Séquence de flux : VAN et taux actuariel

Au-delà de la distinction classique taux nominaux / taux réels, il existe un clivage entre les taux courts et les taux longs, les taux d’intérêts étant différenciés par l’échéance du crédit.

La courbe des taux représente graphiquement la relation entre le niveau des taux d’intérêt et leur échéance (3 mois, 1 an, 2 ans, … , 10 ans). Elle peut être, selon les circonstances, croissante (les taux courts sont supérieurs aux taux longs), inversée (les taux courts sont inférieurs aux taux longs), en « cloche », etc.

La forme de la courbe dépend en particulier des anticipations des agents privés concernant l’évolution de l’inflation et de la politique monétaire (en effet, les taux d’intérêt relèvent de mécanismes de marché, la banque centrale ne contrôlant directement que les taux directeurs). Enfin, le taux d’intérêt dépend également de la plus ou moins grande prime de risque exigée par les investisseurs lorsqu’ils consentent à placer leurs capitaux sur le long terme. Cette prime de risque compense la moindre liquidité des placements longs et le risque croissant avec l’échéance de perte en capital.

1.Intérêts et emprunts directs

3.Marchés dérivés I : généralités

4.Marchés dérivés II : évaluation des options par le modèle binomial

L’opération se déroule sur T périodes, et nous analysons le point de vue de l’emprunteur (celui du prêteur est symétrique).

En cas d’un emprunt d’un capital C au taux d’intérêt r entre les dates t=0 et t=T, avec un remboursement du capital et des intérêts en une fois à la date finale t=T, les intérêts simples sont proportionnels au taux r et au nombre de périodes T : I = CrT

Le flux terminal est donc F = – ( C + CrT ) = – C ( 1 + rT ).

Le plus souvent, cette approche s’applique avec un taux annuel et pour une durée T<1 an (il existe alors différentes conventions pour le calcul de T en fonction du nombre de jours pour l’opération : convention « exact/exact », convention « exact/360 », etc.).

Le principe est le suivant : supposons un capital C placé à un taux d’intérêt r pendant T périodes situées entre t=0 et t=T et notées 0-1, 1-2, 2-3,…, (T-1)-T.

Les intérêts sont calculés à la fin de chaque période puis ajoutés au capital (on dit qu’ils sont capitalisés) et produisent à leur tour des intérêts au même taux r dans les périodes ultérieures.

En T, qui est la date terminale ou échéance du prêt, l’emprunteur rembourse C(1+r)T. Ce prêt aura donc généré la séquence : { -C, 0, …, +C(1+r)T }.

On remarque les intérêts sont égaux à : I = C[(1+r)T – 1].

Dans le cas des intérêts composés, r correspond au taux actuariel.

Pour un taux r, un capital C et une durée T donnés, les intérêts simples (taux proportionnel) sont inférieurs aux intérêts composés (taux actuariel) si et seulement T>1 (si T=1, les intérêts simples sont égaux aux intérêts composés), du fait de la linéarité de f(T) = (1+ rT) et de la convexité de g(T) = (1+ r)T ≈ erT .

Pour que ces deux taux soient « équivalents », tant pour le prêteur que pour l’emprunteur, il faut que les flux qu’ils génèrent soient égaux, soit (avec rp le taux proportionnel et ract le taux actuariel) : (1 + rpT) = (1+ ract)T

Cette relation peut être utilisée pour trouver le taux proportionnel équivalent au taux actuariel, et vice versa.

On remarque par ailleurs que deux taux ract et rp équivalent sur une durée T ne le sont pas sur une durée T’ différente de T.

Les intérêts peuvent être payés en fin de période (intérêts post-comptés ou à terme échu) ou en début de période (intérêts précomptés ou à terme à échoir).

Les intérêts post-comptés correspondent à ceux vus précédemment.

Les intérêts précomptés sont des intérêts versés au début de l’opération. Le flux initial F0 correspond ainsi au montant du capital, diminué des intérêts I. En fin de placement, le capital est ensuite versé par l’emprunteur.

Une première méthode classique pour les intérêts précomptés consiste à utiliser un taux d’escompte re, le flux initial est alors : F0 = C(1-reT).

Le paiement immédiat des intérêts est pénalisant pour l’emprunteur si l’on utilise le même taux que pour des intérêts post-comptés. La deuxième méthode consiste alors à ajuster le taux d’escompte à la baisse pour le rendre équivalent à un taux in fine, le flux initial est dans ce cas : F0 = C / (1+rT).

La valeur acquise est égale au montant final (capital et intérêts) récupéré par le prêteur à l’échéance de l’opération. Pour un capital placé C sur une durée T à un taux r, la valeur acquise est donnée par : F = C(1+rpT) si le taux est proportionnel ; F’ = C(1+ract)T si r le taux est actuariel. Inversement, un flux F en T peut être obtenu moyennant un placement au taux r, en t=0, d’un montant égal à (avec C et C’ les valeurs actualisées en 0 du flux F disponible en T ) :

C = F / (1+rpT) si le taux est proportionnel ; C’ = F / (1+ract)T si le taux est actuariel.

Dans un contexte d’investissement, lorsque F, C et T sont connus, le taux actuariel correspond au taux de rentabilité interne (TRI).

Le principe d’actualisation peut facilement s’étendre au cas de séquences faisant intervenir plusieurs flux Fi (i allant de 0 à T). Dans ce cas on a la valeur actuelle nette (VAN) suivante, en considérant des intérêts composés uniquement : VAN = F0 + F1(1+r)-1 + F2(1+r)-2 + …+ FT(1+r)-T

La VAN d’un investissement représente le flux de trésorerie en 0 par lequel on peut remplacer tous les flux de trésorerie de cet investissement (y compris mise de fonds initiale). Un investissement ne doit être retenu que si sa VAN est positive.

En pratique, le taux actuariel (le TRI dans le cas d’un investissement) est le taux d’actualisation qui annule la VAN de la séquence de flux.

Le critère de TRI peut au final se formuler ainsi : un investissement doit être accepté si et seulement si le TRI de la séquence de flux qu’il génère est supérieur au taux de rendement minimal r souhaité par l’investisseur.