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Application 1 : Variations d’entropie d’un gaz parfait
On considère une quantité n d’un gaz parfait de capacité thermique à volume constant Cv et de capacité thermique à pression constante Cp. On note γ = Cp/Cv. Ce gaz parfait sutbit une transformation. Les grandeurs liées à l’état initial sont notées Ti, Vi, Pi, … et celles liées à l’état final sont notées Tf, Vf, Pf, … .
1°) a) Exprimer dU en fonction de n, γ et dT. En déduire une expression de dS en fonction n, γ, T, V, dT et dV.
b) Exprimer ΔSgaz = Sf – Si en fonction de n, γ, Ti, Tf, Vi, Vf.
2°) a) Exprimer dH en fonction de n, γ et dT. En déduire une expression de dS en fonction n, γ, T, P, dT et dP.
b) Exprimer ΔSgaz = Sf – Si en fonction de n, γ, Ti, Tf, Pi, Pf.
3°) Déduire de 1b et 2b, une relation entre ΔSgaz = Sf – Si en fonction de n, γ, Vi, Vf, Pi, Pf.
4°) a) Si le gaz parfait subit une transformation isochore, exprimer dS en fonction n, γ, T, dT puis ΔSgaz = Sf – Si en fonction de n, γ, Ti, Tf,.
b) Si le gaz parfait subit une transformation isotherme, exprimer dS en fonction n, γ, V, dV puis ΔSgaz en fonction de n, γ, Vi, Vf.
c) Si le gaz parfait subit une transformation isobare, exprimer dS en fonction n, γ, T, dT puis ΔSgaz en fonction de n, γ, Ti, Tf.
5°) Dans le cas d’une transformation adiabatique réversible, que vaut ΔSgaz ? A partir des relations établies aux questions 1b, 2b et 3, retrouver les relations de Laplace.
6°) Si Vi est le volume initial occupé par le gaz et Vf le volume final occupé par le gaz, exprimer la variation d’entropie du gaz parfait ΔSgaz en fonction de n, Vi et Vf lorsqu’il subit une détente de Joule-Gay Lussac. Expliquer pourquoi ce résultat montre que cette transformation est irréversible. Proposer des causes pour cette irréversibilité.
7°) Si Pi est la pression initiale du gaz et Pf est la pression finale du gaz, calculer la variation d’entropie du gaz parfait ΔSgaz en fonction de n, Pi et Pf lorsqu’il subit une détente de Joule-Thomson. Expliquer pourquoi ce résultat montre que cette transformation est irréversible. Proposer des causes pour cette irréversibilité.
Application 2 : Variation d’entropie d’une phase condensée indilatable et incompressible
1°) On étudie l’évolution d’un corps solide de capacité thermique c constante, initialement à la température T1 et plongé dans une très grande quantité d’eau à température T2. La pression extérieure est constante et égale à la pression atmosphérique. La quantité d’eau étant très importante, on suppose que l’eau reste à température constante T2.
a) Quelle est la température finale du solide ?
b) Exprimer dS en fonction de c, T et dT.
c) Exprimer ΔSsolide en fonction de C, T1 et T2.
2°) Calculer l’entropie créée lors de la mise en contact de température initiale T1 et de capacité thermique C avec un thermostat idéal de température T2. Vérifier que l’entropie créée est bien positive.
Chemin à suivre : On calculera la variation d’entropie du solide et celle du thermostat. L’entropie créée par l’univers (c’est-à-dire ici l’ensemble {thermostat + solide}) est la somme de ces deux variations.
3°) Calculer l’entropie créée lors de la mise en contact de température initiale T1 et de capacité thermique C avec un thermostat idéal de température T2. Vérifier que l’entropie créée est bien positive.
Chemin à suivre : On calculera la variation d’entropie du solide, l’entropie échangée par le solide avec le thermostat et on en déduira l’’entropie créée par le solide.
Exercice 2 : Bilan entropique d’une transformation monotherme
1°) Compression isotherme réversible d’un gaz parfait
Soit le système constitué de n moles de gaz parfait enfermé dans un cylindre de parois diathermanes sous la pression P1, à la température T0. On suppose que le piston a une masse m0 telle que m0g = sP0, avec s section du cylindre et P0 pression atmosphérique. L’atmosphère au voisinage est également à la température T0.
L’opérateur exerce très lentement une poussée sur le piston (supposé sans frottement) pour amener le gp à une pression finale P2 = 4P0.
a) Peut-on modéliser la transformation comme isotherme réversible ?
b) Calculer la variation d’entropie du gaz et celle de la source en contact (l’atmosphère). Conclure.
2°) Compression monotherme irréversible d’un gaz parfait
On étudie le même système mais l’opérateur pose désormais brutalement à l’état initial une masse m = 2m0 sur le piston (sans vitesse initiale). Le piston descend puis se stabilise après quelques oscillations (frottements désormais, mais nous conservons le modèle du gp).
a) Préciser les paramètres de l’état final d’équilibre.
b) Calculer la variation d’entropie du gaz, celle de la source au contact, puis la variation d’entropie de l’univers dans cette transformation.
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