Réviser le cours mathématiques les intégrations

Révision cours mathématiques les intégrations, tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf.

I : Présentation
1) Bref historique
2) Fonctions en escalier
3) Approximation des fonctions continues
4) Fonctions continues par morceaux
II : Propriétés de l’intégrale
1) Linéarité
2) Majorations et encadrements
3) Relation de Chasles
4) Inégalités de Schwarz et Minkowski
5) Sommes de Riemann
6) Valeur moyenne d’une fonction
III : Intégrale fonction de la borne supérieure
1) Définition
2) Continuité
3) Dérivation
4) Intégration par parties
5) Changement de variable
6) Fonctions à valeurs complexes :
IV : Calcul de primitives
1) Tableau de primitives
2) Fractions rationnelles
3) Fractions rationnelles en sinxet cosx
4) Fractions rationnelles en shx, chxet ex
5) Fonctions de la forme P(x)e kx
6) Racines de trinômes ou de fonctions homographiques
7) Méthode des trapèzes
Annexe I : Calcul approché d’intégrales
1) Méthode des rectangles
2) Méthode des trapèzes
3) Méthodes de Newton–Cotes
4) Méthodes de Gauss
5) Divers
6) Accélération de Richardson–Romberg
Annexe II : les intégrales de Riemann, de Lebesgue et de Kurzweil-Henstock

Présentation

Bref historique

La calcul d’aire est remonte à la plus haute antiquité. Archimède sait comparer l’aire délimité par une parabole avec celle d’un triangle. Il sait également que :(i) Le périmètre d’un cercle est proportionnel à son diamètre.(ii) L’aire d’un disque est proportionnelle au carré de son rayon.
Or le coefficient de proportionnalité π est le même. Comment le démontrer ? Archimède compare un cercle avec un triangle rectangle dont l’un des côtés est le rayon du cercle, et dont l’autre a une longueur égale au périmètre du cercle. Il utilise pour cela une méthode dite par exhaustion.
Appelons C l’aire du cercle et T celui du triangle. Pour montrer l’égalité (en tant qu’aire) de ces deux figures, il fait un double raisonnement par l’absurde, en supposant d’abord que le triangle est plus petit (T < C). Il construit alors un polygone d’aire P tel que T < P < C en inscrivant dans le cercle une suite de polygones à 3 × 2 n côtés de façon que l’aire de l’un d’eux soit supérieure à l’aire du triangle. C’est possible car T < C. Il suffit de choisir un polygone dont l’aire est suffisamment proche de C. Il montre ensuite que ce polygone a une aire inférieure à T aboutissant ainsi à une contradiction. Il suffit de remarquer que ce polygone est constitué de triangles dont la somme des longueurs de base est inférieure au périmètre du cercle et dont la hauteur est inférieure au rayon. L’aire P du polygone est donc bien inférieure à T. Première contradiction.

Fonctions en escaliers

DEFINITION
Les fonctions en escalier forment une algèbre sur R . Seule la stabilité par la somme ou le produit n’est pas évidente. Il suffit de remarquer que, si l’on dispose de deux fonctions en escalier f et g, on peut prendre une subdivision plus fine que celle de f et de g, et compatible à la fois avec f et g, en prenant la réunion des deux subdivisions de fet g.quantité ne dépend pas de la subdivision choisie, pourvue qu’elle soit compatible avec f. Pour cela, il suffit de voir qu’on peut ajouter un point à la subdivision sans changer la valeur de l’intégrale, puis qu’on peut ajouter plusieurs points ; enfin, pour comparer les valeurs données par deux subdivisions différentes, il suffit de passer par la subdivision obtenue en réunissant les deux subdivisions.

Approximation des fonctions continues

Début de partie réservée aux MPSI La définition de la continuité sur [a, b] est :
Dans cette définition, α dépend de x et de ε. Nous avons besoin d’une condition plus forte où α ne dépend pas de x.Une fonction fvérifiant cette propriété est dite uniformément continue.
-Plus généralement, si f est k–lipschitzienne (par exemple dérivable, de dérivée bornée par k en utilisant l’inégalité des accroissements finis), alors f est uniformément continue. Il suffit de prendre α Fin de la partie réservée aux MPSI. Retour à la partie commune MPSI, PCSI, PTSI.
Voici maintenant le théorème d’approximation d’une fonction continue par les fonctions en escalier.

PROPOSITION
Soit f une fonction continue sur [a,b]. Alors, pour tout ε positif, il existe deux fonctions en escalier.

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Cours mathématiques (269 KO) (Cours PDF)