. Nous allons reprendre ces différents principes pour les expliciter et en donner les motivations théoriques et expérimentales. 

Le principe de covariance généralisée 

Le principe de covariance généralisée peut être vu comme une généralisation du principe de relativité de Galilée. Ce principe s’exprime sous la forme suivante : Toutes les lois de la mécanique sont identiques dans tous les référentiels galiléens. Pour que la phrase précédente ait un sens, il nous faut préciser ce qu’est un référentiel galiléen. Un tel référentiel est un référentiel dans lequel est vérifiée la loi d’inertie de Newton (ou première loi de Newton) qui stipule que tout corps libre se meut dans un mouvement rectiligne uniforme. Les transformations qui permettent de passer d’un référentiel galiléen à un autre définissent le groupe d’invariance de la théorie : le groupe de Galilée. Il contient notamment les translations spatiales et temporelles, les rotations spatiales et les transformations de Galilée qui permettent le passage entre deux référentiels en translation uniforme à vitesse ~v (transformation donnée par t = t 0 et ~x = ~x0 − ~vt). Le XIXe siècle a vu se développer la théorie de l’électromagnétisme (notamment par Maxwell). Cependant, cette théorie n’était mathématiquement pas invariante sous les transformations de Galilée s’opposant ainsi au principe de relativité de Galilée. Une solution pour résoudre ce conflit consistait d’abandonner le principe de relativité. Cependant, Einstein décida de garder ce principe qui s’exprime alors sous la forme : Toutes les lois de la physique (sauf la gravitation) sont identiques dans tous les référentiels inertiels et d’y ajouter le postulat de l’invariance de la vitesse de la lumière c (qui se déduit des équations de Maxwell et qui Chapitre 1 – Contexte général et présentation du travail réalisé 13 fut vérifié expérimentalement par la célèbre expérience de Michelson et Morley en 1881). Ces deux principes ont conduit Einstein [1905b] à développer la théorie de la relativité restreinte et permirent la dérivation des transformations de Lorentz. Le passage de la théorie Newtonienne vers la relativité restreinte ne modifie absolument pas le principe de relativité. La seule chose qui change est l’expression des transformations entre les référentiels inertiels. Ces transformations qui permettent d’effectuer le passage entre deux référentiels en translation à vitesse uniforme l’un par rapport à l’autre mélangent espace et temps produisant des effets complètement inattendus dans la théorie de Newton (dilatation du temps, contraction des longueurs, . . .). Le groupe d’invariance de la théorie devient alors le groupe de Poincaré. Dans son article fondateur de la relativité générale, Einstein [1916], guidé par des considérations liées au principe de Mach, généralisa le principe de relativité en demandant que les lois de la physique soient les mêmes pour tous les observateurs (et non plus uniquement dans les référentiels inertiels). Ceci revient à exiger que “Les lois générales de la nature sont représentées par des équations qui sont valables pour tous les systèmes de coordonnées, c’est-à-dire qui sont covariantes vis-à-vis de n’importe quelle substitution.” (Die Grundlage der allgemeinen Relativit¨atstheorie, Einstein [1916], traduit par F. Balibar [Hawking, 2005]) Cette covariance généralisée se traduit mathématiquement par l’utilisation d’identités tensorielles. Elle implique notamment que les points de l’espace-temps ne sont pas en soi observables. Cette propriété est typique d’une théorie possédant une invariance de jauge (la particularité de la gravitation résidant dans le fait que les quantités non-invariantes de jauge ne sont pas des valeurs de champs (comme dans les théories de jauge basées sur un groupe de symétrie interne) mais les coordonnées de l’espace-temps lui-même [Bruneton, 2007]). Ceci signifie entre autre que les résultats d’une expérience ne peuvent être décrits par des coordonnées mais il faut considérer des quantités invariantes de jauge. Ces quantités sont appelées des observables. Cette difficulté de la théorie de la RG fut rencontrée par Einstein lui-même comme il en fit part : “Je me rendis bientˆot compte qu’avec la conception des transformations non linéaires requise par le principe d’équivalence, c’en devait être fini de l’interprétation physique directe des coordoonnées ; autrement dit : on ne pouvait plus exiger que les différences entre coordonnées représentent les résultats immédiats de mesures effectuées à l’aide de règles ou d’horloges. Cette constatation me tracassa beaucoup, car je restai longtemps incapable de comprendre ce que, tout compte fait, les coordonnées doivent alors représenter en physique.” (Conférence prononcée le 20 juin 1933 par Einstein à Glasgow [Delva, 2007]) Finalement, notons que toutes les théories modernes de la gravitation sont des théories covariantes sous transformations de coordonnées. Des théories qui ne possèdent pas cette propriété seraient caractérisées par le fait que les coordonnées de l’espace-temps soient directement observables, ce qui semble contre-intuitif aujourd’hui. Chapitre 1 – Contexte général et présentation du travail réalisé 14 Covariance et importance de l’observable Comme nous venons de le mentionner, la RG (tout comme les théories alternatives modernes de la gravitation) est une théorie invariante sous transformations de coordonnées (difféomorphismes). Par conséquent, nous pouvons choisir le système de coordonnées dans lequel nous voulons effectuer les développements mathématiques (comme par exemple l’écriture des équations du mouvement des corps). Cette liberté implique que des quantités dépendantes des coordonnées n’ont en général pas de réalité physique (elles dépendent justement d’un choix, d’une convention humaine) et ne sont pas observables. Un système de coordonnées est un pure artéfact mathématique nécessaire pour réaliser les calculs et que nous avons le loisir de choisir et il est extrêmement important de s’intéresser à des quantités qui soient invariantes sous les difféomorphismes et qui sont appelées des observables. La discussion ci-dessus peut paraître fort abstraite et pourtant, elle a des conséquences directe dans la simulation et l’analyse des observables spatiales. L’objectif de cette section est d’illustrer ces propos avec un exemple relativement simple. Considérons une modélisation du mouvement d’un corps quelconque autour du Soleil. Nous allons modéliser le Soleil comme étant un corps sphérique et considérer un corps test qui suit les trajectoires géodésiques. Considérons deux jeux de coordonnées différents (t, x0 , y0 , z0 ) et (t, x, y, z) (par simplicité, on a choisi les mêmes composantes temporelles t 0 = t) dont les origines co¨ıncident avec la position du Soleil. Nous utiliserons les notations ~r = (x, y, z), r = p x 2 + y 2 + z 2 (et des notations semblables pour les primes). Nous allons considérer une métrique solution de l’équation d’Einstein autour d’un corps sphérique : la métrique de Schwarzschild découverte par Karl Schwarzschild [1916] ds2 = −  1 − 2GM c 2r  c 2 dt2 + 1 

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