Le modèle de Giesekus

Dans cette partie on s’intéresse à la discrétisation du problème de Giesekus pour la simulation numérique des écoulements de liquides polymères. L’organisation de cette partie est la suivante. Dans un premier chapitre, nous présentons quelques comportements des liquides polymères et nous faisons une revue brève des modèles rhéologiques, permettant d’expliquer pourquoi nous avons choisi de considérer principalement le modèle de Giesekus. Pour ce chapitre, nous nous sommes appuyés sur les livres [58], [69] et [68]. Dans le second chapitre, on introduit la discrétisation du modèle de Giesekus par éléments finis non-conformes sur des maillages triangulaires et quadrangulaires. Une analyse du problème de Stokes sous-jacent sera présentée. En outre, on présente des résultats concernant la positivité du tenseur de conformation, et on montre que notre schéma préserve sous certaines hypothèses cette propriété au niveau discret.

Enfin, dans le troisième chapitre, on présente des résultats numériques. Des comparaisons avec le code commercial Polyflow®, mais aussi avec des données expérimentales, nous ont permis de valider les schémas numériques mais aussi de mettre en évidence leur bon comportement pour des nombres de Weissenberg élevés. Ces travaux ont donné lieu à deux articles : le premier, intitulé Discretization of Phan-Thien- Tanner and Giesekus fluids through contraction/expansion flows using nonconforming finite elements, est en préparation et est axé sur le cas triangulaire alors que le deuxième, intitulé Nonconforming finite element approximation of the Giesekus model for polymer flows et soumis dans Computers ans Fluids – Special Issue : ICFD 2010 est en cours de révision et est axé sur le cas quadrangulaire. D’autre part, ces travaux ont été présentés dans diverses conférences et workshop : Tenth International Conference Zaragoza- Pau on Applied Mathematics and Statistics (Jaca, Espagne, 2008), ICFD (Reading, Royaume-Uni, 2010), CANUM (Carcans, France, 2010), ECCOMAS CFD (Lisbonne, Portugal, 2010), Workshop on Mathematical Fluid Mechanics and Applications (Évora, Portugal, 2010).

Les liquides polymères

Étymologiquement, le mot polymère vient du grec « polus » qui signifie « plusieurs » et de « meros » qui signifie « partie ». Il s’agit d’une molécule constituée de l’enchaînement répété d’un même motif, appelé le monomère. Les polymères sont caractérisés par une masse molaire élevée, généralement comprise entre 3:104 g.mol-1 et 106 g.mol-1. Nous les qualifions de macromolécules. À titre de comparaison, le carbone a une masse molaire de 12 g.mol-1. La rhéologie désigne, par définition, l’étude des relations entre la déformation et la contrainte d’un matériau. De par leurs structures, les polymères ont des propriétés rhéologiques particulières que l’on détaillera par la suite. On s’intéresse tout d’abord à la viscosité qui est la propriété la plus importante d’un liquide, elle traduit sa résistance à l’écoulement. On rappelle que l’on distingue la viscosité dynamique notée _ [Pa.s] 1 de la viscosité cinématique notée _ [m2.s-1]. Ces viscosités sont liées par la relation suivante : _ = _ _ ; avec _ [kg.m-3], la masse volumique du liquide. Les liquides polymères sont caractérisés par une viscosité dynamique importante. On présente dans le tableau Tab. 5.1, les viscosités de quelques liquides à 20°C et à pression atmosphérique. Considérons un écoulement laminaire (i.e. entre deux plans parallèles). L’intensité de l’écoulement est caractérisé par la vitesse de déformation notée _ .

Un liquide est alors qualifié de newtonien si sa viscosité est indépendante de la vitesse de déformation. Dans le cas contraire, il est qualifié de non-newtonien. Pour ces liquides et au dessus d’une certaine vitesse de déformation dite critique, la viscosité du liquide va : – décroître. Le liquide est qualifié de rhéofluidifiant ou pseudoplastique. C’est le cas des liquides polymères. – augmenter. Le liquide est qualifié de rhéoépaississant ou dilatant. C’est le cas du bitume. Dans le cas d’un liquide polymère, il est difficile de définir une viscosité car cette grandeur varie en fonction de la vitesse de déformation. C’est pour cela qu’est définie la viscosité limite : _0 = lim _!1 _(_ ): Il faut noter qu’en raison de la taille de leurs molécules, les liquides polymères sont sensibles à la nature de l’écoulement. Si ces liquides ont un comportement pseudoplastique pour un écoulement de cisaillement, ils ont un comportement de type dilatant dans le cas d’un écoulement élongationnel2. De plus, les polymères sont des liquides viscoélastiques. D’un point de vue rhéologique, cela correspond à un état intermédiaire entre un liquide visqueux et un solide élastique. On se propose maintenant de présenter quelques comportements typiques des liquides polymères : – Dans la figure Fig. 5.1, une tige en rotation est placée dans un récipient contenant un polymère liquide. On observe que le liquide monte le long de la tige en rotation, ceci s’explique par l’existence de contraintes normales. Ce phénomène est appelé effetWeissenberg. Dans le cas newtonien, le liquide aurait eu le comportement inverse, la surface se serait creusée autour de la tige.

