Résolution numérique des équations différentielles fractionnaires EDF

Introduction générale

La question des dérivées fractionnaires est abordée dés 1695 par Leibnitz dans une lettre a L.Hospital, mais lorsque celui-ci lui demande quelle pourrait être la dérivée d.ordre ( un demi) de la fonction x Leibnitz répond que cela mène à un paradoxe dont on tirera un jour d.utiles conséquences. Plus de 300 ans après, on commence seulement à venir à bout des di¢ cultés. De nombreux mathématiciens se sont penchés sur cette question, en particulier Euler (1730), Fourier (1822), Abel (1823), Liouville (1832), Riemann (1847), etc. . . Di¤érentes approches ont été utilisées pour généraliser la notion de dérivation aux ordres non-entiers. Les équations déférentielles fractionnaires (EDF) ont trouvé des applications dans beau- coup des problèmes en mécanique, physique …… Le concept des opérateurs d.ordre fraction- naire a été dé.ni aux 19 ième siècle par Riemann et Liouville. Leur but était de prolonger la dérivation ou l.intégration d.ordre fractionnaire en employant non seulement un ordre entier mais également des ordres non entiers. Il existe plusieurs dé.nitions de la dérivée fractionnaire d.ordre _ , les dé.nitions les plus utilisées sont celles de Riemann-Liouville ,Caputo et de Grunwald- Leitnikov. Chaque dé.nition utilise l.intégration fractionnaire de Riemann-Liouville ([11]) La déférence entre les deux dé.nitions Riemann-Liouville , et de Caputo réside dans l.ordre d.évaluation. La résolution des équations par les méthodes dites classiques, telles que les méthodes des éléments .nis, des déférences .nies, des volumes .nis et la méthode spectrale, donnent des approximations de la solution en des points discrets.

En outre, ces méthodes font appel à des techniques de discrétisation de l.espace et du temps et elles linéarisent souvent les équations. Dans ce mémoire, on s.intéresse aux méthodes numériques suivantes : 1) La méthode Itérative Variationnelle (VIM) a été développée par Ji-Huan He ([16]) au début des années 1990. Cette méthode a été utilisée par beaucoup des chercheurs dans une variété de champs scienti.ques et peut résoudre des problèmes non-linéaires, et a été proposée la première fois pour résoudre des problèmes en mécanique quantique. La méthode est basée sur la détermination de multiplicateur de Lagrange de façon optimale par l.intermédiaire de la théorie variationnelle. un+1(x) = un(x) + Zx 0 _(s) h Lun(s) + N_u n(s) 􀀀 g(s) i ds: 2) La méthode itérative variationnelle modi.ée (MVIM) ; application aux équations dif- férentielles d.ordre 1 et 2 . 3) ) La méthode des perturbations homotopiques (HPM) qui a été développée parJi-Huan He en 1999 ( [12]). Cette méthode proposée est di¤érente de la méthode des perturbations traditionnelles, cette technique ne demande pas un petit paramètre dans l.équation. l.ho- motopie est construite avec un paramètre p 2 [0; 1] ; qui est considéré comme .un petit paramètre . H(v; p) = (1 􀀀 p) [L(v) 􀀀 L(u0)] + p [A(v) 􀀀 f(r)] = 0; p 2 [0; 1] ; r 2 : 4) La méthode variationnelle des perturbations homotopiques (VHPM) est une combi-naison des deux méthodes (VIM) et (HPM) ([24]) et elle est donnée sous la forme 1X i=0 pi ui(x) = u0(x) + p Zx 0 _(s) ( N  » 1X i=0 piui(s) # 􀀀 g(s) ) ds: Ce mémoire se compose de trois chapitres . Le premier chapitre est consacré aux dé.nitions et notions générales qu.on aura besoin dans la suite du travail.

