Résolution numérique du problème mécanique

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Solveur Multigrille

Pour terminer ce chapitre, nous étudions l’utilisation de la méthode multigrille en tant que solveur. Les motivations derrière ce développement étaient pour partie de se libérer de la « boite noire » multigrille de PETSc, afin notamment d’utiliser un critère de précision pour controler le nombre d’itérations de lissage. D’autre part, nous souhaitions comparer les per-formances des multigrilles en tant que solveur et préconditionneur sur nos problèmes.
Pour développer ce solveur multigrille, nous utilisons toujours la librairie PETSc et l’en-semble de ses fonctions :
– Méthodes itératives de résolution pour les lissages
– Multiplication matrice-vecteur pour le transfert entre les grilles
– Multiplication matrice-matrice pour la construction des matrices grilles grossières Nous utilisons également la librairie MUMPS pour la résolution directe sur la grille grossière.
Nous utilisons une nouvelle fois les problèmes d’écrasement entre tas plats et de forgeage d’un triaxe. Nous nous plaçons dans la même configuration que celle utilisée pour l’étude du lisseur du préconditionneur, en considérant une méthode bigrille idéale. Pour l’écrasement entre tas plats, le maillage fin comporte 22 059 nœuds et le maillage grossier 902 nœuds (figures 3.6a et 3.6b). Pour le forgeage du triaxe en milieu de simulation, le maillage fin com-porte 16 902 nœuds (figure 3.7a) et le maillage grossier 936 nœuds (figure 3.7b).
Avec le solveur multigrille, une plus large variété de lisseurs a pu être testée. En plus des lisseurs Richardson préconditionnés par ILU0, Jacobi ou SSOR préalablement testés sur le préconditionneur (PR+ILU0, PR+Jacobi et PR+SSOR), nous avons considéré le résidu conjugué en tant que lisseur associé aux préconditionneurs ILU0, ILU1 et Jacobi (CR+ILU0, CR+ILU1, CR+Jacobi).
Le tableau 3.7 présente les meilleurs temps de calculs obtenus avec chacun de ces 6 lisseurs pour la résolution d’un système linéaire issu de l’écrasement entre tas plats. Il résulte d’essais menés avec un nombre d’itérations de pré et post lissages allant de 1 à 5. Le nombre total d’itérations de lissage figure également dans ce tableau. Pour rappel, le temps de résolu-tion obtenu avec le préconditionneur multigrille dans sa configuration quasi optimale (lisseur PR+ILU0 (1,1)) est de 9,59 secondes.
avec une combinaison demandant plus d’itérations de post lissage que de pré-lissage. Dans son utilisation en tant que solveur, le post-lissage joue un rôle plus important et permet de limiter le nombre de cycles multigrilles. Comme dans son utilisation en tant que précondi-tionneur avec lisseur de type Richardson, le lisseur Résidu Conjugué préconditionné par ILU1 donne des temps de calcul largement supérieurs aux autres, à cause d’un coût de factorisation et de résolution trop élevés et malgré un nombre d’itérations assez faible. Le lisseur SSOR donne de moins bons résultats que les autres lisseurs, comme observé dans l’utilisation des multigrilles en tant que préconditionneur. Le solveur utlisant le lisseur CR+ILU0 se révèle étonnament plus eﬃcace, et présente des résultats bien meilleurs que ceux obtenus en pré-conditionnement (7,1 s au lieu de 9,59 s).
Le solveur multigrille autorise de controler la diminution du résidu au cours des itérations de lissage comme proposé dans (Mocellin, 1999). Chaque étape de pré et post lissage est alors assujetie à la diminution du résidu par un facteur ε. Le critère d’arrêt C est donné par :
C = max(εRi, Cglob)
avec Ri le résidu à l’entrée de l’étape de lissage et Cglob le critère d’arrêt global de la résolution linéaire. Nous reprenons notre étude avec les 4 lisseurs ayant donné les meilleurs résultats, CR+ILU0, CR+Jacobi, PR+ILU0 et PR+Jacobi, et avec ce critère de précision pour des valeurs de ε égales à 0,1, 0,2 et 0,5. Les temps de calcul figurent dans le tableau 3.8. Pour les lisseurs PR+ILU0 et PR+Jacobi, les résultats obtenus avec ε = 0, 1 n’ont pas été calculés compte tenu de la forte augmentation du temps de calcul déjà présente en passant de ε = 0, 5
à 0,2. Ce tableau présente également le nombre total d’itérations de lissage nécessaire pour atteindre la convergence finale.
lissage est supérieur à ce qui a été obtenu en fixant le nombre de pas de lissage : 107 au mieux, au lieu de 66 pour CR+ILU0. Cela montre une meilleure eﬃcacité de la méthode multigrille lorsque le résidu diminue progressivement, au fur et à mesure des cycles, quitte à augmenter le nombre de cycles et à bénéficier ainsi de davantage de corrections provenant de la grille grossière. Les lisseurs utilisant la méthode de Richardson se montrent particulièrement sen-sibles à cela, avec une forte augmentation du nombre total de lissages lorsque le critère de précision passe de 0,5 à 0,2. Les lisseurs utilisant la méthode de résidu conjugué y sont moins sensibles ; la diﬀérence des temps de calcul est bien moins significative. Le meilleur temps de calcul est obtenu avec le lisseur CR+ILU0 et un CPU de 8,17 secondes. La méthode est moins eﬃcace qu’avec le réglage en nombre de pas de lissages fixé (7,1 secondes) mais reste plus eﬃcace que lorsqu’elle est utilisée en préconditionnement. Nous n’avons pas poursuivi avec ce pilotage en précision qui s’avère au mieux un peu moins eﬃcace qu’en nombre d’itérations.
Pour terminer ce chapitre, nous évaluons les performances du solveur multigrille sur le cas de forgeage du triaxe en milieu de simulation. Nous ne considérons que les lisseurs pour lesquels les meilleurs temps de calcul ont été obtenus. Le tableau 3.9 présente ainsi les résultats obtenus pour la résolution d’un incrément de temps avec les lisseurs CR+ILU0 et PR+ILU0. Les lisseurs PR+Jacobi et CR+Jacobi ont également été testés mais nous n’avons pas réussi
à faire converger le solveur multigrille résultant, quelque soit la combinaison de pré et post lissage testée. Le temps de calcul obtenu avec le préconditionneur y est indiqué pour rappel.
Sur ce système, le meilleur temps de calcul est obtenu avec le lisseur PR+ILU0 et la combi-naison de pré et post lissage (1,3). Le temps de calcul résultant du CR+ILU0 en est toutefois assez proche, d’autant que la résolution de l’incrément de temps avec ce lisseur a demandé une itération de Newton-Raphson supplémentaire (13 au lieu de 12). Les chemins de conver-gence de l’algorithme non linéaire pouvant légèrement varier en fonction de la méthode de résolution choisie, il n’est pas exclu, devant la faible diﬀérence de temps, que la hiérarchie s’inverse sur un autre incrément de temps. L’écart avec le temps de calcul obtenu en utilisant les multigrilles en tant que préconditionneur est en revanche beaucoup plus important. Ce dernier est, cette fois, bien plus eﬃcace que le solveur (193s contre 128s en préconditionneur).
Le solveur multigrille développé s’est montré plus eﬃcace sur la résolution d’un problème « simple » comme l’écrasement entre tas plats, mais est devancé par son utilisation en tant que préconditionneur sur le cas du triaxe qui est toutefois plus représentatif des problèmes rencontrés dans les applications de mise en forme. Son étude mériterait d’être approfondie mais dans cette thèse, nous retenons le choix d’utiliser la méthode multigrille en tant que préconditionneur, comme il est également d’usage ces dernières années dans la littérature.

