Sandboil» ou Cheminée de fluidisation dans un milieu granulaire modèle

La fluidisation se produit lorsqu’un ensemble de particules solides agrégées est mis en mouvement dispersé sous l’effet d’un écoulement. Le lit fluidisé est constitué d’une phase solide granulaire composée de petites particules, d’une taille souvent micrométrique et d’une phase fluide en écoulement . Dans ce chapitre nous allons décrire le milieu granulaire et ses caractéristiques a fin de décrire la fluidisation et les paramètres mis en jeu.

Milieu Granulaire et Relation Débit –Charge

Milieu Granulaire : On appelle milieu granulaire, tout milieu poreux constitué de grains de sable ou de cailloux comportant des vides ou cavités au travers desquelles un fluide peut s’écouler. Ces espaces vides qui sont connectés sont appelés pores. Il existe plusieurs matériaux poreux dans la nature ou dans l’industrie, mais notre étude qui sera présentée dans le chapitre suivant se fait pour un milieu poreux constitué de billes de verre pour simuler un milieu granulaire. Le milieu granulaire est caractérisé principalement par deux propriétés macroscopiques liées entre elles : la porosité ε et la perméabilité K. Figure I-1: milieu granulaire 

Porosité

La porosité ε est définie comme étant le rapport du volume occupé par les pores au volume total du milieu poreux. Elle est donnée par la relation suivante : ε = 𝑉𝑃 𝑉0 = volume des pores 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑢 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑒𝑢 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 La porosité, comprise entre 0 (solide plein) et 1 (volume complètement vide), est complémentaire de la fraction volumique Φ des grains : ε + Φ = 1 « Sandboil » ou Cheminée de fluidisation dans un milieu granulaire modèle « Sandboil » ou Cheminée de fluidisation dans un milieu granulaire modèle.

Perméabilité

La perméabilité K d’un milieu granulaire caractérise son aptitude à se laisser traverser par un fluide (liquide ou gaz) sous l’effet d’un gradient de pression. Elle ne dépend que de la porosité et de la géométrie de la matrice solide. La relation de Kozeny-Carman (1937), donne une estimation de la perméabilité pour un milieu poreux non consolidé constitué d’éléments identiques de géométrie simple : 𝐾 = 𝑑2ε 3 36c0(1−ε)2 Où d désigne une dimension caractéristique des éléments constituants le milieu poreux et C0 une constante dépendant de la forme des grains appelée constante de Carman-Kozeny donnée par la relation suivante (Bear, Guyon) : C0=2Ψτ2 Où Ψ est le facteur de sphéricité et τ la tortuosité : τ= 𝐿𝑒 𝐿 Le est la longueur effective de l’espace poreux et L est la longueur du cylindre contenant les billes. Pour une sphère,τ= 𝜋 2 et Ψ=1. Ainsi, C0=5. Alors pour un milieu poreux granulaire constitué de grains sphériques la perméabilité K est donnée par la relation de Carman-Kozeny définie comme suit : 𝐾 = ε 3𝑑2 180(1−ε)2

Relation entre débit et perte de charge

Ecoulement à petit nombre de Reynolds 

Lorsque la vitesse du fluide dans le milieu granulaire est suffisamment faible c’est-à-dire si le nombre de Reynolds Re = ρ𝑈𝑑𝑝 µ < 10 avec 𝑑𝑝 le diamètre caractéristique des pores où les forces visqueuses sont dominantes, l’écoulement laminaire suit la loi linéaire de Darcy. ∆𝑝 𝐿 = 𝑄 𝐴 × µ 𝐾 La loi de Darcy correspond à une relation de proportionnalité entre le gradient de pression hydrodynamique et la vitesse du fluide en milieu poreux saturé où l’espace des pores est entièrement rempli d’un seul fluide supposé newtonien et incompressible. La constante de proportionnalité K est la perméabilité qui est une caractéristique du milieu granulaire. ∆P est la variation de la pression non hydrostatique entre les deux extrémités de l’échantillon « Sandboil » ou Cheminée de fluidisation dans un milieu granulaire modèle « Sandboil » ou Cheminée de fluidisation dans un milieu granulaire modèle granulaire (perte de charge), µ est la viscosité dynamique du liquide qui s’écoule à travers une section A. Cette relation qui ne tient pas compte des effets inertiels est insuffisante dans le cadre de la force visqueuse exercée par le fluide sur les particules sphériques composant un milieu poreux. En effet, avec ce modèle, la condition de non glissement aux parois est retenue quelque soit le fluide considéré. Pour tenir compte des effets inertiels, Brinkman (1957) a étendu cette loi en introduisant un terme équivalent au terme de diffusion visqueuse de la loi de Stokes. ∇���� 𝑃�⃗ = µ 𝑉�⃗ 𝐾 + µ𝑒𝑓𝑓∇��⃗ 2𝑉 Cette loi empirique est connue sous le nom de la formulation de Darcy-Brinkman. Le premier terme est le terme de Darcy et le deuxième terme est appelé le terme de Brinkman. Brinkman a justifié cette loi par le fait que pour de faibles valeurs de la perméabilité K on retrouve la loi de Darcy et pour des valeurs de la perméabilité K qui tendent vers l’infini, on retrouve l’équation de Stokes.