On y trouvera un aperçu ou historique du calcul fractionnaire. La notion de la dérivation fractionnaire y est largement établie en commençant par la fonction Gamma et Beta pour ainsi dé.nir la fonction de Mittag-Le­ er qui est essentielle dans le calcul fractionnaire. Ensuite, on rappelle quelques dé.nitions des dérivées fractionnaires en l.occurence celle au sens de Riemann-Liouville, celle de Grunwald-Leitnikov, et plus parti- culerment celle au sens de Caputo qu.on utilsera tout au long de ce travail. Dans le deuxième chapitre, on y trouve les dé.ntions de quelques méthodes de résolution numérique des équations di¤érentielles ordinaires et les équations aux dérivées partielles. La méthode des itérées variationnelles (VIM), la méthode des perturbations homotopiques (HPM) puis la combinaison des deux méthodes précédentes pour donner celle (VHPM) et (MVIM) qui sont des algorithmes d.accélération et de relaxation des deux précedentes mé- thodes. Des exemples d.application sont données pour des équations di¤érentielles ordinaires telle que l.équation de Lienard,Du¢ ng et des équations aux dérivées partielles telle que l.équation de Fischer. Le troisième chapitre est consacré à l.application de ces méthodes numériques dans le cas fractionnaire. Les méthodes précitées seront utilisées pour résoudre numériquement les équations di¤érentielles d.ordre fractionnaire. Comme exemple, l.équation de Riccati pour les équations di¤érentielles ordinaires et l.équation d.évolution connue sous la forme de « Foam drainage » traitant les liquides mousseux. Ces exemples serviront d.exemples d.illustration et de comparaison. Le résultat montre que ces méthodes sont très utiles et économiques en temps et coût pour l.approximation numérique des solutions des équations di¤érentielles d.ordre fractionnaire.

Calcul fractionnaire

Le calcul d.ordre fractionnaire associé à intégration et diérentiation d.ordre arbitraire, pas nécessairement un nombre entier, est un vieux concept qui date de l.époque de Cauchy, Riemann Liouville et Leitnikov au 19 ème siècle. Plusieurs mathématiciens et physiciens ont étudié les opérateurs di¤érentiels et les systèmes d.ordre fractionnaire Le but de ce chapitre est de présenter des rappels concernant les notions fondamentales du calcul fractionnaire ( fonction Gamma, Beta, Mittag-Le­ er,…) ; et également les dérivées fractionnaires (Riemann-Liouville , Caputo et de Grunwald – Leitnikov ) qu.on aura besoin dans les autres chapitres ([2], [7], [11])). Fonctions spéciales Ces fonctions jouent un rôle important dans la théorie du calcul fractionnaire. La fonction Gamma La fonction Gamma est une fonction de base du calcul fractionnaire. Cette fonction généralise le factoriel n!, et permet à n de prendre des valeurs réelles ou même complexes. Dé.nition 1.1 ([11]) La fonction Gamma est dé.nie par l.intégrale 􀀀 (z) = Z 1 0 t z 􀀀1 e􀀀t dt; (1.1) qui converge sur le demi-plan complexe R(z) > 0 proprietes :La fonction Gamma posséde les propriétés suivantes : 1. 􀀀 (z + 1) = z􀀀 (z) ; pour Re (z) > 0 : 2. 􀀀 (1) = 1; 􀀀 􀀀1 2 _ = p_ et 􀀀(0+) = +1 : 3. pour tout n dans N on a 􀀀(n + 1) = n! 4. 1 􀀀(􀀀m) = 0; pour (m = 0; 1; 2:::::) 5. 􀀀(x) est une fonction monotone et strictement décroissante pour 0 < x _ 1: 6. pour tout n 2 N , 􀀀(n + 1 2 ) = (2n)!p_ 4nn!