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté les éléments de la méthode multigrille hybride dé-veloppée pour résoudre les systèmes linéaires issus des problèmes de mise en forme. Cette méthode est compatible avec le calcul parallèle : construction des niveaux de maillages gros-siers, construction des matrices de Galerkin, résolution grille grossière et lisseur. L’utilisation des multigrilles en tant que préconditionneur d’un solveur résidu conjugué apparaît comme mieux adaptée pour les problèmes visés. De nombreux tests nous ont permis de déterminer les meilleurs paramètres de ce préconditionneur multigrille. Ainsi, nous avons retenu l’uti-lisation d’un lisseur Richardson préconditionné par ILU0 avec une seule itération de pré et post lissage. La grille grossière doit avoir une taille aussi proche que possible de 500 nœuds. Ce critère de nombre de nœuds l’emporte sur celui de la qualité du maillage produit sans pour autant l’exclure. Pour une méthode à 3 grilles, les facteurs de déraﬃnement entre les diﬀérents niveaux doivent être homogènes.
Le dernier chapitre de ce manuscrit porte sur une étude de performance du préconditionneur multigrille ainsi défini. Nous vérifierons tout d’abord son comportement asymptotique.

Table des matières

Introduction générale
1 Méthodes Multigrilles
1.1 Présentation
1.1.1 Principe.
1.1.2 Méthode bigrille
1.1.3 Méthodes multigrilles
1.2 Multigrilles Algébriques (AMG).
1.3 Multigrilles Géométriques (GMG)
1.3.1 Grilles emboitées par élément
1.3.2 Grilles emboitées par noeud
1.3.3 Grilles indépendantes
1.4 Bilan et approche retenue
2 FORGER
2.1 Modélisation du problème mécanique
2.1.1 Equations
2.1.2 Eléments Finis Mixtes
2.1.3 Discrétisation
2.2 Résolution numérique du problème mécanique
2.2.1 Système à résoudre
2.2.2 Méthode de résolution
2.3 Génération de maillage et remaillage
2.3.1 Mailleur topologique MTC
2.4 Calcul Parallèle.
2.4.1 Stratégie SPMD
2.4.2 Partitionnement et remaillage
2.5 Simulations de référence
2.5.1 Ecrasement entre tas plats
2.5.2 Triaxe frottant avec repli
2.5.3 Laminage retour
2.5.4 Martelage rotatif
3 Méthode Multigrille pour FORGER
3.1 Méthode multigrille hybride.
3.1.1 Construction parallèle des maillages grossiers.
3.1.2 Construction parallèle des opérateurs de transfert
3.1.3 Eléments complémentaires
3.2 Réglage du préconditionneur Multigrille
3.2.1 Lisseur
3.2.2 Facteur de déraffinement
3.2.3 Grille grossière
3.3 Extensions de la méthode multigrille
3.3.1 GMRES + Multigrille
3.3.2 Solveur Multigrille
3.4 Conclusion
4 Etude de performances et applications
4.1 Etude de performances
4.1.1 Complexité asymptotique
4.1.2 Calcul parallèle
4.2 Applications.
4.2.1 Forgeage du Triaxe
4.2.2 Laminage retour
4.2.3 Martelage rotatif
4.3 Conclusion
Conclusions et Perspectives
Bibliographie