Première approche : formulation naturelle

Nous avons essayé de prouver que cette application est bien une norme sur V h. On constate que [[[v]]] = 0 implique que R K D(v)dx = 0. On prend un vecteur v 2 ^Qrot 1 sur la maille de reférence ^K . En prenant en compte la contrainte R ^K D(^v)d^x = 0, on en déduit seulement que : D(^v) = 2d1^x 􀀀2d1^y + 2d2^x 􀀀2d1^y + 2d2^x 􀀀2d2^y ! : On ne peut donc pas en conclure que D(^v) = 0 sur ^K. Néanmoins, nous avons pu établir que le nombre de contraintes imposées en considérant [[[v]]] = 0 , est supérieur au nombre de degrés de liberté de v 2 V h. On considère pour cela un maillage composé de rectangles avec n intervalles horizontaux et m intervalles verticaux. Une fonction vectorielle, appartenant à QK sur chaque maille, est déterminée par 8nm paramètres. Le nombre de contraintes imposées dans l’espace V h est 2 _ (2nm􀀀n􀀀m), nombre correspondant au nombre d’arêtes internes, multiplié par le nombre de composantes. Enfin, on impose des conditions de bord de Dirichlet ce qui rajoute 2 _ (2n+2m) contraintes. Le nombre de degrés de liberté est donc 4nm 􀀀 2n 􀀀 2m. On calcule maintenant le nombre de contraintes correspondant à [[[v]]] = 0. La condition K D(v)dx = 0; 8K 2 Kh, rajoute 3nm contraintes, correspondant au nombre de mailles multiplié par les 3 composantes du tenseur symétrique D(v). La condition J1(v; v) = 0 impose la continuité de v _ n aux deux points de Gauss sur chaque arête interne du maillage, et rajoute donc 2 _ (2nm 􀀀 n 􀀀m) contraintes.

On obtient un total de 7nm 􀀀 2n 􀀀 2m contraintes, supérieur au nombre de degré de liberté. Cela ne nous permet pas de conclure que [[[v]]] est une norme sur V h mais cela montre qu’il n’y a pas de contradiction. On admet donc par la suite que [[[_]]] est une norme sur V h. Notons que nous avons obtenu des résultats numériques que nous présenterons dans la suite, ce qui prouve que la matrice du système correspondant est inversible et donc que le problème équivalent (6.17) admet une unique solution. On s’intéresse alors à l’analyse du problème (6.17). Notre objectif ici est de montrer théoriquement que la formulation (6.17) ne permet pas d’obtenir de bons résultats pour le problème de Stokes. En effet, on montre que l’on ne peut pas borner de manière optimale l’erreur de consistance. On ne détaillera pas ici l’étude de ce problème, mais une analyse complète du problème régularisé sera effectuée dans la section suivante utilisant les mêmes outils que pour ce problème. Comme par définition de la projection [[[vh]]] _ [[vh]], pour tout vh 2 V h, la condition inf-sup est satisfaite ; ~ah(_; _) est uniformément coercive et continue pour la norme [[[_]]]. On s’intéresse maintenant à l’étude de l’erreur a priori. On a alors, en suivant le démonstration classique du second Lemme de Strang (voir aussi [22]) :

Principe de la méthode multigrilles

La méthode des multigrilles a été introduite par Fedorenko dans les années 1960 ([31]) pour la résolution du système linéaire issu de la discrétisation par différences finies de l’équation de Poisson. Le principe consiste à utiliser une hiérarchie de maillages pour pallier le mauvais conditionnement du système linéaire (O(h􀀀1) si h est le pas de maillage), qui fatalement détériore la convergence de méthodes simples comme Jacobi, Gauss-Seidel ou le gradient conjugué. Cette méthode a ensuite été étendue à des problèmes elliptiques généraux et à d’autres équations, voir par exemple Hackbush [40] et Wesseling [83]. La théorie est riche dans le contexte des éléments finis, voir le livre de Bramble ([15]) et l’article synoptique de Yserantant [87] qui utilise les outils d’analyse fonctionnelle ainsi que l’analyse mathématique des éléments finis. L’approche la plus performante est aujourd’hui celle de Xu (voir [84] et [85]), qui interprète l’algorithme comme une correction de sous-espaces (successive subspace correction). L’avantage principal de cette méthode est que l’ordre asymptotique du nombre d’opérations nécessaires pour résoudre un problème est de O(n), où n est le nombre d’inconnues du système. A titre de comparaison, les méthodes itératives dites classiques ont des ordres de convergence O(np) avec 1 < p _ 2. Par exemple, le nombre d’itérations du gradient conjugué double à chaque raffinement de maillage. En ce qui concerne les solveurs directs, le progrès des algorithmes a permis d’améliorer considérablement la constante, mais leur complexité ne peut être linéaire. Ils sont utilisés dans le contexte des multigrilles sur le maillage le plus grossier. Pour expliquer la méthode des multigrilles, on considère tout d’abord deux maillages hiérarchiques, en notant par h le pas de discrétisation de la grille la plus fine et par 2h celui de la grille grossière. On cherche à résoudre le système