Dénition de Caputo Dé.nition 1.8 ( [11],section 2.4, p. 90 ) La dérivée fractionnaire de Caputo est dé.nie par : cD_f(t) = Im􀀀_Dmf(t) = 8< : 1 􀀀(m 􀀀 _) Rt 0 f (m)(_)d_ (t􀀀_) _ +1􀀀 m ; m 􀀀 1 < _ < m;m 2 N: dm dtm f(t) ; _ = m: (1.15) Lemme 1.1 Si m 􀀀 1 < _ _ m; m 2 N_; alors cD_I_f(t) = f(t); (1.16) et I(cD_f(t)) = f(t)􀀀 mX􀀀1 k=0 tk k! f(k)(o+); t > 0: (1.17) (cD_f)(t) = (RLD_f)(t) 􀀀 mX􀀀1 k=0 f((k)(0) 􀀀(k 􀀀 _ + 1) tk􀀀_; _ > 0 (1.18) (cD_f)(t) = RLD _  » f(t) 􀀀 mX􀀀1 k=0 f((k)(0) 􀀀(k 􀀀 _ + 1) tk􀀀_; _ > 0: # (1.19) En particulier, si 0 < _ < 1; (m = 1) on a : (cD_f)(t) = RLD _f(t) 􀀀 f(0) 􀀀(1 􀀀 _) t􀀀_: (1.20) = RLD _ [ f(t) 􀀀 f(0)] : Dans le cas où f(0) = f(1)(0) = :::: = f(m􀀀1)(0) = 0, la dérivée au sens de Caputo coïncide avec celle de Riemann-Liouville pour tout _ 2 R, c.est à dire (cD_f)(t) = (RLD_ t f)(t): (1.21) L.avantage principal de l.approche de Caputo est que les conditions initiales des équations di¤érentielles fractionnaires avec dérivées de Caputo acceptent la même forme comme pour les équations di¤érentielles d.ordre entier ; c.est à dire, elles contiennent les valeurs limites des dérivées d.ordre entier des fonctions inconnues en borne inférieure t = 0: Dérivée d.une constante Il est bien claire qu.avec la dé.nition de Caputo la dérivée d.une constante est nulle : (cD_C)(t) = 0; 8_ 2 R: (1.22) Toutefois, la majorité des propriétés citées précédemment restent valables en cas de la dérivée au sens de Caputo. Dérivée fractionnaire de la fonction f(t) = (t 􀀀 a)_ On va calculer la dérivée fractionnaire cD_ a+f(t); au sens de Caputo de la fonction f(x) = (t 􀀀 a)_; (_ 2 R): A ce propos, supposons que 0 6 n 􀀀 1 6 _ < n; et rappelons que la dé.nition de la dérivée fractionnaire au sens de Caputo est : cD_ a+f(t) = In􀀀_ a+ Dn a+f(t); (n 􀀀 1 6 _ < n): (1.23) Avant d.appliquer la formule (1.23), nous avons besoin d.imposer _ > n pour la conver- gence de l.intégrale (1.11).

Conclusion générale :

Dans ce travail, Nous avons dé.ni des méthodes variationnelles , homotypiques pour la résolution numérique des équations di¤érentielles ordinaires ou aux dérivées partielles d.ordre entier et d.ordre fractionnaire. On a fait une comparaison entre ces méthodes. Dans le calcul des approximations numériques des équations di¤érentielles d.ordre fractionnaire,nous avons pris des exemples d.équations di¤érentielles ordinaires ainsi que des équations aux dérivées partielles. Nous avons ainsi comparé l.approche numérique des résultats donnés par les méthodes (VIM), (HPM) et (VHPM) et les résultats exacts pour plusieurs exemples. Les méthodes numériques (VIM), (HPM) et (VHPM) fournissent des solutions approchées sans discrétisation ni linéarisation des EDP. Ces méthodes sont simples, faciles à utiliser, e¢ caces et trés précises pour la résolution numérique des EDP linéaires ou non linéaires et EDF. Les résultats numériques obtenus démontrent la .abilité de ces méthodes numériques et qu.elles sont moins coûteuses de point de vue numérique que les méthodes traditionnelles.