écoulement à grand nombre de Reynolds en milieu granulaire

Pour des nombres Re > 10, Ergun propose en 1952 une relation empirique non linéaire entre le gradient de pression hydraulique et la vitesse du fluide. Cette relation qui tient compte des effets inertiels et visqueux est appelée la loi d’Ergun : Le domaine de validité de cette loi concerne les écoulements de fluide à travers des milieux poreux constitués d’un assemblage homogène de particules sphériques et fixes allant des régimes laminaires aux régimes turbulents. 𝑗 = 150 µ(1−ε)2 ρ𝑔ε3𝑑2 𝑈 + 1.75 (1−ε) 𝑔𝑑ε 3 𝑈2 Avec J = ∆𝑝 𝐿ρ𝑔 ce qui donne une écriture de la relation ci-dessus comme suit : ∆𝑝 𝐿 = 150 (1−ε)2 ε3𝑑2 µ𝑈 + 1,75 (1−ε) 𝑑 ε 3 ρ𝑈P 2 ∆𝑝 𝐿 = C1µU + C2ρU2 C1 est appelé coefficient de résistance visqueuse et C2 est appelé coefficient de résistance inertielle. 

Fluidisation

Fluidisation homogène

La fluidisation se produit lorsqu’un ensemble de particules solides agrégées est mis en mouvement dispersé sous l’effet d’un écoulement. Selon le fluide utilisé, il existe deux types de fluidisation: « Sandboil » ou Cheminée de fluidisation dans un milieu granulaire modèle « Sandboil » ou Cheminée de fluidisation dans un milieu granulaire modèle. Page 15 – La fluidisation agrégative, où la porosité ε n’est pas uniforme à travers le lit. C’est le régime de fonctionnement généralement observé lorsque les particules solides sont fluidisées par un gaz. La couche fluidisée est le siège de mouvements à la fois rapides et désordonnés qui rappellent grossièrement l’agitation des bulles de vapeur au sein d’une masse liquide. Lorsque le diamètre des particules sur la différence de masse volumique entre le solide et le liquide sont très grands, la fluidisation sera de type agrégative. – La fluidisation particulaire, qui est caractérisée par l’uniformité de la porosité dans tout le lit ; c’est le type de fonctionnement généralement observé lorsque les particules solides sont fluidisées par un liquide, par exemple pour la fluidisation localisée d’un sol granulaire par l’eau. Le lit granulaire reste fixe, tant que le débit n’est pas assez important pour assurer la fluidisation. Dans ce cas la porosité ε et la hauteur H de la couche restent constantes. – Le lit fixe commence à se fluidiser lorsque le débit atteint une certaine vitesse correspondant au minimum de fluidisation, Umf. Ce point correspond à la limite entre le lit fixe et le lit fluidisé : c’est le phénomène de fluidisation. La vitesse minimale de fluidisation Umf peut être définie comme la plus petite vitesse superficielle du fluide pour laquelle la chute de pression du fluide à travers le lit est égale au poids du milieu par unité de surface [3]. Elle ne dépend que des caractéristiques des particules solides (taille, masse volumique et sphéricité) et de celles du fluide (masse volumique et viscosité). Au seuil de fluidisation, la résultante des forces de trainée est égale au poids des grains. La trainée sur chaque particule i du milieu granulaire est de la forme : 𝑓𝑖 = 𝑐𝑑 Π 4 𝑑2 × 1 2 ρ(𝑢𝑓 − 𝑢𝑖)2 Difficile à exploiter, on ne peut faire l’hypothèse d’un milieu homogène et calculer la force de trainée par unité de volume qui s’écrit 𝑓 = 𝐹 𝑉 où 𝐹 est la résultante sur tout le volume 𝑉 = 𝐻𝑆. 