BNGR-HASS
Résolution du problème aux limites en position et orientation
Formulation du problème
Nous avons vu au chapitre 1 que la détermination de la conformation tridimensionnelle des acides nucléiques avec l’approche BCE (Biopolymer Chain Elasticity) requiert la résolution d’un problème aux limites sur les tiges élastiques. Il s’agit de calculer les configurations d’équilibre qui atteignent des valeurs spécifiées de position et d’orientation relatives de leurs sections extrémales.
Ce problème est difficile à résoudre de par la non-linéarité des équations qu’il engendre et l’exis tence d’un grand nombre de solutions. Il est cependant susceptible de se poser dans beaucoup d’applications, au-delà de la modélisation des biopolymères, dès lors que des contraintes géomé triques sont imposées sur les tiges.
Pour le résoudre, il faut utiliser des algorithmes de recherche de zéros dans un espace de dimension supérieure ou égale à 5, qui dépend de la façon dont on choisit de paramétrer les configurations d’équilibre. Cela implique des difficultés liées à la convergence de ces algorithmes et à la nécessité de leur fournir des valeurs initiales.
De nombreuses techniques sont envisageables pour améliorer la convergence, comme la continuation numérique qui s’avère particulièrement efficace (Maddocks et al. 1997, Balaeff et al. 1999, Coleman et Swigon 2000, Van der Heijden et al. 2003, Henderson et Neukirch 2004, Bergou et al. 2008, Lazarus et al. 2013, Manning 2014).
En revanche, la recherche de valeurs initiales pour des applications sur les tiges élastiques est rarement traitée dans la littérature. Elle est pourtant nécessaire pour obtenir rapidement et efficacement plusieurs solutions du problème aux limites. L’objectif de ce chapitre est de proposer et de tester une méthode de résolution capable de fournir ces valeurs initiales de façon automatique.
Cette méthode s’appuie sur la richesse des paramétrages disponibles pour les configurations d’équilibre et sur les symétries de ces dernières. Dans cette première section, la formulation mathématique du problème aux limites est expli citée. En sous-section 1.1, les conditions aux limites sont paramétrées par six grandeurs (trois distances et trois angles) appelées paramètres d’encastrement.
Il s’agit ensuite de définir une fonction directe, c’est-à-dire une fonction (i) dont l’espace de départ est isomorphe à l’ensemble des configurations d’équilibre et (ii) dont l’espace d’arrivée est l’ensemble des valeurs possibles de paramètres d’encastrement. En sous-section 1.2, une première fonction directe q1 est définie, ayant pour entrée les paramètres de Landau.
En sous-section 1.3, une deuxième fonction directe q2 est exprimée analytiquement, avec pour entrée les composantes de force et de moment appli qués sur une extrémité de la tige. L’idée principale est de tirer profit des avantages de ces deux paramétrisations dans l’algorithme de recherche.
Paramètres d’encastrement
On note S [0L] l’abscisse curviligne des tiges élastiques de longueur finie. Conformément à la notation suivie depuis le paragraphe 3.1.3 du chapitre 2, le tilde indique que la variable est considérée sous sa forme dimensionnée.
Toutefois, comme les abscisses S et S sont liées par une relation de proportionnalité, les tiges peuvent être paramétrées aussi bien par l’une que par l’autre. Dans ce chapitre 4, on propose une méthode pour exprimer analytiquement les configurations d’équilibre de longueur L et de rapport de rigidités K30 = K3K0 =K3 K0
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