𝐹 peut s’écrire : 𝐹 = ∆ �𝑃S où ∆ �𝑃 est la différence de pression non hydrostatique. Au seuil de fluidisation et en tenant compte de la poussée d’Archimède : 𝐹 = ρ𝑔𝐻𝑆 − ρ 𝑓𝑔𝐻𝑆 = (1 − ε)(ρ 𝑝 − ρ 𝑓)𝑔𝐻𝑆 étant donné que ρ = (1 − ε)ρ 𝑝 + ερ 𝑓 Ainsi, ∆ �𝑃 = 𝐻(1 − ε) �ρ 𝑝 − ρ 𝑓� 𝑔 Ce résultat est en accord avec les expériences de Jean et Fan (Jean 1992). Cette différence de pression s’écrit aussi de la manière suivante au début de la fluidisation et en régime laminaire (loi de Darcy cf I-3-1). ∆ �𝑃 = µ 𝐻 𝑈𝑚𝑓 𝐾 On écrit alors que : « Sandboil » ou Cheminée de fluidisation dans un milieu granulaire modèle « Sandboil » ou Cheminée de fluidisation dans un milieu granulaire modèle. Page 16 H (1 – εmf) ( ρ 𝑝 − ρ 𝑓) ρ 𝑝g = µ 𝐿 𝑈𝑚𝑓 𝐾 Où εmf est la porosité au minimum de fluidisation. Ainsi Umf= K (1 – εmf) ( ρ𝑝− ρ𝑓) g µ Et le nombre de Reynolds au minimum de fluidisation est égal à : Re= ρ𝑓𝑈𝑚𝑓𝑑𝑠𝑣 µ 1-4-2) Fluidisation localisée : La fluidisation localisée d’un sol granulaire est utilisée dans plusieurs domaines industriels pour des mélanges transportés de particules par exemple, les processus de mélange d’un lit granulaire par un jet de liquide vers le haut (Peng 1997), ou comme moyen de dragage des rivières (Weisman 1994). Dans la nature, certaines structures géologiques observées dans les sédiments stratifiés peuvent être expliquées par une fluidisation instable donnant lieu à une fissure de plus en plus remplie d’eau (Nicolas 1994, Marz 2007). La fluidisation est souvent responsable des érosions souterraines dans les milieux naturels (Lobskovsky 2004, Owoputi 2001). En milieu naturel lors de la remontée d’eau dans un environnement sableux, une fluidisation partielle de la matrice sableuse peut alors se produire (Zoueshtiagh 2007). A une échelle plus petite, des phénomènes similaires dénommés « sandboil » sont couramment observées sur le côté en aval d’une digue où une fluidisation localisé est induite par un débit d’eau d’infiltration dans la fondation. Cette déstabilisation initiale peut conduire à la formation d’une conduite régressive le long de la digue (Ohja 2003). Du point de vue fondamental, tous ces exemples se référent plus ou moins à la situation générale d’un débit d’eau croissant confiné à l’intérieur d’une couche granulaire immergée. Seule quelques études ont été menées sur ce problème soit avec une source ponctuelle (Zoueshtiagh 2007) soit avec une injection d’eau homogène (Rigord 2005, Wilhem 2002). Ils ont tous révélé l’apparition d’une instabilité localisée qui se développe le long d’une conduite verticale fluidisée. Le débit de l’eau s’intensifie au cœur d’une cheminée où la porosité est sensiblement plus petite que dans le lit statique. Ce type d’instabilité a déjà été signalé et modélisé dans une colonne de sable fluidisée (Vardoulakis 2004, Vardoulakis 1998). Toutes ces études s’intéressent à la fluidisation en milieu naturel, où la remontée d’eau dans un environnement sableux peut fluidiser partiellement la matrice granulaire et entraîner des érosions souterraines représentées par la figure I-2 ci-dessous.